期末提分特训讲义（三）--《图形的变换》2024-2025学年苏科版数学七年级下册

2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（三）--《图形的变换》 【特训目的】 1.准确掌握平移、旋转和轴对称的定义、基本性质及相关概念 ，明晰平移的方向和距离、旋转的中心、方向和角度，以及轴对称的对称轴、对应点等关键要素。 2. 熟悉常见图形（如等腰三角形、矩形、圆等）的轴对称性，牢记其对称轴的数量和位置；了解一些基本图形平移、旋转后的图形特征，构建图形变换与几何图形之间的知识联系。 3.能依据平移、旋转和轴对称的性质，在给定图形中识别对应线段、对应角、对称点等元素，准确判断图形变换的类型，并分析其变换过程和特征。 4. 熟练运用图形变换的性质进行简单的计算； 【知识清单】 一．平移 1.定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定距离。 2.性质： （1）图形平移前后形状和大小不变，只是位置变化。 （2）对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）。 （3）对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 3.易错点：易混淆平移方向和距离；平移图形时易忘内部点都按相同方向和距离平移。 4.解题技巧：可用箭头或坐标变化确定平移方向和距离；选取关键点平移后连线得平移后图形。 二．轴对称 1.轴对称图形定义：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.轴对称性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对应点所连线段被对称轴垂直平分。 （3）对应线段相等，对应角相等。 3.识别方法：观察图形能否沿某直线折叠后重合。 4.作图：先找出关键点关于对称轴的对称点，再连接对称点得到轴对称图形。 三．旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前后的图形全等。 3.易错点：易混淆旋转中心、旋转角度和旋转方向。 《图形的变换》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（　　） A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，①直线c在a、b外时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5+2=7cm，②直线c在直线a、b之间时，∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，∴a与c的距离为5﹣2=3cm，综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．故选：C． 　 2．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（　　） A．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位 【答案】B 【解析】根据图形M平移前后对应点的位置变化可知，需要向右平移1个单位，向下平移3个单位．故选B　 第2题图 第3题图 3．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 【答案】C 【解答】∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，∴EF=AD=2cm，AE=DF，∵△ABE的周长为16cm， ∴AB+BE+AE=16cm，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16cm+2cm+2cm =20cm．故选C． 4．如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（　　） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【解析】一个正方形面积为4，而把一个正方形从①﹣④变换，面积并没有改变，所以图⑤由4个图④构成，故图⑤面积为4×4=16．故选B． 5．中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所是轴对称图形．故选D． 6．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（　　） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 【答案】B 【解析】∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD， ∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．故选：B． 第6题图 第7题图 7．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解答】∵AB=8，AD=6，纸片折叠，使得AD边落在AB边上，∴DB=8﹣6=2，∠EAD=45°，又∵△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，∴AB=AD﹣DB=6﹣2=4，△ABF为等腰直角三角形，∴BF=AB=4，∴CF=BC﹣BF=6﹣4=2，而EC=DB=2，×2×2=2．故选：C． 8．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确;对称点到对称中心的距离相等，故③正确;故①②③④都正确.故选D. 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C＇在同一条直线上，则三角尺ABC旋转的角度可能是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】旋转角是∠CAC'= 180°-30°=150°.故选:D. 10．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB＇C＇的位置，使CC＇∥AB，则旋转角的度数为（ C ） A．35° B．40° C．50° D．65° 【答案】C 【解答】由旋转的性质得AC= AC'.∵CC'‖AB,∠CAB = 65°，:.∠C'CA= ∠CAB = 65°.∵AC= AC'.∠CC'A= 65°,∠C'AC =180°- 2∠CC"A=180°- 2×65°=50°故选: C. 二．填空题（共30分） 11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　　cm． 【答案】13 【解析】∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，∴EF=DC=4cm，FC=7cm，∵AB=AC，BC=12cm，∴∠B=∠C，BF=5cm，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF=4cm，∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）．故答案为：13． 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12．如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为　　． 【答案】15 【解析】设点A到BC的距离为h，则S△ABC=BC•h=5，∵平移的距离是BC的长的2倍，∴AD=2BC，CE=BC，∴四边形ACED的面积=（AD+CE）•h=（2BC+BC）•h=3×BC•h=3×5=15．故答案为：15． 13．在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），则∠BA′A的度数是　　度． 【答案】45 【解析】如图所示，平移后AA′=3，而过点B向AA′引垂线，垂足为D，∴BD=4，A′D=4，∴∠BA′A=45°． 14．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有______个。 【答案】5个 【解析】如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，所组成的两个正方形组成轴对称图形．故选：C． 15．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α度数为_______． 【答案】80° 【解析】∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，由∠1+∠2+∠3=180°得：28x+5x+3x=180°，解得x=5，故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°， ∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠4=∠EBA+∠E=25°+15°=40°，∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°，故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°，在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA， ∴∠α=∠EGF=80°，故答案为：80° 第15题图 第16题图 第17题图 16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是_______． 【答案】∠1+∠2=2∠A 【解析】连接AA′．则△A′ED即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DA′E．由三角形的外角性质知：∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A；则∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．故答案是：∠1+∠2=2∠A． 17.如图所示，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长为___ 【答案】 8 【解析】∵Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，∴A′B′＝AB＝16.∵C′D为Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线，∴C′D＝A′B′＝8. 18．如图将等边三角形ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________． 【答案】60°　 【解析】根据对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，即∠BAC＝60°.∵点E的对应点为点F，∴∠EAF等于旋转角60°. 第18题图 第19题图 第20题图 19.如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是          ． 【答案】③  【解析】选择标有③序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为③．根据中心对称图形的性质判断即可． 20.如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点          ． 【答案】B  【解析】如图，连接HF，EN，作线段HF，EN的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：B． 三．解答题（60分） 21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． （1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边； （2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′． 解：（1）点D以及四边形ABCD另两条边如图所示． （2）得到的四边形A′B′C′D′如图所示． 22.（8分）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案（阴影部分用斜线画） （1）在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； （2）在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 解：（1）如图所示； （2）如图所示． ， ； ．  23．（8分）如图，点O和的三个顶点正好在正方形网格的格点上，按要求完成下列问题：（1）画出绕点O顺时针旋转后的（2）画出绕点O旋转后的． 【答案】 24.（12分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 解：（1）如图所示： （2）解：连接、，那么线段与线段的关系是，； 故答案为：， （3） 解：如上图，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 且的面积． 25.（12分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到．画出平移后的图形； (2)将绕点顺时针旋转后得到．画出旋转后的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺画出的中线（画图中要体现找关键点的方法）． 解：（1）如图，△即为所求． （2） 如图，△即为所求． （3）如图，线段即为所求． 26.．已知，直线与、分别交于点、，，平分． (1)将线段沿平移得到线段（的对应点为），在图1中完成平移作图，并写出的度数为______； (2)如图2，若平分，求证：； (3)射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，平分，同时直线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，若直线和直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 解：（1）如图所示，线段即为所求，∵，∴，∴，∵平分．∴，由作图可知，∴，∴，∴．故答案为：． （2）证明：∵，∴∵平分．∴，∵平分，∴，∴，∴． （3）设直线和直线相交于H，直线和直线相交所夹的锐角为，分三种情况： ①当，即时，即，如图，由旋转可知：，，∴，∵平分，∴，∴，∴，解得：；②当且，即时，即，如图，则，，，∴，解得：；③当，即时，，如图，∵平分，且 ∴，∴，，∴，解得：，符合题意；综上，若直线和直线相交所夹的锐角为，运动时间t秒的值为2或6或14． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版七年级数学下期末提分特训（三）--《图形的变换》 【特训目的】 1.准确掌握平移、旋转和轴对称的定义、基本性质及相关概念 ，明晰平移的方向和距离、旋转的中心、方向和角度，以及轴对称的对称轴、对应点等关键要素。 2. 熟悉常见图形（如等腰三角形、矩形、圆等）的轴对称性，牢记其对称轴的数量和位置；了解一些基本图形平移、旋转后的图形特征，构建图形变换与几何图形之间的知识联系。 3.能依据平移、旋转和轴对称的性质，在给定图形中识别对应线段、对应角、对称点等元素，准确判断图形变换的类型，并分析其变换过程和特征。 4. 熟练运用图形变换的性质进行简单的计算； 【知识清单】 一．平移 1.定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定距离。 2.性质： （1）图形平移前后形状和大小不变，只是位置变化。 （2）对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）。 （3）对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。 3.易错点：易混淆平移方向和距离；平移图形时易忘内部点都按相同方向和距离平移。 4.解题技巧：可用箭头或坐标变化确定平移方向和距离；选取关键点平移后连线得平移后图形。 二．轴对称 1.轴对称图形定义：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.轴对称性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对应点所连线段被对称轴垂直平分。 （3）对应线段相等，对应角相等。 3.识别方法：观察图形能否沿某直线折叠后重合。 4.作图：先找出关键点关于对称轴的对称点，再连接对称点得到轴对称图形。 三．旋转 1.定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。 2.性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前后的图形全等。 3.易错点：易混淆旋转中心、旋转角度和旋转方向。 《图形的变换》期末提分特训 （时间 ：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（　　） A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对 2．如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M、N，①中的图形M平移后位置如②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（　　） A．向右平移2个单位，向下平移3个单位 B．向右平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向下平移4个单位 D．向右平移2个单位，向下平移4个单位 第2题图 第3题图 3．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 4．如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（　　） A．18 B．16 C．12 D．8 5．中国的剪纸艺术源远流长，是中国传统民间社会的一种特有的民俗文化形式，是中华优秀传统文化的重要组成部分，至今已有3000多年的历史．下列剪纸艺术图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（　　） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 第6题图 第7题图 7．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（　　） A． B． C．2 D．4 8．如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有 （ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，将一个含30°角的直角三角尺ABC绕点A旋转，使得点B，A，C＇在同一条直线上，则三角尺ABC旋转的角度可能是（ ） A．60° B．90° C．120° D．150° 10．如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB＇C＇的位置，使CC＇∥AB，则旋转角的度数为（ C ） A．35° B．40° C．50° D．65° 二．填空题（共30分） 11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm．将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为　　cm． 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 12．如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为　　． 13．在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），则∠BA′A的度数是　　度． 14．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有______个。 15．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α度数为_______． 第15题图 第16题图 第17题图 16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是_______． 17.如图所示，Rt△ABC的斜边AB＝16，Rt△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长为___ 18．如图将等边三角形ABC绕顶点A按顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是________． 第18题图 第19题图 第20题图 19.如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是          ． 20.如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点          ． 三．解答题（60分） 21．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC． （1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边； （2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′． 22.（8分）实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案（阴影部分用斜线画） （1）在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； （2）在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 23．（8分）如图，点O和的三个顶点正好在正方形网格的格点上，按要求完成下列问题：（1）画出绕点O顺时针旋转后的（2）画出绕点O旋转后的． 24.（12分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 25.（12分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点为网格线的交点）． (1)将先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度后得到．画出平移后的图形； (2)将绕点顺时针旋转后得到．画出旋转后的图形； (3)借助网格，利用无刻度直尺画出的中线（画图中要体现找关键点的方法）． 26.（12分）已知，直线与、分别交于点、，，平分． (1)将线段沿平移得到线段（的对应点为），在图1中完成平移作图，并写出的度数为______； (2)如图2，若平分，求证：； (3)射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，平分，同时直线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，若直线和直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$