6.2.2 排列数（第一课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版 · 选择性必修第三册 6.2.2排列数（第一课时） 温州科技高级中学 授课教师：[张明] 1.7.2013 同学们好，今天我们来学习第六章第二节的第二课时——排列数。在之前的学习中，我们已经了解了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并初步接触了排列的概念。今天，我们将深入探讨如何计算所有可能排列的个数，也就是“排列数”。这节课将帮助我们建立从具体到抽象的数学思维，掌握解决计数问题的重要工具。 ‹#› 分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案， 在第1类方案中有 m1 种不同的方法， 在第2类方案中有 m2 种不同的方法， 那么完成这件事共有 种不同的方法。 … … 在第n类方案中有mn种不同的方法， 分步乘法计数原理 那么完成这件事共有 种不同的方法。 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， … … 做第n步有mn种不同的方法， 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 不同点 注意点 用来计算“完成一件事”的方法种数 每类方案中的每一种方法都能______ 完成这件事 每步_________才算完成这件事情 （每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 类类相加 步步相乘 类类独立 步步相依 独立 依次完成 不重不漏 步骤完整 分类完成 分步完成 思路：第一步：做什么事；第二步：怎么做？ 解答计数问题的一般思维过程： 完成一件什么事 （第一步：做什么事） 如何完成这件事 （第二步: 怎么做？） 利用加法原理进行计数 方法的分类 过程的分步 利用乘法原理进行计数 描述分类计数原理和分步计数原理的诗： 两大原理妙无穷， 解题应用各不同； 多思慎密最重要， 茫茫数理此中求。 总结：解决计数问题第一步做什么事很好知道，就是第二步这件事怎么做很难知道。为了知道这件事怎么做，你可以先列出一种结果分析出这件事怎么做。 课堂总结 同学们，怎么做千奇百态；做什么简单明白。我们要慢慢积累如何做的经验，在以后的学习中灵活运用，把考题解出。 其实一个人的人生意义也是知道自己做什么事，然后通过怎么做来实现人生理想。但一个人要知道自己这一生该做什么，却是很不简单的。有人说：“教育的本质，是找到一个人内心想成为的样子，然后帮助他成长为那个样子。” 所以不管是当官还是当校长还是普通老师，只要他是幸福的完整的人，那他就知道自己这一生该做什么事，也在努力的寻找此事该如何做，且也努力的完成此事。 比如我就觉得教书很有意思。我的人生使命就是认真教书再写写书，然后开创一个教学流派。 引入 我们知道第一步做什么事很容易知道，第二步怎么做很难知道。于是数学家研究事情该怎么做，发现许多事情有相同的做法，即这许多事情有个共同的模型。我们只需研究出这个共同的模型，当我们分析出怎么做时只需把这个模型套用一下就行。 复习引入 复习回顾 —— 从“排列”到“排列数” ▍ 问题情境 1：选同学参加活动 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加一项活动，其中 1 名参加上午的活动，另 1 名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：分步乘法计数原理，上午 3 种选择，下午 2 种选择，共3 × 2 = 6种。 列举：(甲,乙)、(甲,丙)、(乙,甲)、(乙,丙)、(丙,甲)、(丙,乙) ▍ 问题情境 2：排数字成三位数 从 1, 2, 3, 4 这 4 个数字中，每次取出 3 个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：分步乘法计数原理，百位 4 种，十位 3 种，个位 2 种，共4 × 3 × 2 = 24个不同的三位数。 💡 思考与引入 在上述两个问题中，我们最终关注的都是“所有排列的个数”，而不是具体的排列顺序。 这种表示“所有排列的个数”的量，就是我们今天要学习的核心概念 ——排列数 1.7.2013 在正式学习新知识之前，我们先来回顾两个熟悉的问题。第一个问题，从三名同学中选两名分别参加上午和下午的活动，我们通过分步乘法计数原理得出有6种选法。第二个问题，从四个数字中选三个组成三位数，同样用分步乘法原理得出有24个不同的三位数。大家有没有发现，在解决这两个问题时，我们最终关注的都是一个数字——所有可能排法的总数。这个“总数”，就是我们今天要学习的核心概念——排列数。 ‹#› 2、排列数的定义 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数。 符号表示：用表示（下标是总个数，上标是取出个数）。 🔍 辨析：“排列” 与 “排列数” •排列：是一个具体的排法（事件），如“甲乙”或“乙甲”，它不是一个数。 •排列数：是所有排列的总个数，是一个数值。例如：从3人中选2人，排列数是 6。 注意：虽然取出来的元素可能相同，但只有顺序不同，就是不同的排列 学习新知 1.7.2013 现在我们来正式定义排列数。从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数，就叫做排列数。我们用一个专门的符号Aₙᵐ来表示它。这里的A代表排列，n是元素的总数，m是取出的元素个数。大家一定要分清“排列”和“排列数”的区别：“排列”是具体的排法，比如甲乙丙的一种顺序；而“排列数”是所有这些排法的数量，是一个数字。通过一个即时练习来巩固一下：问“有多少种出场顺序”，这显然是在求一个数，也就是排列数。 ‹#› 💡 推导思路：分步乘法计数原理 —— 把“选”转化为“填” 排列数公式的推导（乘积形式） 📝 举例理解 • 若要计算 ：想象有 3 个空位需要填入元素。 • 第1位：5种选择；第2位：4种选择；第3位：3种选择。 = 5 × 4 × 3 = 60 🧩 一般推导 (求 ) • 第1步：填第1个位置 → 有种方法 • 第2步：填第2个位置 → 有种法... ... ... ... ... ... ... .. • 第步：填第m个位置 → 有种方法 ✅ 结论公式： = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) 💡 解读：连续 个正整数相乘，首项为 ，末项为。 1.7.2013 知道了排列数的定义，我们如何计算它呢？关键还是利用我们熟悉的分步乘法计数原理。 大家请看 PPT，我们把“选”元素的过程，转化为“填”位置的过程。 左边是一个具体的例子：要算从5个里面选3个的排列数。我们可以想象有3个空位。第一个位置有5种填法，第二个位置因为已经用掉一个，所以剩4种，第三个位置剩3种。乘起来就是 5×4×3。 右边推广到一般情况：要算 Aₙᵐ，我们想象有 m 个空位。第一个位置 n 种，第二个 n-1 种... 最后一个，也就是第 m 个位置，还剩 n-m+1 种。 把这些方法数乘起来，我们就得到了排列数的第一个公式。请大家务必记住这个公式的特点：它是连续 m 个正整数的乘积，第一个数是 n，最后一个数是 n-m+1。 ‹#› 排列数公式的应用（一） 例题讲解 例1：计算 和 。 解：根据排列数公式，从开始连续乘个递减的正整数： = 5 × 4 = 20 ； = 8 × 7 × 6 = 336 例2：计算 的值。 解：直接代入展开计算： = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 深度思考 当取出元素的个数 等于总个数 时，公式变成了什么？ Aₙⁿ = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1，这引出了一个新的数学概念——阶乘 。 1.7.2013 我们来应用一下刚刚学到的公式。看例1，计算A₅²，就是从5开始，连续乘2个递减的数，即5乘以4，等于20。计算A₈³，就是从8开始，连续乘3个数，8乘以7乘以6，等于336。再看例2，A₁₀⁴，就是10乘以9乘以8乘以7，等于5040。大家有没有想过，如果我们要把所有n个元素都取出来排列，也就是m等于n时，公式会变成什么样？它会变成n乘以n-1一直乘到1，这就是我们接下来要学习的阶乘。 ‹#› 阶乘的概念 定义 正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!。即：n! = n(n-1)(n-2)...3 × 2 × 1 【特别规定】 0! = 1 且 1! = 1 【全排列】 将 n 个元素全部取出的排列数等于 n 的阶乘 = n! ▍ 计算示例 3! = 3 × 2 × 1 = 6 ， 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 （提示：阶乘运算增长速度极快，常用于计算排列组合数） 1.7.2013 现在我们来学习阶乘。n的阶乘，记作n!，就是从n开始，一直乘到1的连续乘积。特别地，我们规定0的阶乘等于1，1的阶乘也等于1。当我们把n个元素全部取出进行排列时，这个排列数就叫做全排列数，它的值正好等于n的阶乘。比如，3的阶乘是6，5的阶乘是120。阶乘是一个非常重要的概念，它将帮助我们得到排列数的另一种表达形式。 ‹#› 学习新知 排列数公式的推导（阶乘形式） 🔍 推导过程 1. 已知乘积形式： = n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-m+1) 2. 关键变形：在分子分母上同时乘以(n-m) × (n-m-1) × ... × 2 × 1 = 分子部分变为从 到 1 的连续乘积，即的阶乘 ；分母部分则为 的阶乘 。 🏆 最终结论 = 总结：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。 2、对于m≤n这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。 1.7.2013 有了阶乘的概念，我们就可以把排列数的乘积公式转化为阶乘形式。我们观察乘积形式的公式：n乘以n-1一直乘到n-m+1。我们发现，如果把这个式子的分子和分母同时乘以(n-m)的阶乘，分子就变成了从n到1的连续乘积，也就是n的阶乘。而分母就是(n-m)的阶乘。这样，我们就得到了排列数的第二个重要公式：Aₙᵐ等于n的阶乘除以n-m的阶乘。这个公式在处理一些复杂的代数问题时非常方便。 ‹#› 排列数公式的应用（二） 例 题 讲 评 例3：用阶乘形式计算 解： = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = (5 × 4 × 3!) / 3! = 5 × 4 = 20 例4：解方程= 6 原方程可化为：x(x-1)(x-2) =6 · x(x-1) ∵ ≥ 3 且 x ∈ N*, ∴ ≠ 0，两边同除以得： x - 2 = 6 ⇒ x = 8 💡 方法点睛： 1. 利用阶乘公式计算排列数时，注意利用约分简化运算，避免计算大数阶乘。 2. 解排列数方程时，要注意隐含条件：① 下标和上标均为正整数；② 下标大于等于上标。最后需检验根的有效性。 1.7.2013 我们来看两个应用阶乘公式的例子。例3，用阶乘形式计算A₅²，就是5的阶乘除以3的阶乘。我们可以看到，分母的3!可以和分子中的3!约掉，最后还是得到5乘以4等于20，和之前的结果一致。再看例4，这是一个排列数方程。我们先把它展开成乘积形式，得到x(x-1)(x-2)等于6倍的x(x-1)。因为x是大于等于3的正整数，所以x(x-1)不为零，两边可以约掉，得到一个简单的一元一次方程x-2=6，解得x=8。 ‹#› 例题讲评 例题5 —— 排队问题（车票问题） 【题目】某段铁路上有12个车站，在不考虑座席等级的情况下，铁路部门共需要为这条线路准备多少种不同的普通客票？ 【分析】车票的关键特征是“起点”和“终点”，且二者有明确顺序。例如：从“北京南站”到“上海虹桥站”的车票，与从“上海虹桥站”到“北京南站”的车票是完全不同的两种车票。因此，该问题等价于：从12个不同元素中，任取2个元素的排列数问题。 【解】由排列数的定义与计算公式，从12个车站中选2个作为起终点的排列数为：= 12 × 11 = 132。 答：一共需要准备 132 种不同的普通客票。 1.7.2013 接下来我们看一个实际应用问题。一条铁路上有12个车站，需要准备多少种普通客票？这个问题的关键在于，车票是有方向的，从A到B和从B到A是两种不同的车票。所以，这本质上就是一个排列问题，我们需要从12个车站中选出2个来确定起点和终点。因此，我们计算A₁₂²，即12乘以11，等于132种。所以，一共需要准备132种不同的车票。 ‹#› 例题 6 题目：用 0, 1, 2, 3, 4 这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析：排列问题，关键限制条件是0 不能在百位。可通过“特殊位置法”或“特殊元素法”求解。 🔍 解法一：特殊位置法（优先排百位） 1.排百位：百位不能为0，从1,2,3,4中选，共4种选择。 2.排十位：剩下4个数字（含0），共4种选择。 3.排个位：剩下3个数字，共3种选择。 总数 = 4 × 4 × 3 = 48 (个) 🔑 解法二：特殊元素法（优先考虑0） 1.情况一（不含0）：从1,2,3,4中选3个排列，即 A₄³ =24种。 2.情况二（含0）：0有2个位置（十位/个位），剩下两位从4个数字中选2个排列，即 2 × A₄² = 2 × 12 =24种。 总数 = 24 + 24 = 48 (个) 答：可以组成48个没有重复数字的三位数。 1.7.2013 再来看一个经典的数字排列问题。用0到4这五个数字，能组成多少个没有重复数字的三位数？这里有一个关键限制：0不能在百位。我们可以用两种方法来解。第一种是特殊位置法，优先考虑百位，百位有4种选择，然后十位和个位依次有4种和3种选择，总共4×4×3=48个。第二种是特殊元素法，优先考虑0。我们把所有情况分成两类：不含0的和含0的。不含0的三位数有A₄³=24个。含0的三位数，0有2个位置可选，剩下两个位置从剩下4个数字中选2个排列，有2×A₄²=24个。两类相加，总共也是48个。 ‹#› 能力提升 01.五名同学站成一排照相，其中甲同学必须站在中间，有多少种不同的站法？ 💡思路提示：这是有限制条件的排列问题，解题关键是“特殊元素优先安排”。先确定甲同学的位置（中间，只有1种选择），再依次安排剩下4位同学的位置，最后相乘即可得到总数。 02.用数字 1, 2, 3, 4, 5，可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 💡思路提示：偶数的核心特征是个位数字必须为偶数（0, 2, 4...），所以本题的“特殊位置”是个位。优先确定个位的可能选择（2或4，共2种），再从剩下的数字中依次确定千位、百位、十位，分步计算。 1.7.2013 基础练习完成后，我们来挑战两道能力提升题。第一题是排队照相问题，其中有一个特殊要求：甲同学必须站在中间。解决这类问题的关键是“特殊优先”，先把有特殊要求的元素安排好。第二题是数字排列问题，要求组成四位偶数。这里的特殊元素是个位，因为它必须是偶数。同样，我们可以优先考虑个位的选择。大家尝试用我们今天学的方法来解决这两个问题。 ‹#› $