2026年福建省福建省南平市新光学校等校中考二模九年级数学试卷

数 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 快速对答案：1-5 ADBBC6-10 AADCB 22。 1.A【解析1在2,8=2.0213，号中万是无理数 2.D 3.B【解析】由题可知，2x≥0，解得x≤2 4.B【解析]根据三角形两边之和大于第三边可知， 进30厘米、50厘米、60厘米这三根木条或50厘 米、60厘米、90厘米这三根木条，才可以组成三角 木架 5.C【解折】·EF∥CD,LBDC=105°，.∠BFE= 105°，：∠AEF=40°，∴、∠A=∠BFE-∠AEF=65°. 6.A Q新转法解读试愿情境取村于（九章算术），〈九 章算术)是中国古代重要的数学著作之一，本题将 “列方程”与“教学文化”相结合，晨现了中国古代 数学的优秀成果，弘扬了传统文化，增强学生对中 国古代数学成艾的了解.为便于学生理解，愿干将原 息的文言文翻译成现代文，保证了考查的公平性 7.A【解折]由数轴得，1<a<3,:一元二次方程为 2+6z+3=0、62-4e=62-4×a×3=36-12a>0, “.该方程有两个不相等的实数根 8.D【解析]观察A,B,C,D四个选项，可以发现总 人数都是120人，.3个班级的平均人数为40人， 我们为人数看成权，对于选项A,权相等，容易算出 平均观看时间为3b,不符合题意；：平均观看时间 小于3b,∴.2班的权重应该比1班的大，故选D. 9.C【解析]BD为⊙0的直径，∠BAD=90° :∠1BD=35°，.∠ADB=90°-∠ABD=55°，：AB =B..∠ACB=LDB=55°， 10.B 度解题思路 :巳知抛物线，=2+x+c(a≠0)与x轴交于 4-J,0以-00)两点 根据地尚线与工轴交点的技坐标，得出揽物线的 付乔轴 -1+]-a .抛物线对称铀是直线xs 2 2心点0 是抛物线的顶点八不确定a大于还是小于0 根据点D技座标与地布线的付乐h.刑断点D为质 点：a的大小不偏定，右分炎讨论 学 ∴抛物线开口方向不确定，2是这个二次函数的 最值但不确定是最大值还是最小值，·y,和？ 的大小关系不能确定，故C,D选项错误；由于y 是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即2≠ 2,a≠-4，都有≠2，当a>-4时，开口方向仍 有两种可能，和y2的大小关系不能确定，故 A选项错误；当a<-4时，抛物线开口向下，y2是 这个二次函数的最大值，故y<y2,B选项正确. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.-10 12.x>-1【解析】移项，得2x>1-3,合并同类项，得 2x>-2,系数化为1，得x>-1. 13.90【解析】将这6名学生的测试成绩（分）按照 从小到大的顺序排列为80,85,90,90,95,100.第3 个数和第4个数均为90，故中位数为90+90=90 2 (分) 14.80【解析】如解图，连接BD,根据菱形的性质可 知，B∥CD,又：DE⊥AB,BF⊥CD,.四边形 BEDF为矩形，.BD=EF=10,AC=16, 1 S五元46c0=2×10x16=80, B D 第14题解图 15.(2, )【解析】由矩形及反比例函数的轴对称 性可得，A,B两点关于直线y=x对称，·点A的坐 标为（分2）…点B的坐标为(2，). 16.①③【解析】①如解图①，当a,1不变，2变大. 即级段0C的长度变大为OE的长度，则小船的实 际速度的大小从OD的长度变大为OF的长度， 故①正确：②0°≤a≤360°∴.当a=0°或360 时，，与：在同一方向上，此时v=D,+、当a 180时，”1与2在相反方向上，此时v=v2-, 氽情况时，，-t,<D<,+,综上所述，：-，≤v≤1 +,故②不正确；③如解图②，若小船沿正北方向 行进，此时∠B0D=90°，则v=√-tkm/h,故③ 正确：综上所述①③正确. D 图① 图② 第16题解图 ?新考法解澳本题以“物理学中的速度具有大 小和方向"为背景，考查特殊图形的性质.素材贴 近学生的实际生活，引导学生从数学的角度观察 分析、思考与表达，解决与阐述社会生活中過到的 现实问题，激发学生学习数学的兴趣.教有部发布 的《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》 和2022年版课标中均有提及“跨学科”，要求初步 了解数学作为一种通用的科学语盲在其他学科中 的作用，通过跨学科主题学习建立不同学科之问 的联系 三、解答题：本题共9小题，共86分。 17.解：原式=2万+3-√万-3…(6分) =5. … (8分) 18.证明：.∠BEC=∠CDB, ∴.∠AEC=∠ADB, … (2分) 「LADB=∠AEC, 在△ABD和△ACE中，{∠A=∠A, … BD=CE, …（5分)》 .△ABD≌△ACE(AAS),…(7分) ∴.AE=AD.…(8分) 19.解：方程两边同乘(x-1),得3-(x-1)=-1,… …(2分) 去括号，得3-x+1=-1,…(4分) 解得x=5,…(6分) 检验：当x=5时，x-1≠0，…（7分) .x=5是原分式方程的解。…（8分)》 20.（1)证明：由旋转的性质，得∠ABC=∠DBE, ∠ACB=∠DEB,BA=BD,BC=BE,·（1分) ∠BMD=∠BDM=180°-LABD ∠BCE=∠BEC 2 =180°-∠DBE 2 .∠BAD=∠BDA=∠BCE=LBEC,·(2分) '∠ACB=∠CAD+∠BDA,LDEB=LBEC+LDEA, ∴.∠CAD=∠DEA, .'DA=DE, .△DAE是等腰三角形；…（4分) (2)解：由旋转的性质，得∠BAC=∠BDE, :LACB=∠DCE, .LBC=∠DEC,…（5分) 又，∠ABC=∠DBE, ∴.∠DEC=∠DBE, .LCDE=LCDE, .△DCE∽△DEB、…(6分) CD DE CAcDE 1 ∴ED-DB CANOE 2 设CD=x,则ED=2x,DB=4x,…（7分) CD+BC=BD .x+3=4x,解得x=1, .'AB=BD=4. …(8分) 21. (1)解：如解图①，点E即为所求作；…(4分) D 第21题解图① (2)证明：如解图②，过点B作BF⊥CE交EC的 延长线于点F, :∠BCE=135°，∴.∠BCF=45°， △BCF为等腰直角三角形，.BF=CF,∠CBF =45°， 连接AF交BC于点H,:AB=AC, .AF垂直平分BC, .cos∠CBF=cos45°= BH√2 F=2,…(6分) :∠BCE=135°， ,.∠ABE=45°=∠FBC .∠BH=∠EBF, .∴.cos∠ABH=cos∠EBF, BH BF 小ABBE AB BII ·BEBF2' ∴BE=√2AB. (8分) 第21题解图② 22解：(1)、奖盒中共有4个球.国球只有1个、 :.P(第一次良到周球)=人： …（分】 (2)列表如下： 缸 昌 白1 白1 红 盟红 白1.红 白2.虹 层 红. 白1.且 白2.且 白1 红，白1 星.白1 白2、白 白2红.白2 ■.白2白1.02 由上表可知，共有卫种等可图的增氟、一·（了分）》 其中一红一国“有2种、一辽一白有4脖.“ 具一白“有4种.“商白“有2、 八获一等奖的质率小干食二亨臭的复事.使二号 奖的厦率小于夜三芍奖的凰率， “可以设置复则①：食出阿个白琼为一等突具圆 21 串为P26 模出一个是球一个是白像为二辱实，其箭率为 41 P23 损出的球中有红够为三等矣，其圆率为户，…合 (0分) 也可以设置厦侧②，阅出一红一且”力一每臭.其 21 服半为户126 模出一个是红建一个是白你为二等哭，其鼠率为 模出的球中有白球为三等吴，其氯率为P, 10 5 6 …(10分) 木愿菊(2)问为开放性试愿.容案不窄一，设置规 则符合要求均可得分 更多所考法试愿里宠管面腿大整P25笔1题 23.解：(0☑黑题思瑞 银愿意.孢抛徇战y=ar'+:的开口向下.旦号 x轴有文点、 令)=-4.得▣'+址=4.即m'+bt4=0. xo<0、a=b-l6D0, 小x轴下方的圓物线上色有1个点：轴的距裹 为4 :二次商鼠的周象上有且月有三个点可：脑例面 离为4 银售二文击夏的图真上有正八有工个点可“品 自县高办4”，月贵让二个无的食年查元 锁上方二次面题的图童上凡右【个直具：菌 的更赏为4 …（2分》 ◆a4.得▣'hr-u0..46'+10as0. ,y…（】 ONEE >看〔，-21(3，-11>0.息有y,°1… 月sn1-o-a,o(马-，1a(5h1 a10旦度立. (45 (a(r.,)w1w0且度立 6 驴马1息直g,一…（d分 银虽5，和1向根鱼至奥，承直：，+名白收值飞 圆.逸面陈目色白献值在局 1.曹.，2时，64，即anc 4,5d.4a时。4圆aead 福最色曲煞值主魔扇文二大海辰面京白攻念每 2 o2.ba-lu、…(5分 由（口停'16ua0, a'+aa0.■得a-【息an0(不符合巡意.言 去).Q9-l5=4. 心度二这蓝慰的表达式为于~1一(6分】 区[一蓝多层法】原法一：恨忍意.风n-m'+e 口m(血-），…(7丹 (@4)2a(m-)nm-↓g m-m(m)m-a层 4-(an) …（8分 令yep.得一'+4：=p.r-4+p=0的两限分层 为m.0, 由右达定里.得mn=4.…(9分 4-(m*如）44 -=0」 (m-)产a …(小0分 p m 解法二：点(m,p),(n,p)均在二次函数y=-x2+ 4x的图象上，且纵坐标相同， “由二次函数图象的对称性得这两点关于对称轴 直线花=2对称，则m”=2,…(门分) ∴.m+n=4,∴.m-4=-n. ,点(m,p)在图象上，满足函数表达式，则p=-m +4m=m(4-m), ∴.p=mn, 等式左边=m-4)_-n_严 p mn m .m-4)2n …(10分) p m 24.解：(1)小明的猜想不正确.…（1分) :5-点5非法约分”后为 反例：5418'54 而1 …（3分）》 a2由c是整数知，a=1或2，所以 20a (2)①：c= (a=2 c=4lc=51 故(a,b,c)为(1,6,4)或(2,6,5)；…(5分) ②c=10e=10-10 a+1 0a中由c是整数知，a+1=1,25, 10,因为1≤a≤c≤9,1≤b≤9，所以a=1或4，所 以a=或a=4 (c=5(c=81 故(a,b,c)为(1,9,5)或(4,9,8)；…(7分) (3)正确，证明如下：…（8分)》 n个 19…9_10°+(10°-1)_2×10-1_2×10°-1 9…9510×(10-1)+5101-55×(2x10°-1) …(10分） 1 n个 n个 而按“非法约分”规则 19919m91 9959955, A个 个 n个 故19 的“非法约分”正确。…（12分)》 9.95 一个 25.证明：(1)如解图①，连接0B,则0B=0M, 0Q·0P=0A2, ∴.0Q·0P=0B2, OB OP 000B …(小分) ∠BOP=∠Q0B, .△B0P△Q0B,…(2分) .LOPB=LOBQ, BP⊥OA, ∠0BQ=∠0PB=90°，…(3分) .QB⊥0B, 又：0B为⊙0的半径， .BQ为⊙0的切线； (4分) B 0 图① 图② 第25题解图 (2)①如解图②，延长BP交⊙0于点M,连接 CM,OB, BP⊥OM,BP=PM,…(5分) 在Rt△0BP中，由勾股定理，得BP=0B-0P2, 0B=0A, BP2=0A2-0p2. BC=BC,.∠BDC=∠CMB, ,∠BPD=∠CPM, ∴.△BPD∽△CPM, (7分) BP DP CP-MP' .BP·MP=CP·DP,…(8分) .BP=CP.DP, .CP·DP=0A2-OP;…(9分) ②如解图②，由(1)知L0BQ=90°，.∠ABQ=90° -∠OBA, 在△0MB中，OA=0B, ÷∠0BA=∠0MB=180°-LA0B=90 2∠A0B. 1 LABQ=90-(902A0B)40B ,∠DB= 4A0B, ∠ADB=∠ABQ.…（14分)准考证号： 姓名：」 数 学 本试卷共6页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题 卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在 答题卡相应位置上， 3.作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的。 1.下列实数中，属于无理数的是 A.√2 B.8 C.0.213 D. 7 2.方斗杯是明代嘉靖时期流行的杯式之一，造型别致.如图1，中国国家博物馆藏有一例黄地绿彩云龙纹 方斗杯，图2为其示意图，它的主视图是 主视方向 图1 图2 A D 3.若二次根式√2-x有意义，则x的取值范围为 A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2 4.一木工有四根长分别为30厘米、50厘米、60厘米、90厘米的木条，要选其中三根木条钉成一个三角木 架，木工的选法有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 5.将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形木板上，直尺的一边经过三角形的顶点C,并与AB 交于点D,直尺的另一边分别交AC,AB于点E,F,若∠AEF=40°，∠BDC=105°，则∠A的度数为 A.40° B.50 C.65° D.75 6.《九章算术》中记载了一道题，大意是：兔子和狗在同一起点同向而行，兔子先出发100步，然后狗出 发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗和兔子都不停的话，狗再跑多少步可以追到兔 子？若设狗再跑x步可以追到兔子，则可列方程为 A. 50x 250x-30 B. 250x+30 C.180 D. 250x 180x-30 180x 180x+30 7.已知关于x的一元二次方程ax2+6x+3=0,其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情 况是 3 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 8.2025年11月9日，第十五届全国运动会正式在广州开幕.运动会后某校兴趣小组统计了九年级三个 班级所有同学在运动会期间的平均观看时间，结果如下表： 班级 1班 2班 3班 运动会期间平均观看时间/h 4 2 3 并计算出这三个班级在运动会期间平均观看时间为2.9h,则1班、2班和3班的学生人数可能分别为 A.40人、40人、40人 B.44人、36人、40人 C.45人、35人、40人 D.34人、46人、40人 9.如图，⊙0的内接四边形ABCD的对角线BD经过圆心O,若∠ABD=35°，则∠ACB的度数为 A.35° B.45° C.55 D.65 10.已知抛物线y=a2+bx+e(a≠0)与x轴交于A(-1,0),8(1-a,0)两点，且点C(2,),D(-分)都在 抛物线上，则下列说法正确的是 A.当a>-4时，y1>y2 B.当a<-4时，y1y2 C.无论a为何值，y1≥y2 D.无论a为何值，y,≤y2 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场 隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一.若无人机在飞行过程中，上升8米记作 +8米，那么下降10米记作 米 12.不等式2x+3>1的解集为 13.为加强对学生的法治教育，弘扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动， 活动结束后，进行了“法治知识”测评，下面是随机抽取的6名学生的测试成绩（分）统计图，则这6名 学生成绩的中位数为 分 成绩分 100 95 关注微85 8 0 A B C D E方学生 14.如图，已知四边形ABCD是菱形，连接AC,过点D,B分别作DE⊥AB于点E,BF⊥CD于点F,连接 EF,若EF=10,AC=16,则菱形ABCD的面积为 15.如图，已知矩形ABCD的顶点均在反比例函数y=一的图象上，其中顶点A,B在第一象限（点B在点A 右侧)，顶点C,D在第三象限（点C在点D右侧），若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标 为 16.在物理学中，速度具有大小和方向.如图1，点0受到两个速度v1,2的影响，其大小分别用线段OA, OB的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段OA,OB表示，以线段OA,OB为邻边作平行四边 形，则对角线OC的长度和方向表示u,与v2的合速度v(即实际速度)的大小和方向，这种求u1与v2 合速度v的方法称为平行四边形法则.如图2，若小河的水流速度为v,k/h,方向为正东，小船在静 水中的航行速度为v2km/h,两个速度的方向所成的角为α(0°≤a≤360)，且v2>w,小船的实际速度 为vkm/h.根据平行四边形法则，下列结论正确的是 .（写出所有正确结论的序号) ①若a,y,不变，v2变大，则小船的实际速度v变大； ②2-U1<v<v2+v1; ③若小船沿正北方向行进，则v=√-km/h. 小船在静水 中的航行速度 一kn北东 水流速度u,kmh 图1 图2 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 计算：V12+15-31-(3) 18.(8分) 如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，连接BD,CE相交于点O,∠BEC=∠CDB,CE=BD. 求证：AE=AD. 19.(8分) B 解方程1 1-x 20.(8分) 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且 点D恰好落在BC的延长线上，点E恰好落在AC的延长线上 (1)求证：△DAE是等腰三角形； (2）若Coe CACE= 2,BC=3,求AB的长 21.（8分) 如图，已知△ABC和射线CD,AB=AC,∠BAC<60°. (1)在射线CD上求作点E,使得∠ABE+∠BCD=180°；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在(1)的作图条件下，若∠BCD=135°，求证：BE=√2AB. 22.(10分) 某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖 机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放 回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖 (1)某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； (2)请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等 奖的概率小于获三等奖的概率， 23.(10分) 二次函数y=ar2+bx(a<0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4. (1)求a,b应满足的数量关系 (2)已知二次函数的图象上任意两点(x1,y),(x2,y2)满足：若(x,-2)(x2-2)>0,则总有y,≠y2 ①求该二次函数的表达式： ②试说明：对于该二次函数图象上两点(m,p）,(n,p)(其中m≠n且p≠0)，都有m-4)'-” m 24.(12分) 阅读材料，回答问题 主题 “错”中取义一“非法约分”的规律探究 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确 提出 恩号，小明称之为非法的分”据此，他提出猜想者一个分数”约去 的练习题： 问题 分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等， 分析 问题1小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例. 问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为 两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为 两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为ab=10a+b,bc=10b+c(1≤a,b,c≤ 9),且该分数的非法约分”表示为：爱-叠-÷ 提出并证明了以下命题， 解决 问题 命题：若分数=0(1≤a≤c≤9,1≤b≤9)，则必有a=b=c或a≠b≠c时，有序数对(a,b, bc c)有且仅有4对. 证明：依题意知 0a+b_a,整理，得9ac=6(10a-c)…(*), '10b+cc 当a=b=c时，=1=0，显然成立； aa a 当a=b≠c时，9ac=a(10a-c),所以a=c矛盾，舍去； 续表 主题 “错”中取义—“非法约分”的规律探究 当a=c≠b时，9a2=b(10a-a),所以a=b矛盾，舍去； 当a≠b≠c时，因为-8≤a-c<0,所以10a-c=9a+(a-c)不是9的倍数，由(*)得，b为3的 倍数，所以b=3,6或9， 解决 若b=3,则由(*)得，c= 10a-9a+3+a-3=3+a-3 3a+13a+1 3a+,由3a+l>a-3得，c不是整数，舍去； 问题 若b=6,则由(*)得， ① 若b=9,则由(*)得 ② 综上所述，a,b,c应满足a=b=c或a≠b≠c时，有序数对(a,b,c)有且仅有4对. 故命题成立 n个 推广 问题2 若把1的分子，分母中相同数字9“拉长”至n个得到分数9 95 g95则它的“非法约 延伸 n个 分”是否正确？证明你的结论 (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2. 25.(14分) 如图，在⊙O中，P,Q分别是半径OA及其延长线上的点，BP⊥OA交⊙0于点B,且OQ·OP=OA2,连 接BQ. (1)如图1，求证：BQ为⊙0的切线； (2)如图2，CD是经过点P的弦 ①求证：CP·DP=OA2-OP2; ②连接AD交BP于点E,连接AB.求证：∠ADB=∠ABQ, D 图1 图2