二项式定理专项练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

苏州高二数学下学期：二项式定理专项练习 一、单选题 1.设，且，若能被13整除，则（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据二项式的展开式，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意 ， 因为52能被13整除，所以也能被13整除， 因为，所以. 2.二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式易求. 【详解】二项式的通项为， 则其展开式中的系数为． 故选：C. 3.除以的余数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再写出的展开式，即可判断. 【详解】因为，其中 所以， 即， 因此除以的余数是，故D正确. 4.设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 令，可得，即， 令，可得， 即， 因此. 5. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令和，再结合二项式定理求解即可. 【详解】令，由， 得， 则， . 6. 展开式中的常数项为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，再分别分析（x2+2）与展开式相乘得到常数项的情况，最后将两部分常数项相加即可得到原式展开式中的常数项． 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，1，…，5， 令，则6﹣r＝4， 将r＝1代入通项公式可得， 那么x2与﹣5x﹣8相乘得到的常数项为x2×（﹣5x﹣2）＝﹣5， 令，则5﹣r＝6， 将r＝5代入通项公式可得， 那么2与﹣1相乘得到的常数项为7×（﹣1）＝﹣2， 则展开式中的常数项为﹣5+（﹣7）＝﹣7． 7. 在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果. 【详解】令,故系数项的和为, 故 故被5除所得的余数为1. 故选: 8. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以系数为. 故选：A 二、多选题 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用赋值法分别判断A、B、C，令得，对等式两侧同时求导函数及赋值即可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，令，则，故B正确； 对于C，令，则，故C正确； 对于D，令，则， 对等式两侧同时求导函数得， 令得，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得： ， 令，得，D错误. 故选：AC. 11.已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断． 【详解】对于A，令，则，解得，故A正确； 对于B，令，则，所以，故B正确； 对于C，展开式的通项为， 则，即，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确． 三、填空题 12. 在的展开式中，含项的系数为______． 【答案】19 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式逐一进行求解. 【详解】在的展开式中， 含项的系数为， 故答案为：19. 13. 的展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分配律，结合二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得，令，求得， 由于， 故其展开式中的常数项为 故答案为：. 14. 已知，则______. 【答案】4 【解析】 【详解】令 ，则 ，，原等式左边转化为  ， 就是该式展开后 项的系数， 中项系数为 ； 中项系数为  ； 所以  . 四、解答题 15.已知展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中的有理项． 【答案】（1）7 （2），. （3），，. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的通项公式列式，可求的值. （2）根据二项式系数的性质，结合二项展开式的通项公式可求解. （3）利用二项展开式的通项公式求有理项. 【小问1详解】 因为展开式的通项公式为. 由题意 . 所以. 【小问2详解】 因为，展开式共有8项，所以第4项与第5项的二项式系数相等且最大， ，. 【小问3详解】 因为， 当时，可得展开式的有理项. 所以展开式中的有理项为： ，，. 16. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 【答案】（1） （2）240 （3）140 【解析】 【分析】（1）赋值得到关于的等式，进而求出结果. （2）先根据二项式定理求出通项，然后列出不等式，求解即可. （3）根据二项式定理求出所求项的系数. 【小问1详解】 令，得，得. 【小问2详解】 的展开式的通项. 设第项的系数最大， 则整理得 解得，则， 所以展开式中各项系数的最大值为. 【小问3详解】 中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的系数为. 17.已知的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求； （2）求第三项的二项式系数及展开式中的系数； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项. 【答案】（1）（2）；（3）或 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的知识及二项式系数的性质，列式求得n ； (2)直接求解第三项的二项式系数，然后写出二项展开式的通项，由的指数为求得 ,则展开式中的系数可求； (3)根据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】(1)二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，则 ，解得：(舍去)或； (2)由(1)可得：， 所以展开式中第三项的二项式系数为， 展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为； (3)由(2)可得：，解得， 所以展开式中系数的绝对值最大的项为 或. 18.已知，展开式中二项式系数的最大值为. （1）求值； （2）求的值（结果可以保留指数形式）. 【答案】（1）； （2）或148160. 【解析】 【分析】（1）根据二项展开式的项数确定展开式中二项式系数最大值为和，列出方程求解即得； （2）将代入二项式，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得. 【小问1详解】 因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和， 依题知，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，①， 当时，②， 由①-②：， 即得：. 19.已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】（1）7 （2）128.45 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数列方程，即可求解， （2）利用二项式展开，即可代入求解， （3）根据二项式展开式的通项，列不等式求解即可. 【小问1详解】 ∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ 【小问2详解】 【小问3详解】 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州高二下学期：二项式定理专项练习 一、单选题 1.设，且，若能被13整除，则（ ） A. 0 B. 1 C. 11 D. 12 2.二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3.除以的余数是（    ） A. B. C. D. 4.设，则（ ） A. 242 B. 243 C. 32 D. 31 5. 记，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6.展开式中的常数项为（　　） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 7. 在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 90 B. 60 C. 30 D. 20 二、多选题 9. 若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11.已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.在的展开式中，含项的系数为______． 13. 的展开式中的常数项为______． 14. 已知，则______. 四、解答题 15. 已知展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大的项； （3）展开式中的有理项． 16. 已知的展开式中所有项的系数之和为729. （1）求； （2）求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示） （3）求的展开式中的系数.（结果用数字表示） 17.（南京田家炳中学2026年期中第17题） 已知的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求； （2）求第三项的二项式系数及展开式中的系数； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项. 18.已知，展开式中二项式系数的最大值为. （1）求值； （2）求的值（结果可以保留指数形式）. 19. 已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 学科网（北京）股份有限公司 $