二项式定理5种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项式定理5种高频考点专项训练 二项式定理5种高频考点专项训练 考点目录 求二项展开式某项的系数 二项展开式系数和问题 二项展开式系数最值问题 二项式定理的应用 杨辉三角形问题 考点一 求二项展开式某项的系数 例1．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 【答案】A 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， ， 的系数为，故A正确． 故选：A． 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】， 其中含有的项分别是和， 这两项系数之和为， 故选：C. 例3．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为______ 【答案】 【详解】因为， 由二项展开式通项公式可得， 令解得，此时， 令解得，此时， 所以的展开式中的系数为， 故答案为： 例4．（24-25高二下·广东广州·月考）的展开式中，的系数为______ 【答案】 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 变式1．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 变式2．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（   ） A．70 B． C．252 D． 【答案】D 【详解】， 因为中含的项为， 所以的展开式中的常数项为. 故选：D． 变式3．（25-26高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________． 【答案】5 【详解】由题意得， 则含的项为，所以含的项的系数为5． 故答案为：5. 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为________. 【答案】 【详解】由题可知，二项展开式的通项公式为， 令，可得， 故， 故项的系数为. 故答案为：. 考点二 二项展开式系数和问题 例1．（25-26高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 例2．（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 例3．（25-26高三上·湖南邵阳·月考·多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 【答案】ABC 【详解】令，得各项系数和为，又二项式系数和为， 所以，解得， 所以，故AB正确； 展开式的通项公式为， 令，求得，故常数项为，故C正确，D错误； 故选：ABC. 例4．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，即，所以. （2）令，，所以展开式的系数和为. （3）二项式展开式的通项为：，令，解得，所以当时，，所以展开式中的系数为. （4）令，，所以展开式的第四项为. 变式1．（25-26高三上·江西·月考·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】令，得，A错误． 令，得①，B错误． 令，得②，由①-②得，C正确． 令，得， 则，D正确． 故选：CD 变式2．（24-25高三下·贵州遵义·月考·多选）下列关于的说法，正确的是（   ） A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024 C．展开式的第5项的系数为252 D．展开式的的系数为45 【答案】AD 【详解】A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确； B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误； C，的展开式通项公式为且， 所以第5项的系数为，C错误； D，令，则展开式的的系数为，D正确. 故选：AD 变式3．（25-26高二上·辽宁·月考·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A项，令，则，A项正确； 对于B项，令，则，B项正确； 对于C项，令，则，结合B项得，C项错误； 对于D项，，，则，D项正确． 故选：ABD 变式4．（25-26高二上·四川·期中）在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 【答案】(1)；1. (2)答案见解析. 【详解】（1）二项式系数和为，，解得， 令二项式中，则． ，所有项系数之和为1． （2）二项式的通项为， 若为有理项，则，即， ， ， ， ， ， ． 考点三 二项展开式系数最值问题 例1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 例2．（24-25高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 例3．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 例4．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 【答案】 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 变式1．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 变式2．（24-25高二下·山东烟台·月考）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】令，，且， 解得，，且， 所以时，， 而，， 所以，且， 故取最大值时的值为9． 故选：B． 变式3．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 【答案】 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 变式4．（24-25高二下·浙江杭州·月考）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 【答案】. 【详解】若展开式中有且仅有项的系数最大，不合题意， 当时，所以项的系数均为正数，则需满足， 即得； 当时，奇数项的系数均为正数，偶数项的系数均为负数， 则此时需满足，解得， 综合可得的取值范围是， 故答案为：. 考点四 二项式定理的应用 例1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 例2．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 例3．（25-26高二上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 【答案】 【详解】由被除之余式为，被除之余式为， 则可设， 且有，故， 则， 故被除所得余式为. 故答案为：. 例4．（2025·广东·模拟预测）的百位、十位、个位所对应的数字按原顺序排列构成的三位数是_____________． 【答案】249 【详解】因为， 当时，必为的倍数， 即末三位均为0，不会对展开式中百位、十位、个位产生影响， 当时，可得，末三位均为0. 考虑的情况： 当，； 当，； 所以将这两项相加得到20249，取后三位即249． 故答案为：249． 变式1．（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 【答案】B 【详解】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 变式2．（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】A 【详解】 故小数点后第二位的数字是0. 故选：A. 变式3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 【答案】5 【详解】 因为能被整除， 所以除以的余数是，故的最小正整数为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________. 【答案】7 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 考点五 杨辉三角形问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 例2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 变式1．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 变式2．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $二项式定理5种高频考点专项训练 二项式定理5种高频考点专项训练 考点目录 求二项展开式某项的系数 二项展开式系数和问题 二项展开式系数最值问题 二项式定理的应用 杨辉三角形问题 考点一 求二项展开式某项的系数 例1．（25-26高三上·北京·月考）在的展开式中，的系数为（    ）． A． B．8 C． D．48 例2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的展开式中，含的项的系数是（    ） A．35 B．5 C． D． 例3．（24-25高二下·内蒙古包头·期中）的展开式中的系数为______ 例4．（24-25高二下·广东广州·月考）的展开式中，的系数为______ 变式1．（24-25高二下·重庆·期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·重庆渝中·月考）的展开式中的常数项为（   ） A．70 B． C．252 D． 变式3．（25-26高三上·河北邢台·月考）在的展开式中，含的项的系数为_____________． 变式4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为________. 考点二 二项展开式系数和问题 例1．（25-26高三上·湖南长沙·月考·多选）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖南永州·模拟预测·多选）设，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南邵阳·月考·多选）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则（    ） A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为135 D．常数项为-135 例4．（25-26高三上·天津南开·开学考试）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． (1)求； (2)求展开式的系数和； (3)求展开式中的系数； (4)求展开式的第四项． 变式1．（25-26高三上·江西·月考·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三下·贵州遵义·月考·多选）下列关于的说法，正确的是（   ） A．展开式的各二项式系数之和是1024 B．展开式各项系数之和是1024 C．展开式的第5项的系数为252 D．展开式的的系数为45 变式3．（25-26高二上·辽宁·月考·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·四川·期中）在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求： (1)和展开式的所有项系数之和； (2)展开式中的有理项． 考点三 二项展开式系数最值问题 例1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 例2．（24-25高二下·江苏徐州·月考）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 例3．（24-25高二下·上海闵行·期中）已知的二项展开式中系数最大的项为______． 例4．（24-25高三下·广东深圳·月考）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是______． 变式1．（24-25高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 变式2．（24-25高二下·山东烟台·月考）若，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式3．（24-25高二下·河南开封·月考）已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是______________. 变式4．（24-25高二下·浙江杭州·月考）在的展开式中，有且仅有项前的系数最大，则实数的取值范围是__________ 考点四 二项式定理的应用 例1．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 例4．（2025·广东·模拟预测）的百位、十位、个位所对应的数字按原顺序排列构成的三位数是_____________． 变式1．（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 变式2．（2025·江西吉安·模拟预测）的小数点后第二位的数字是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 变式3．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，且恰能被整除，则的最小正整数取值为__________． 变式4．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________. 考点五 杨辉三角形问题 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 例2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 变式1．（24-25高二下·河南信阳·期末·多选）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 2 学科网（北京）股份有限公司 $