2026年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2026年中考数学高频考点突破一一圆的切线的证明 1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，⊙O是△ABC的外接圆，P为CO的延长线上一 点，且AP=AC. (1)求证：AP是⊙0的切线： (2)若PB为⊙O的切线，求证：△ABC是等边三角形. B ◇ 2.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，PC经过圆心O,∠APB=60°. (I)求∠ACB的度数： (2)证明四边形APBC是菱形. 3.如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，点D为⊙O上一点，且 ∠EDB=∠EAD E B (1)求证：ED是⊙O的切线、 (2)过点作00的切线1C,交ED的延长线于点C,若C=15,E=5,求C的长. 4.如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B,OC平行于弦AD, 04=2 (1)求证：DC是⊙O的切线： 试卷第1页，共3页 (2)求ADOC的值： (3)若AD+OC=9,求CD的长. C D B 5.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙0于点E. E D (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若CA=6,CE=3.6,求⊙0的半径0A的长 6.已知AB是⊙O的切线，切点为B点，AO交⊙O于点C,点D在AB上且DB=DC. (1)求证：DC为⊙O的切线： (2)当AD=2BD,CD=2时，求AO的长. B D A 7.如图，AB是⊙O的直径，点C,D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作 ⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E,F,连接BF. 试卷第2页，共3页 B (1)求证：BF是⊙O的切线： (2)已知⊙0的半径为2，求EF的长. 8.如图，AB,AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D,过点A作半⊙O的切线 AP,AP与OD的延长线交于点P,连接PC并延长与AB的延长线交于点F. D y (1)求证：PC是半⊙O的切线： (2)若CMB=30,4B=10,求线段BF的长. 9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点 B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E. B 0 (1)求证：PB为⊙O的切线： (2)若OC:BC=2:3,求sin∠E的值. 10.如图，以O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接 DC,过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E,且∠DCB=∠DAC. 试卷第3页，共3页 C D B 0 (1)求证：CD是⊙O的切线； 2 (2)若AD-6,tam∠DCB=3,求CE的长. 11.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O于点E,F,过点A作PO的垂线 AB,垂足为点D,交⊙O于点B,延长AO与⊙O交于点C,连接BC, A E D P B (1)求证：直线PB为⊙O的切线； (2)若BC=2, cos∠C= 3,求PA的长。 12.B为00 的直径，PA为O0的切线，8C/10P交o0于C0交©0 于 交 于D, D 9 B (1)求证：PC为⊙O的切线； 试卷第4页，共3页 (2)过点D作DEL4B于E,交4C于F,PO交AC于，BD交4C于G,DF=fG,DF=5. 于 于 CG=6,求⊙0的半径， 13.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于 点B.连接BO并延长交⊙O于点D,交PA的延长线于点E. D A (1)求证：PB为⊙O的切线： (2)若AE=5,DE=3,求⊙O的半径； (3)若OC:BC=2:3,求sinE的值. 14.如图，P是⊙O外一点，PA是⊙0的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB, 延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点. E ()求证：PB是⊙O的切线： B0D为PB边上的中线，若10=4C0=2,求OD ,求的值 试卷第5页，共3页 参考答案 1.解：(1)证明：连接OA ∠ABC=60° ∠A0C=1209 .OA=OC .∠OCA=∠OAC=309 .·AP=AC .∠APC=∠ACP=30 .∠PAC=120° ∴.∠PAO=∠PAC-∠OAC=120°-30°=90 ,AP⊥OA 又OA是⊙0半径， ,AP是⊙O的切线. B (2)证明：连接OB AP,PB⊙O 的切线， ..PA=PB .OA=OB ∴PO是AB的垂直平分线. .CB=CA :∠ABC=60° .△ABC是等边三角形， B 答案第1页，共2页 2.(1)解：：PA,PB是⊙O的切线， ∴.∠PAO=∠PB0=90°， .∠APB=60° ∴.∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=120°， ·∠ACB=)∠40B=60: 2 (2)证明：PA,PB是⊙O的切线，∠APB=60°， :∠AP0=∠BP0=)×60°=30°， 2 在△APC与△BPC中， AP=BP ∠APO=∠BPO PC=PC :.△APC≌aBPC(SAS) 4C-BC:Z4CP=ZBCP=X60=30 .∠APC=∠ACP=30°， ∴.AP=AC, ∴.AP=PB=BC=AC, ∴.四边形APBC是菱形 3.(1)证明：如图，连接OD B AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠EAD+∠DBA=90° .OB=OD, .∠ODB=∠DBA. 答案第2页，共2页 ,∠EDB=∠EAD ∴.∠ODE=∠ODB+∠EDB=∠DBA+∠EAD=90°， ∴.ED⊥OD ∴ED是⊙O的切线. AE=15,BE=5 (2)解： ∴.AB=AE-BE=15-5=10, :0D=0B=)4B=5, ∴.OE=OB+EB=5+5=10」 ED是⊙O的切线， ∴.∠ODE=90° 0D=5,0E=10 DE=5V3. CA是⊙O的切线， ∴.∠CAE=90°， .∠ODE=∠CAE. ∠E=∠E, ∴.△ODE∽△CAE」 ÷806 5-55 .AC15· .AC=5/3 CE=V552+152=10W5 4.解：(1)证明：连接OD,如图： 答案第3页，共2页 B ,BC是⊙O的切线 ∴DB=90° AD//OC .∠1=∠3，∠2=∠4 .OA=OD ∠2=∠3=∠1=∠4 ..OB=OD,OC=OC :△OCD2aOCB(S4S ∴.∠ODC=90° CD过半径OD的外端点D ∴.DC是⊙O的切线： (2)连接BD,如图： D A B .OCIlAD .∠1=∠3=∠2 .∠ADB=∠ODC=90° ∴.△ADB∽AODC 答案第4页，共2页 AD AB .0D0C .OA=2 ∴.OD=OA=2,AB=20A=4 .AD.OC=OD.AB=8, (3).AD.OC=8,AD+OC=9 AD=1,OC=8或AD=8,OC=1(不合题意，舍去) :.CD=v8-2=25 故答案是：(1)见解析(2)见解析(3)2V厅 5.(1)连接AE,OE, C E AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°， ,AC是圆⊙O的切线， .AC⊥AB, 在直角△AEC中， D为AC的中点， .'.DE-DC-DA, .∠DEA=∠DAE, .OE=OA, ∴.∠OEA=∠OAE, ,∠DAE+∠OAE-90°， ∴.∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°， ∴.OE⊥DE, ∴.DE是⊙O的切线： (2),AB是⊙0的直径， 答案第5页，共2页 ∴.∠AEB=∠AEC-90°， 18 在Rt△ACE中，CA=6,CE=3.6= 5 ..AE-VAC2-CE2=62- 18 24 5 5 ∴.∠B+∠EAB=90°， .∠CAE+∠EAB=90°， ∴.∠B=∠CAE, .Rt△ABE~Rt△CAE, 24 AB 5 ABAE,即6=8， AC CE 5 .AB=8, ⊙0的半径0A=)AB=4 6.证明：(1)连接OB、OD,如图： B D AB是⊙O的切线，切点为B, ∴.OB⊥AB 在△OBD和△OCD中 OC=OB OD=OD BD=CD .△CBD≌AO0D(SSS) ∴.∠OBD=∠OCD=90°即CD⊥OA 答案第6页，共2页 故DC是⊙O的切线 (2)'.'DB=DC,AD=2BD,CD=2 .DB=2,AD=4 在△CDA中，由勾股定理得AC-25 ..AB=DB+AD=6 六在△OBA中，令OBX,由勾股定理得x2+6=(x+25)2 解得：x2V5 0A=4V5 7.(1)连结OD,如图， o B :四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC, ·四边形AOCD是菱形， :∴△OAD和△OCD都是等边三角形， .∠AOD=∠COD=60°，∴.∠F0B=60° EF为切线，.OD⊥EF,∠FDO=90°， 在△FDO和△FBO中， OD=OB ∠FOD=∠FOB FO=FO ,.△FDO=△FBO(SAS)' ∴.∠ODF=∠OBF=90°，∴.OB⊥BF, BF是⊙O的切线： (2)在Rt△OBF中，∠FB0=90°， 答案第7页，共2页 ∠FOB=60°OB=2∴.BF=2×V5=2V5 ∠E=30°.EF=2BF=4V5 8.(1)证明：如解图，连接OC, P C B 万 OD⊥AC,OD经过圆心O, AD=CD」 .'PA=PC, 在△OAP和△OCP中， (OA=OC PA=PC OP=OP' ,△OAP≌△OCP(SSS ∴.∠OCP=∠OAP ,PA是⊙O的切线， ∴.∠0AP=90°， .∠OCP=90°， 即OC⊥PC, ∴.PC是⊙O的切线. (2)解：：AB是半圆O的直径，AB=10, ·∠ACB=90, c=0B4B=5, .∠CAB=30°， .∠C0F=60°， 答案第8页，共2页 PC是⊙O的切线， ∴.OC⊥PF, ∴.∠OCF=90 ∴.∠F=90°-∠C0F=30°， .0F=20C=10」 .BF=OF-OB=5 【点晴】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质等知 识，掌握圆周角定理、切线的判定与性质及证明圆的切线的问题常用的辅助线作法是解题 的关键. 9.(1)见解析：(2)13 【分析】(1)连接OA,由SSS证明△PBO≌△PAO,得出∠PBO=∠PAO=90°即可： EA AD (2)连接AD,证明△ADE-△POE,得到EP-OP,证出OC是△ABD的中位线，由三 角形中位线定理得出AD=2OC,由已知设OC=21,则BC=31,AD=4t.由△PBC~△BOC, 可求出sin ZE的值. 【详解】(1)证明：连接OA,如图1， D 图1 ,PA为⊙0的切线， ∠PA0=90°， OA=OB,OP⊥AB于C, .BC=CA,PB=PA, 在△PBO和△PAO中 PB=PA OP=OP OB=0A' ∴.△PBO≌APAO(SSS), 答案第9页，共2页 .∠PB0=∠PAO=90°， ∴.PB为⊙O的切线： (2)连接AD,如图2， 图2 ,BD是直径，∠BAD=90°， 由(1)知∠BC0=90°， ∴.AD/1OP, ∠ADE=∠POE,∠DAE=∠OPE ∴.△ADE∽△POE, 、EAAD ∴EpOP' .BC=AC,OB=OD, .OC是△ABD的中位线， .'.AD=20C, OC:BC-2:3, 设OC-21,则BC=31,AD=41. .'∠OBC+∠PBC-90°，∠BOC+∠OBC-90°， .∠BOC=∠PBC, .∠OCB=LBCP, ∴.△PBC△BOC, BC PC 3t PC ·0c=BC,即2i=31, .- 13 EA AD 8 ·EPOp13' 设EA=8m,EP-13m,则PA=5m. 答案第10页，共2页 .PA=PB, ∴.PB=5m, ·sin∠E=PB、s EP-13· 【点晴】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和 性质、三角形中位线定理、锐角三角函数等知识：熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助 线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题(2)的关键. 10.(1)见解析：(2)AE的长为2： 【分析】(1)连接OC,OE,根据圆周角定理得到∠BCO+∠1=90°，而 ∠DCB=∠CAD,∠CAD=L1,于是∠DCB+∠BCO=90°： (2)根据切线的性质得到EC=EA,OE⊥AC,则∠BAC=LOEA,得到 OA 2 DC OC OA 2 ian∠DCB=an∠OEM=AEF3,易证RiACDO-R△CAE,得到DA=AE=AE=3,求得 CD,然后在Rt△DAE中，运用勾股定理可计算出AE的长 【详解】(1)证明：连接OC,OE,如图， C AB为直径， ∴.∠ACB=90°，即∠BCO+∠1=90°， 又，∠DCB=LCAD, .0A=OC, .∠CAD=∠1， .∠1=∠DCB, .∠DCB+∠BCO=90°，即∠DCO=90°， .CD是⊙O的切线： (2)解：，EA、EC为⊙O的切线， 答案第11页，共2页 .EC=EA,OE⊥AC, .∠BAC=∠OEA(等角的余角相等)， .∠DCB=∠OEA 2 :tan LDCB=3 0A 2 :.tan ZOEA-AE3' Rt△DCO-Rt△DAE, CD OC OA 2 DAAEAE3' .CD=3×6=4, 在Rt△DAE中，设AE=x, :(x+42=x2+6 解得 2· 即AE的长为2： 【点晴】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线： 也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关 键， 6v2 11.(1)见解析：(2) 【分析】(1)连接OB,利用切线的性质和等腰三角形的性质判定 △PAO≌△PBO SAS) 从而求解： AD=2V2 A0=3 OD=1 (2)根据勾股定理和三角形中位线定理求得 ，，利用AA定理 判定△PAD∽△AOD,从而结合相似三角形的性质求解 【详解】解：(1)如图，连接OB, PA为⊙O的切线，A为切点， .∠PA0=90°， 答案第12页，共2页 .OA=OB,PO⊥BA ∴.∠AOD=∠BOD(三线合一)， 在△PAO和△PBO中， AO=BO ∠AOD=∠BOD OP=OP :.△P10≌aPB0SAS .∠PB0=∠PA0=90°， ∴.OB⊥PB 又.OB是⊙O的半径 ∴.直线PB为⊙O的切线： A E D F B C (2).AC为⊙O的直径 ∠1ABC=90,在HBC中，BC-2,co∠C- 3 4C=6,4B=V6-22=4V2 又：点O和点D分别是AC,AB的中点， :0D-8C,AD-4B=25,A0=3'OD=1 2 又：∠APD+∠PAD=90°，∠OAD+∠PAD=90°， ∴.∠APD=∠OAD,且∠PDA=∠AOD=90°， PA AD .△PAD△AOD,AO=OD, 答案第13页，共2页 即号-22 ,PA=6√2， 【点睛】本题考查切线的性质和判定，中位线定理，解直角三角形以及相似三角形的判定 和性质，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键 12.(1)见解析：(2)⊙0的半径为10. 【分析】(1)连OC,由BCOP,得到∠AOP=∠OBC,∠POC=∠OCB,则∠AOP= ∠POC,可得△POA≌△POC,得到∠PAO=∠PCO,而PA为⊙O的切线，得∠OAP= 90°，所以∠PCO=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线； (2)连AD,由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB,则∠ADE=∠ABD,所 以∠ADE=∠ABD,从而易得到∠DAG=∠ADF,有AF=DF=FG=5,AC=5+5+6= 16,得到AH=2AC=8.易证Rt△AOH≌Rt△DOE,得DE=AH=8,则EF=DE-DF= 8-5=3,在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4,在Rt△DOE中，利用勾股定理即可 得到⊙O的半径. 【详解】(1)连OC,如图， D B .BC//OP ∴.∠AOP=∠OBC,∠POC=∠OCB 而OB=OC,即∠OCB=∠OBC, .∠AOP=∠POC, .OA=OC,OP 又 公共， .△POA≌△POC ∴.∠PAO=∠PCO, 而PA为⊙O的切线， 答案第14页，共2页 .∠OAP=90°， ∠PC0=90°， PC为⊙O的切线： (2)连AD, AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， 而DE L AB, ∠ADE=∠ABD, 由(1)得∠AOP=∠COP, .∠ABD=∠DAF, .∠DAG=∠ADF, ∴.AF=DF=FG=5, .AC=5+5+6=16 :.AH=AC=8, 2 又：OA=OD, .RtAAOH≌Rt△DOE, ∴.DE=AH=8 .EF=DE-DF=8-5=3, 在R△AEF中，AE=VAF2-EF2=VS-3=4 设O0半径为，在aD0E中，r=8+-4 .r=10 所以⊙0的半径为10 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线.也考 查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理. 1B.D见解析：(2)；：(3) 5 【分析】(I)连接OA,由SS证明△PB0≌△P10, ∠PBO=∠PAO=90° ,得出 即可： (2)设⊙0的半径为”，根据勾股定理求解即可； 答案第15页，共2页 EA=AD (3)连接AD,证明△ADE”△POE,得到EPOP,证出OC是△ABD的中位线，由 三角形中位线定理得出AD=2OC,由已知设OC-2,则BC=31,AD-41,由△PBC∽△BOC, 可求出sin∠E的值. 【详解】(1)证明：连接OA,如图1所示： :PA为⊙O的切线， .∠PA0=90°， OA=OB,OP⊥AB于C, :.BC=CA,PB=PA, (PB=PA OP=OP 在 和 中， △PBO△PAO OB=OA' ∴.△PBO≌△PAO(SSS) ∴.∠PB0=∠PAO=90°， PB为⊙O的切线： B 图1 (2)设⊙0的半径为r 由(1)可知∠OAE=90 在RtAOAE中，OA+AE2=OE2 则2+53=+3别 8 r=3,即o0的半径为7 (3)连接AD,如图2所示： ·BD是直径，∠BAD=90° 答案第16页，共2页 由(1)知∠BC0=90° :AD//OP, .△ADE∽△POE, EA AD EP OP' .BC=AC,OB=OD, :OC是△ABD的中位线， .AD=20C, OC:BC=2:3, 设OC=2t,则BC=3t,AD=4t. ∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°， .∠BOC=∠PBC, :∠OCB=∠BCP, .△PBC∽△BOC, .BC_PC 3t PC 0C=BC,即2i=31, nc-,m-2. 2 .EA AD 8 EP OP 13' 设EA=8m,EP=13m,则PA=5m .PA=PB :PB=5m, PB 5 ∴.sinE= EP13· E 图2 【点晴】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角 答案第17页，共2页 形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将 所求的角转移到相应的直角三角形是解答问题(3)的关键 14.(1)见解析 2V穷 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅 助线是解题的关键， (1)连接OA,先证明△OBP≌OAP(SSS) 则∠OBP=∠OAP,继而求出∠OBP=90° 可推导出PB是⊙O的切线，即可解答： （2设OA=r,得到”+4=+2，求出r=3,则0A=3,BC=6,设P=x,则 AP=x,得到+6+2=(x+4,解得x=6,则QD=BQ+BD=万，即可解答. 【详解】(1)证明：连接OA, 在△OBP和△OAP中， 「PA=PB OB=OA OP=OP :.△OBP≌aOAP(SSS .∠OBP=∠OAP PA是⊙O的切线，A是切点， .∠0AP=90°， ∴.∠OBP=90°， OB是半径， ∴.PB是⊙O的切线： 答案第18页，共2页 (2)解：A0=4,C0=2,∠0AP=90°， .∠0AQ=90°， 设⊙0的半径为r, 则OA=r,Q0=OC+CQ=r+2, :04+402=00 :r2+4=(+2, 解得r=3, OA=3,BC=2r=6 BO=BC+CO=8 设BP=x,则AP=x, :P0=AP+A0=x+4 .∠OBP=90°， BP+B0 PO x+(6+22=(x+42 解得x=6, BP=6, :.0 0为P8边上的中线， :.BD=-BP=3, 2 :QD=VB0+BD2=√73 即OD的值是V厉 答案第19页，共2页