专题5.2 分式的加减 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

分式的加减 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式的通分 考点梳理 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 典例引领 考向01 通分 【例1】已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】若，则_____． 考点02 最简公分母 考点梳理 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 典例引领 考向01 最简公分母 【例1】分式和的最简公分母为______． 对点提升 【对点1】分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 考点03 分式的加减 考点梳理 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 典例引领 考向01 同分母分式加减法 【例1】计算：______． 考向02 异分母分式加减法 【例2】化简：___________ 考向03 整式与分式相加减 【例3】计算：____． 考向04 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例4】已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 考向05 分式加减混合运算 【例5】当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 考向06 分式加减的实际应用 【例6】谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 对点提升 【对点1】化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【对点2】计算的结果是__________． 【对点3】如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【对点4】已知，则常数，的值分别是：_____． 【对点5】先化简，再求值：，其中 【对点6】若，求证：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式的加减 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式的通分 考点梳理 1. 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 2. 通分的步骤 （1）求各分式的最简公分母； （2）用这个最简公分母除以分式的分母； （3）用所得的商去乘原各分式的分子、分母． 典例引领 考向01 通分 【例1】已知，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件整理出，再将所求分式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，可得， ∴ ． 对点提升 【对点1】若，则_____． 【答案】/ 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 考点02 最简公分母 考点梳理 最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 典例引领 考向01 最简公分母 【例1】分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 对点提升 【对点1】分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 考点03 分式的加减 考点梳理 1. 同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示为． 2. 异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为． 典例引领 考向01 同分母分式加减法 【例1】计算：______． 【答案】1 【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果． 【详解】解： ． 考向02 异分母分式加减法 【例2】化简：___________ 【答案】 【分析】根据异分母分式加减的通分规则，利用，将异分母分式的加减法运算转化成同分母分式的加减法运算即可解答． 【详解】解：． 考向03 整式与分式相加减 【例3】计算：____． 【答案】 【详解】解： 考向04 已知分式恒等式，确定分子或分母 【例4】已知其中A，B为常数，则的值为（   ） A．7 B．9 C．13 D．5 【答案】C 【分析】先对等式右侧通分，根据分式恒等式的性质，分子对应系数相等得到方程组，求解后计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴． 考向05 分式加减混合运算 【例5】当时，将x，，按从小到大的顺序用“<”连接起来：________． 【答案】 【分析】利用作差法比较大小，结合的条件判断差的符号，即可得到三个代数式的大小顺序． 【详解】解：①比较与的大小：， ， ，． ，即， 可得； ②比较与的大小：， ， ，，． ，即， 可得． 综上，． 考向06 分式加减的实际应用 【例6】谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 对点提升 【对点1】化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】按照同分母分式减法法则计算后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【对点2】计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 【对点3】如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 又∵ ∴ 【对点4】已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【对点5】先化简，再求值：，其中 【答案】，3 【分析】先根据分式的加减混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 【对点6】若，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据分式的基本性质和加减法进行变形求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴同理可得，， ∴ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $