精品解析：四川成都铁路中学2025-2026学年下学期3月九年级数学定时练习

成都铁路中学2025-2026学年初三3月定时练习 A卷（100分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义以及看不到的用虚线表示成为解题的关键．根据从上面看到的形状图是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看到的图形为：． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方等知识．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方是解题的关键． 3. 2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元的11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：21.9亿， 故选：A． 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理．根据相似三角形的性质求得，，再利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故选：B． 5. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为24，26，29，30，30，处在第三名的是29， ∴这组数据的中位数是29， 故选：C． 6. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托、折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿子的长为x尺，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，正确列出方程．设竿子的长为x尺，则绳索长为尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”列出方程即可． 【详解】解：设竿子的长为x尺，则绳索长为尺， 根据题意列出方程为：， 故选：B． 8. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象及二次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， 由图象知，， ∴，即选项A正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，即选项B正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为与1，即选项C正确； ∵， ∴，即选项D错误． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，进行计算即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 11. 已知点，都在反比例函数的图象上，则______．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较反比例函数的函数值的大小，先求出的值，比较即可得出答案． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，，的面积为3，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质，熟练掌握相似比等于位似比是解题的关键． 根据比例的性质，求出位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，， ∴与相似比为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到． 由作图可知：，由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出． 【详解】解：由作图知：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. 计算及解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依次计算零指数幂、特殊角的正切值、负整数指数幂及实数的绝对值，再相加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为：． 15. 为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作，为了了解学生预防诈骗的意识情况，我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两辐不完整的统计图表．请根据图表中信息回答下列问题： 测试成绩统计表 等级 测试成绩x 人数 A．防范意识非常强 4 B．防范意识比较强 26 C．有基本防范意识 m D．防范意识较薄弱 1 测试成绩扇形统计图 （1）本次抽取调查的学生共有_____人，统计表中m的值为_____，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角度数为_____； （2）已知该校七年级共有学生1200人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？ 【答案】（1）50，19，28.8； （2）该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有720人． 【解析】 【分析】（1）根据B组人数，求出总人数，再求出m的值即可，圆心角等于360°乘以百分比； （2）根据总人数乘以“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生百分比求解． 【小问1详解】 本次抽查的学生有人 人 A等级的扇形圆心角为 故答案为：50，19，28.8； 【小问2详解】 人 答：该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有720人． 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意． 16. “科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】12.8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，过点C作，垂足为E，根据题意可得：米，，再根据已知易得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点C作，垂足为E， 由题意得：米，， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴（米）， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∵， ∴, 解得：， ∴（米）， ∴此时无人机的高度约为12.8米． 17. 如图，内接于，是的直径，E为上一点，过点E作的切线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 是的直径， ． 与相切于点E， ， ， ． ， ． 又 ∴ ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．先证明，从而可证得，由等腰三角形的性质和三角形外角性质知，即可得出结论； （2）连接．证明，得．从而求得．设，则，，．由勾股定理，得，即，解得，则可求得，，，再解直角三角形得，最后解即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接． 为的直径， ， ，． 由（1）得， ， ． ， ， ． 又， ， ． ， ， ． 设，则，，． 在中，由勾股定理，得 ，即， ， ，，， 在中，． ， ． 在中，， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用是解题的关键． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点为线段上一点，且，连接、，求； （3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：，直线的表达式为： （2）3 （3）存在，、点或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）证明和的相似比为2，设，，分为和两种情况分别得到得关于、的方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则反比例函数的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：连接、， 由一次函数的表达式知，点， 则， ， 则； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意得，，， 过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 当时， 则和的相似比为， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点， 由中点坐标公式得：点， 即、点或点、点． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键；将已知的等式变形为，然后整体代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 21. 某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知的半径为，点光源P到圆心O的距离为．现假设可以随意在上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、切线的性质定理、几何概率等知识，求出，则，即可得到点取在无光圆弧部分的概率为． 【详解】解：设从点O出发的的两条切线分别为，切点分别为A、B，连接，则， ∴， ∵的半径为，点光源P到圆心O的距离为． ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点取在无光圆弧部分的概率为， 故答案为：． 22. 如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为______；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为_______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查圆的相关以及锐角三角函数，熟练掌握圆的相关定理以及解直角三角形的应用是解题的关键．本题先得出四点共圆，可知，进一步求出；第二空主要分析出点经过的路径，才可能对症下药，进一步得出答案． 【详解】解：连接，过点作于，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ∵四点共圆， ∴, ∴,即为定值， 可知在直线上运动， 如图，经过的路径长为， , 在中，由勾股定理得： , 此时， , ∴经过的路径长为． 故答案为：，． 23. 新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则______；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确地理解题意是解题的关键．根据是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，，将，代入解方程组得到由，，两式相减得：，求得，得到“偶点”在直线上，求得抛物线上至少存在一个“偶点”，即直线与抛物线在内有交点，将代入抛物线方程得得到，，这是一个函数，对称轴为直线，当时，当时，当时，求得在的最小值为，最大值为，于是得到结论． 【详解】解：已知是“偶点”，根据“偶点”定义，点满足，， 将，代入可得：， 解得或， ，当时，，不符合条件，舍去， 由，，两式相减得：， ， 即， ， ，即， “偶点”在直线上， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在内有交点， 联立得：， 整理得， ，，这是一个二次函数，对称轴为直线， 当时，； 当时，， 当时，； 在的最小值为，最大值为， 的取值范围 故答案为：；． 二、解答题（本大题共3个题，共30分） 24. “文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）17种 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套，根据总费用不超过6260元，并且购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号“文房四宝”m套，则购进乙型号“文房四宝”套， 由题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以取26，27，28，29，…，40，41，42， ∴共有17种购买方案． 25. 在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设． 【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=； 【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值； 【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴即； （2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线得出，，列出比例式即可求证； （2）由（1）可知，根据，求出点G在上运动，当时，最小，根据面积求出最小值即可； （3）延长交于点P，由（1）得，作于N，利用三角函数求出即可． 【详解】（1）略 （2）延长交于点P，由（1）得， ∵ ∴ ∴点G在上运动，当时，最小， 作于I， ∵ ∴，， ∴， ∴， ， 则最小值为， （3）延长交于点P，由（1）得， 作于N， ∵ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， 所以． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形，再解直角三角形求解． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求点A，的坐标； （2）如图2当时，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、正切的定义、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明A，两点的横坐标为方程的解，即方程的解，然后解方程即可解答； （2）根据题意和二次函数的性质可得、顶点，如图：过C作轴于点E，交于点F，则，可说明，即，则；设点F的坐标为，则，，易得，解得：，即；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后与抛物线解析式联立即可解答． （3）由（2）可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）， ∴A，两点的横坐标为方程的解， ∵， ∴，解得：， ∴点A，的坐标分别为：． 【小问2详解】 解：如图：当时，函数解析式为， ∴，顶点， 如图：过C作轴于点E，交于点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点F的坐标为，则，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可得：当时，函数解析式为，， 设直线的解析式为，则，即， ∴直线的解析式为，， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴； 设直线的解析式为， 同理可得：、， ∵， ∴，解得：， 设直线的解析式为， 则， ①-②可得, , , ∵， ∴， 把代入可得： ， ， ， ∴∴直线的解析式为，整理得： ∴当，即时，， ∴直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都铁路中学2025-2026学年初三3月定时练习 A卷（100分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元的11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 6. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托、折回索子却量竿，却比竿子短一托”．其大意为：有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿子的长为x尺，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（ ） A. B. 函数的最小值为 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 11. 已知点，都在反比例函数的图象上，则______．（填“”，“”或“”） 12. 如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，，的面积为3，则的面积为______． 13. 如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则_______． 三、解答题（本大题共5个题，共48分） 14. 计算及解不等式 （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 为贯彻落实党中央关于打击治理电信网络诈骗的决策部署，我市加大了预防诈骗的宣传工作，为了了解学生预防诈骗的意识情况，我市某中学在七年级随机抽取部分学生进行相关知识测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两辐不完整的统计图表．请根据图表中信息回答下列问题： 测试成绩统计表 等级 测试成绩x 人数 A．防范意识非常强 4 B．防范意识比较强 26 C．有基本防范意识 m D．防范意识较薄弱 1 测试成绩扇形统计图 （1）本次抽取调查的学生共有_____人，统计表中m的值为_____，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角度数为_____； （2）已知该校七年级共有学生1200人，请你估计该校七年级对于电信网络诈骗的“防范意识非常强”和“防范意识比较强”的学生共有多少人？ 16. “科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 17. 如图，内接于，是的直径，E为上一点，过点E作的切线交的延长线于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点为线段上一点，且，连接、，求； （3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则_____． 20. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 21. 某兴趣小组在探究光沿直线传播时，设计制作了一个由点光源和质地均匀不透光的圆环组成的实验装置，由物理学知识，可知点光源发出的光线将圆环的部分区域照亮，其示意图如图所示．已知的半径为，点光源P到圆心O的距离为．现假设可以随意在上取点，则这个点取在无光圆弧部分的概率为______． 22. 如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为______；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为_______． 23. 新定义：若存在常数k，使得点满足，，则称点P为“偶点”．若是“偶点”，则______；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为______． 二、解答题（本大题共3个题，共30分） 24. “文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格． （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？（无需写出具体方案） 25. 在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设． 【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=； 【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值； 【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． （1）求点A，的坐标； （2）如图2当时，若，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $