2026届高三数学适应性训练模拟卷(1)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(1) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 2．（2026·湖北武汉·二模）若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，， 所以. 3．（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【详解】在等差数列中，，而，则， 所以. 5．（2026·河北保定·二模）若两个随机事件相互独立，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 6．（2026·河南商丘·模拟预测）已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的垂直可得且，进而可得所求三角函数值. 【详解】因为，且，， 所以，即， 由辅助角公式得，其中. 因为，的终边不关于轴对称，故，的终边不重合， 则，其中，即， 所以. 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，直线的方程为， 直线的方程为，即， 此时直线与直线重合，而不是平行， 因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件； 当直线与直线平行时， 有，解得或， 经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行， 所以“直线平行”的必要条件是， 该条件无法推出，故“”是不必要条件； 综上所述，“”是“直线与直线平行”的 既不充分也不必要条件，故D正确. 8．（25-26高三下·河南安阳·月考）已知是定义域为的奇函数，若，，则（    ） A．2 B．0 C． D．4 【答案】C 【分析】由是定义域为的奇函数和可得是以4为周期的周期函数，再求出，即可求出，进而求出答案. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，即， 所以，即是以4为周期的周期函数. 因为，分别令中，可得， ，所以，， 所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·二模）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】对于A，先证明、得到平面即可求解；对于B，连接交于点，连接，求证四边形为平行四边形得到即可求解；对于C，假设平面，推出矛盾即可判断；对于D，证明平面即可由面面垂直判定定理得解. 【详解】对于A，在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又为的中点，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，故A正确； 对于B，连接交于点，连接， 因为分别是，的中点，所以， 又，所以， 则四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，若平面，而平面，则， 在矩形中，，则四边形为正方形， 而，矛盾，故C错误； 对于D，由于，，且为的中点， 则与为全等的等腰直角三角形，则， 又为的中点，则， 而，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，即平面平面，故D正确. 故选：ABD 10．（2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】四个选项可分两大类AD与BC，对A先解两个直角三角形、得，进而在中用余弦定理可得；对B选项，通过举反例判断可得， C选项与B同理判断可得，D选项与A选判断项相同. 【详解】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 11．（2026·江西上饶·二模）已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值是 C． D．若且，则 【答案】BD 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求出即可判断A；，利用导数求出的最值即可判断B；令，根据单调性可得，进而推导判断C；作差证明即可判断D． 【详解】解：， 当且仅当即，时取等号，故A错误； 因为且，所以， 设，， 时，的解为，的解为， 则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确； 令，，则， ，，所以在区间上单调递增， 又，，即， 即，， 即，故C错误； 由， ，，，， ，即，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 【答案】 【分析】根据二项式系数和得，从而写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定最小项系数即可. 【详解】由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 13．（2026·广东东莞·二模）已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________. 【答案】1 【分析】首先求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义得到点到准线的距离，计算到轴的距离. 【详解】抛物线的准线方程为， 点在上.若， 设，所以点到准线的距离为， 即，， 到轴的距离为. 14．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 【答案】 【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到，对其求导并研究导函数的性质求出对应自变量，从而确定切线，将问题化为求与的距离问题，即可得. 【详解】由题设，即，故且为常数， 而，则，故， 所以，令， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且时恒成立，， 若是的一条切线，且，而， 所以切线对应为，即， 令，显然，， 所以，在R上恒成立，即在R上恒成立，则， 所以图象恒在和图象的上方，又与平行， 要使最小，等价于求与的最小距离，即为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 16．（2026·江西·二模）如图，在正三棱柱中，，，D为棱的中点，G为的重心． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接BG并延长交AC于E，连接DE，利用面面平行的判定定理证明平面平面后可得； （2）利用空间向量法求解可得. 【详解】（1）连接BG并延长交AC于E，则E为AC的中点，连接DE，则，且， 又，且，所以，且，所以四边形为平行四边形． 所以，又平面，平面，所以平面． 连接，，易证得， 因为平面，平面，所以平面； 因为，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）易证BE，EC，ED互相垂直，以E为原点，以直线EB，EC，ED分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量， 则， 令，得，，所以． 设平面的一个法向量， 则， 令，得，，所以． 设二面角的大小为， 则． 所以， 故二面角的正弦值为． 17．（2026·广东东莞·二模）为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 (1)已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 【答案】(1)，（万人） (2)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，代入回归方程可得预测值； （2）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 【详解】（1）设所求的线性回归方程为， 由题意， ， 所以， 所以 所以. 当时，（万人）. （2）当时，，则， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天． 18．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的性质运算求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，再分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3）由题意得，根据函数的单调性分别求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立， 所以，， 令，代入化简得得， 因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增， 因此不等式等价于. 令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得， 由基本不等式得， 当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值. 因为单调递增，故，因此存在，使得， 即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立. 综上得，即. 19．（2026·江苏·模拟预测）已知一簇双曲线（），当时，双曲线右顶点为.现按如下规则依次构造点（，）：过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点.记点坐标为（）. (1)求点的坐标； (2)双曲线的左焦点为，右焦点为，记，求的值； (3)设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式（，）均成立，求的最小值. 【答案】(1). (2). (3)的最小值为. 【分析】（1）利用第一象限渐近线及点在双曲线上，直接求出的坐标. （2）先求出的一般坐标，再利用双曲线焦点坐标和向量数量积公式求出，最后裂项相消求和. （3）先求出的最小值，将原不等式转化为对任意正整数恒成立.再借助单位圆上对应点的分布，结合周期性与等分点讨论，求出的最小值. 【详解】（1）由题意，双曲线的第一象限渐近线为. 当时，双曲线的右顶点为. 过点作轴的垂线，交渐近线于点，故. 再过点作轴的平行线，与双曲线的右支交于点. 故点的纵坐标为.代入双曲线方程，得所以. 因为点在右支上，所以，故因此 （2）由构造知，过点作轴的垂线，与渐近线交于点，所以. 再过点作 轴的平行线与双曲线 的右支交于点，故. 又因为点在双曲线上，所以. 代入，得.于是. 由，递推可得.所以. 又.故. 对于双曲线，有从而， 所以左、右焦点分别为. 于是. 因此. 由得.所以. 于是. 故所求值为. （3）由第（2）问可知. 因为为射线与轴正半轴的夹角，所以. 又由第（2）问知.故. 于是.因为，所以.且当时取等号. 所以原条件等价于存在实数，使得对任意，都有. 设.则上式化为对任意，都有. 由三角函数性质可知.当且仅当. 设则只取个等分点: .这些点都要落在开弧， 该开弧长度为. 若个等分点能全部落在长度的开弧中， 必须有，故. 若不是有理数，则后的点会进闭弧，不合条件. 因此必有，为了使最小，取.此时. 当时，有. 当时，分别为，对应余弦值分别为均小于. 因此， 的最小值为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(1) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西·二模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·二模）若，为实数，且，则（   ） A．7 B．5 C． D． 3．（2026·湖北武汉·二模）某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．（2026·河北保定·二模）若两个随机事件相互独立，满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南商丘·模拟预测）已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏扬州·模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高三下·河南安阳·月考）已知是定义域为的奇函数，若，，则（    ） A．2 B．0 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·河北·二模）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，则（    ） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 10．（2026·广东东莞·二模）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·江西上饶·二模）已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值是 C． D．若且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·安徽淮南·二模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 13．（2026·广东东莞·二模）已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________. 14．（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点，分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 16．（2026·江西·二模）如图，在正三棱柱中，，，D为棱的中点，G为的重心． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 17．（2026·广东东莞·二模）为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）. 月份编号 1 2 3 4 5 平均参与人数（单位：万人） 0.5 0.7 1 1.3 1.5 (1)已知与之间线性相关，求关于的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数； (2)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万人）服从正态分布，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率 .②若，则 18．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 19．（2026·江苏·模拟预测）已知一簇双曲线（），当时，双曲线右顶点为.现按如下规则依次构造点（，）：过点作轴的垂线交第一象限的渐近线于点，再过点作轴的平行线与曲线的右支交于点.记点坐标为（）. (1)求点的坐标； (2)双曲线的左焦点为，右焦点为，记，求的值； (3)设为射线与轴正半轴的夹角，已知，存在实数，使得对任意，不等式（，）均成立，求的最小值. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $