2026届高三数学适应性训练模拟卷(3)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(3) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 2．（2026·河南商丘·模拟预测）已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（2026·湖南·三模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（    ）. A． B． C． D． 5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 7．（2026·河南商丘·模拟预测）已知实数，满足，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西南昌·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 10．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 11．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线E为中心对称图形 B．O为坐标原点，的最小值为2 C．的最大值为2 D．曲线E的渐近线方程为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北·二模）的展开式中的系数为______________. 13．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 14．（25-26高三上·安徽·月考）在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 16．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱柱中，点为底面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． (1)证明：∥平面； (2)求的长； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 17．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 18．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 19．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(3) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 2．（2026·河南商丘·模拟预测）已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据上四分位数的定义求出的范围，结合选项，即可得答案. 【详解】依题意，， 故为该组数据按照从小到大排列后的第6个数， 则. 3．（2026·湖南·三模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）一个底面半径为的圆柱形水槽中装有适量的水，现放入一个木球后，水面上升且无溢出，若木球体积的三分之二在水中，三分之一在水上，那么木球的半径为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由木球浸入水中的体积等于水上升的体积列方程求解 【详解】设水上升的体积为，， 设木球浸入水中的体积为，，由列方程：，解得. 5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件分别利用两角和差公式展开，两式相比弦化切得解. 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即， 整理得. 6．（2026·湖南永州·三模）已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 7．（2026·河南商丘·模拟预测）已知实数，满足，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意可得，即且， 因为，等价于，等价于， 化简得， 因为，等价于，化简得， 因为，所以，由得. 取，，则，但不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 8．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断为等比数列，求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题意可知，，易知，所以. 又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西南昌·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 10．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】CD 【分析】由题可得，作出函数图象，利用图象判断各个选项. 【详解】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A，B错误； 对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确. 故选：CD. 11．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（   ） A．曲线E为中心对称图形 B．O为坐标原点，的最小值为2 C．的最大值为2 D．曲线E的渐近线方程为 【答案】BCD 【分析】首先对分类讨论，从而得到其完整图形，再将点关于原点的对称点代入曲线方程即可判断A；分段求出最值即可判断B；利用基本不等式即可判断C；根据双曲线渐近线公式即可判断D. 【详解】对A，如图所示，当时，，图象为椭圆 在第一象限内及坐标轴正半轴上的部分； 当时，，图象为双曲线在第二象限内部分； 当时，，图象为双曲线在第四象限内部分； 在曲线上任取一点，则满足， 关于原点的对称点，代入， 故曲线不关于原点对称，故A错误； 对B，，当时，由得， 故，当时，最小值为2， 当时，由得，故， 当时，由得，故， 故最小值为2，故选项B正确； 对于选项C，当时，， 即，当且仅当时，取最大值为； 当或时，，故的最大值为，故选项C正确； 对于选项D，双曲线与双曲线均有渐近线，由图象可知选项D正确， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·河北·二模）的展开式中的系数为______________. 【答案】 【分析】根据二项式定理求出的展开式的通项，即可求解展开式中x的系数. 【详解】设的展开式的通项为， 令，得，， 所以，的展开式中的系数为. 13．（2026·河南商丘·模拟预测）若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______. 【答案】 【详解】依题意，，， 令，则， 令，解得， 而，故， 验证为函数的对称中心： 因为 ， 所以函数的对称中心的坐标为． 14．（25-26高三上·安徽·月考）在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【分析】分析可知，然后以点以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程，可知当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大，设点，设三棱锥的球心为，列方程组求出点的坐标，可求得球的半径，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】因为，，，，则四边形为直角梯形， 平面，平面，则， ，，平面，则平面， 、平面，，，则， 故， 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 由可得，化简可得， 即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大， 不妨设点，设三棱锥的球心为， 由，可得，解得， 所以，三棱锥的外接球球心为，球的半径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程； （2）先由求得，由余弦定理求出的关系，再根据均值不等式求的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意 ， 所以的对称轴为，即. （2）由得 ， 解得或 ，若， 则，与角为锐角矛盾， 若，则 ，取，得， 由余弦定理得 即，由基本不等式得， ，化简得：，等号当且仅当时取得， ，即. 面积的最大值，等号当且仅当时取得. 16．（2026·河南开封·模拟预测）在三棱柱中，点为底面正方形的中心，平面，且，为的中点，直线与平面所成角的正切值为． (1)证明：∥平面； (2)求的长； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，可得，由线面平行的判定定理可证； （2）取的中点，连接，得平面，就是直线与平面所成的角，结合已知条件求得，可求得的长； （3）以为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求出平面一个法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）连接，因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以∥平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，因为平面， 所以平面，所以就是直线与平面所成的角， 由题意知，则，所以， 在中，， 所以，所以. （3）又因为正方形，所以，且平面， 以为原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为， 设平面的一个法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 18．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 【点睛】联立直线与双曲线方程时，要注意判别式大于0，且保证交点在左支；计算斜率乘积和直线过定点时，要注意利用双曲线方程对坐标进行代换，简化运算。同时，过定点的直线方程要注意分斜率存在和不存在两种情况. 19．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数． (1)若对恒成立，求的取值范围； (2)若函数有2个零点 （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】(1)原函数求导，令参数进行分类讨论，求单调区间判断即可 (2)令，构造新的函数，求导利用单调区间即可求解和证明 【详解】（1）（1） 当a≤2时，在上单调递增，恒成立； 当a>2时，令得，，则 当时，，在上单调递减，，不合题意． ，a的取值范围为 （2）（i），， 若有2个零点，即方程有2个根． 令，，h（x）在上单调递增，在上单调递减，且 ，，解得 （ii）由（i）知，， ，， ，即， 要证，即证，， 令，，，； p（t）在上单调递增， ，故 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $