2026届高三数学适应性训练模拟卷(2)（全国Ⅰ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(2) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算集合，再根据集合的交集和并集的定义计算判断各个选项； 【详解】因为， 对于A，因为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误， D正确 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【详解】因为，所以 ，所以，. 3．（2026·山东济宁·二模）已知，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，解得， 反之，若，则，则， 所以的充要条件是. 4．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，且， 所以. 5．（2026·河北·二模）已知正项等比数列满足 ，则 （   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式化简已知条件，由此求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，其中，， 依题意得， 两式相除得，解得（负根舍去）， 所以， 解得. 6．（2026·河南开封·模拟预测）设，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，然后利用二倍角的正切公式计算即可. 【详解】化简等式为，解得或. 因为，所以，所以，所以. 所以. 7．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线， 曲线是以为圆心，1为半径的半圆（如图所示）， 设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点， 则应位于直线和切线之间，所以， 所以斜率的最大值为 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】利用等式变形，再同构一个函数，满足，再由单调性去找到等式关系，最后把二元变量转化为一元变量：，再用函数思想来求最大值即可. 【详解】由题意得，因为， 所以，所以， 令，则， 因为在上单调递增，所以，所以， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线确定的大小，可判断A的真假；利用三角形中位线的性质，可判断B的真假；利用勾股定理，可求的长度，判断C的真假；利用正弦定理求的正弦，进而求其正切，再根据双曲线的对称性判断D的真假. 【详解】如图， 由于，则，，，A正确； 如图，连接，由于为的中位线，则且,所以，于是为等腰直角三角形，B正确； 由，则，， 则，，则C错误； 在中，由正弦定理：，则， 于是，由对称性可知，D正确； 10．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【分析】由线面平行的证明判断AB选项；由线面垂直的性质判断选项C；利用线面垂直证明线线垂直判断选项D. 【详解】由四边形为正方形，所以，平面，平面，故平面，A选项正确； 因为为正方形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，B选项正确； 由四边形为正方形，所以，在正四棱锥中平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，故，故D正确； 在中，，为的中点，不一定垂直于，故C错误. 故选：ABD. 11．（25-26高三上·江西·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的图象关于对称，的图象关于点成中心对称，即可判断AB；又可知，所以，即可；经计算可知，又，，即可得是等差数列，由前项和公式即可判断D. 【详解】根据题意为偶函数可得， 即可知，所以函数的图象关于对称，即A正确； 由是偶函数可得为奇函数， 所以满足，即， 因此的图象关于点成中心对称，所以B错误； 由可知，所以； 即，所以的图象关于点成中心对称， 因此，故C正确； 易知，， 由可得， 联立可得， 所以， 即，， 所以是以为首项，公差的等差数列， 所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：求解函数性质综合问题时，往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明，结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江苏·模拟预测）在的展开式中项的系数为______. 【答案】25 【详解】因为的展开式中含的项为， 所以的展开式中项的系数为25. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由对任意恒成立，变换，根据三角函数的值域即可得到答案. 【详解】由于“”是假命题，则有对任意恒成立， 由于时，，因此， 又因为当时，，且在内可无限趋近，为满足恒成立， 故的取值范围是. 14．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 【答案】 【分析】设，利用三角形重心的性质，结合等高的三角形面积关系建立函数，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，由是的重心，得， 则，又点共线，因此，即， 而，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦的二倍角公式结合正弦定理求得，进而求得角. （2）首先根据面积公式求得，然后再利用余弦定理求得，进而求得，即可求解三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，则，因为为锐角，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理得，即， 所以，即， 故的周长为． 16．（2026·湖南永州·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，与相交于点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）证明：在四边形中，，所以，所以. 因为，所以，即，则. 又，所以. 在中，因为，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以，又， 以点为原点，过点且平行于的直线为轴，，为轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则. 所以，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）令，利用导数讨论单调性，求出的值. 【详解】（1），，的方程为，即； （2）直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，即方程只有一正实数解，即只有一正实数解， 令，则， 时，，单调递减；时，，单调递增； 且时，；时，， 故. 18．（2026·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）或. 【分析】（1）根据斜率之积得到方程，又与、不能重合，从而得到轨迹方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出，证明出结论； （ⅱ）计算出，，，由得到方程，解得，求出直线的方程 【详解】（1）设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为； （2）（ⅰ）可设直线方程为，点， 联立得，， ， 则，， 又直线、方程分别为，， 分别与联立，得，. ∴，， ∴ 所以，. （ⅱ）先证明，在任意三角形中，若，， 三角形的面积 ， 由（ⅰ）知，， ∴，同理. ∴ . 又 ， 因为，， 所以， 故， 故， 由知，，解得. 所以直线的方程为或. 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用第 1 天必晨跑的初始条件，按 “第i天跑或不跑” 两种互斥情况的全概率公式，分步计算、； （2）先通过全概率建立与的线性递推关系，再用构造等比数列法求出通项公式； （3）利用期望的线性性质，将总天数的期望拆为每天晨跑概率的和，再对通项公式用等比数列求和即可. 【详解】（1）由题意，第1天一定晨跑，故， 第1天晨跑，第2天晨跑的概率为​，因此​， 第3天晨跑分两种情况： 若第2天晨跑，则第3天晨跑概率为； 若第2天不晨跑，由规则"不能连续两天不跑"，第3天一定晨跑，概率为1. 因此. （2）对，按第天是否晨跑分类，同理得递推关系， 设，对比递推式得， 因此是首项为​，公比为的等比数列， 所以整理得通项公式： （3）设为第天晨跑的指示变量（晨跑为1，否则为0），则， 由期望的线性性质， . 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(2) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：河北 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B．5 C．3 D． 3．（2026·山东济宁·二模）已知，，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 5．（2026·河北·二模）已知正项等比数列满足 ，则 （   ） A．8 B． C．4 D． 6．（2026·河南开封·模拟预测）设，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南开封·模拟预测）过点的直线与曲线（）有两个交点，则直线斜率的最大值为（   ） A． B．2 C． D．4 8．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数，是的反函数．若，满足，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·广东深圳·一模）设双曲线的左、右焦点分别为，.过的直线与的两条渐近线的交点分别为、，为的中点，为坐标原点.则（   ） A．是直角三角形 B．是等腰直角三角形 C． D．直线的斜率为 10．（2026·河南商丘·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D． 11．（25-26高三上·江西·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·江苏·模拟预测）在的展开式中项的系数为______. 13．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“”是假命题，则的取值范围为__________． 14．（2026·山东济宁·二模）是的重心，过点且不过顶点的直线分别交边，于点，，记和的面积分别为，，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，，． (1)求角； (2)若的面积为，求的周长． 16．（2026·湖南永州·三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，与相交于点，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（2026·安徽马鞍山·二模）曲线在点处的切线为． (1)求直线的方程； (2)若直线与曲线在轴右侧只有一个公共点，求实数的值． 18．（2026·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 19．（2026·安徽合肥·模拟预测）某同学在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：该同学从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第天晨跑的概率为. (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记该同学前天晨跑的天数为，求. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $