2026届高三数学适应性训练模拟卷(9)（全国Ⅱ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(9) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西吉安·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合A，根据指数函数的单调性，可得集合B，根据交集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，得，则， 由，得， 因为在R上单调递增，所以，则， 所以. 2．（2026·广西贵港·三模）若复数满足（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】由，得， 所以. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的计算公式求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 4．（2026·安徽滁州·二模）已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（   ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 【答案】D 【详解】将8位同学的体重按照从小到大的顺序排列：41，53，57，63，67，67，69，71， 对于A，极差为，错误； 对于B，平均数为，错误； 对于C，，所以第三四分位数为，错误； 对于D，方差为， 正确. 5．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆台的体积公式，结合已知条件，求得上下底面圆半径，再利用勾股定理，求得母线长即可. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，设上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为2r，    则圆台的体积为，解得， 所以母线的长是. 6．（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理得： 又因为在中，所以 所以 所以 所以 所以又因为 所以 所以 所以 故选:A. 7．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 8．（2026·甘肃·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据函数推导出与的关系，再根据函数的单调性得到与关系，最后根据基本不等式求解即可. 【详解】， 又在单调递增， ， ，即. ，当且仅当时，等号成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昆明·二模）已知点是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为4 B． C．的图象关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 【答案】ABD 【详解】对于A，点是函数图象相邻的两个最低点，由题意可知，函数的最小正周期为，A正确； 因为，所以， 又因为函数的最小值为，则，所以或， 当时，代入点，所以，所以， 所以，所以； 当时，代入点，所以，所以， 所以，所以；B选项正确； 因为，所以的图象不关于点中心对称，C选项错误； 当时， ，所以，， 可知时，，在区间内的零点个数为1； 当时， ，所以，， 可知时，，在区间内的零点个数为1，D选项正确. 10．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 【答案】BD 【分析】根据双曲线的虚轴、焦半径、渐近线和等面积法对选项进行分析，从而确定最大值. 【详解】依题意，，双曲线的焦点在轴上. A选项，双曲线的虚轴长，故A错误； B选项，由于，故点P为双曲线E上支上一点， 故，解得，故B正确； C选项，由，得双曲线的渐近线方程为，故C错误； D选项，，，故， 于是的面积， 故点到直线的距离，故D正确； 故选：BD.    11．（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（   ） A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时， C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由题可知四面体是由两个直角三角形构成，结合外接球定义即可求解；对于B，易知当平面时，四面体体积最大，利用等体积法确定内切球半径，再求即可；对于CD，根据题意确定截面，结合异面直线距离公式求出截面面积的最值即可． 【详解】对于A，，， ， ， 则的中点为四面体的外接球球心，半径，表面积为，故A正确； 对于B，，又， 当平面时，四面体体积最大， 平面，， ，即和为全等的等边三角形， 则， 四面体的表面积， ， 则四面体内切球半径， 易得平面，故四面体关于平面对称， 则内切球球心在平面上， 过分别作，则， 平面， 平面，同理可得平面， ，即四边形为正方形， ，故B错误； 对于CD，根据题意内切球球心在平面上，且为的角平分线， 设的中点为，又，故直线为直线， 则为其中一个截面， 又平面，平面， ，， 在上取一点，作截面， 由对称性可知，截面关于对称，即当面积最小时，截面面积最小， 以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设异面直线的公共法向量为，距离为， ，不妨取，则， ， 即点到距离的最小值为，此时， 则截面面积最小值为， 综上，过直线的平面截四面体所得的截面的面积最大值为，最小值为，故CD正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·新疆·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种．    【答案】216 【分析】应用分步计数原理结合排列组合数计数求解. 【详解】先对上底面的顶点进行涂色，有种涂法． 再将剩下的1种颜色涂在下底面的顶点处，有种涂法.以涂在点处为例，可对点的涂法进行分类： ①若点与点同色，则点只能与点同色，此时有1种； ②若点与点同色，则点可在点与所涂的颜色中选1种，此时有2种． 可得，故不同的涂法有216种. 故答案为：. 13．（25-26高三上·辽宁营口·期末）函数是偶函数，则_____________． 【答案】 【详解】由偶函数的定义知，则，定义域为， 此时，满足题设，所以. 14．（2026·云南昆明·模拟预测）若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】结合几何知识将角度条件转化为圆心到直线的距离需要满足的条件，即圆心到直线的距离满足，进而利用点到直线的距离公式求解. 【详解】当直线与圆相交时，若点固定在如图所示的位置， ，与直线和圆的两交点分别重合，则；若，两点重合，则，故直线与圆相交时一定存在，及，使得. 当直线与圆相切时，类似直线与圆相交的分析可知，一定存在，及，使得. 当直线与圆相离时，对直线上的任一点，若，相距越来越近，直至，两点重合，则仍有，若与圆相切于，与圆相切于，则取最大值，如图所示. 设圆的半径为，连接，，，则，， 当最短，即长度等于圆心到直线的距离时，最大，即最大，也即最大， 所以若圆上存在两点，，直线上存在点，使得，则必有，又，故. 又直线与圆相交或相切时，，满足题意， 综上，. 又因为圆的半径，圆心到直线的距离， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）利用已知的余弦定理形式 和面积公式，通过两式相除消去 ，直接求出 ，进而确定 . （2）利用外接圆半径和正弦定理将边长用角度的正弦表示，代入已知的面积和边的关系式，得到关于 和 的方程组，解出 ，从而判断三角形为等边三角形. 【详解】（1）由余弦定理，得①， 由三角形的面积公式，得②． ②÷①，得，即． 由，得． （2）由题意，得外接圆的直径为4，则由正弦定理，得， 所以． 因为的面积为， 所以，化简得．③ 因为，所以， 化简得．④ 因为，所以由③④，得， 所以．⑤ 由③⑤解得，又， 所以，故必有， 所以，所以是等边三角形. 16．（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】(1)，人 (2)表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. （2）由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 17．（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证，，根据面面平行的判定定理证明； （2）以点为原点，为轴，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解. 【详解】（1）连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以，， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，又在平面内相交于点， 所以平面平面. （2）根据正八面体结构，以点为原点，为轴，如图建立空间直角坐标系 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为点为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线与平面所成角的正弦值的范围. 18．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）讨论直线的斜率是否存在的情况，并与椭圆联立方程，结合韦达定理求出，再求出原点到直线AB的距离，从而求得的面积． 【详解】（1）由题意： 又 联立 ∴椭圆的方程是：. （2）当直线的斜率不存在时，不合题意， 当直线的斜率存在时，令， 联立，得：， ， ，解得， 经检验：符合题意， 原点到直线AB的距离， . 19．（2026·海南海口·一模）设函数，． (1)令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； (2)求（令，结果用表示）． 【答案】(1)（i）；（ii）4． (2). 【分析】（1）（i）先由题意求得，再根据，运用构造法，得到是等差数列，即可得解； （ii）先将该不等式化简为，再令，求导研究其单调性，求得其最小值的取值范围，再结合，即可得解； （2）利用以及差角的正弦公式，可得，再运用裂项相消法，即可得解. 【详解】（1）（i）∵，， ∴， ∴， ∴是一个首项为，公差为1的等差数列， 故， ∴. （ii）当时，由条件得， ∴，∴， ∴. 令，则， 令，， 所以在单调递增，又， ， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增， 所以，即， 又∵，， 因为，所以n的最大值为4． （2）由（1）知，则， ， 则 . 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(9) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·江西吉安·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西贵港·三模）若复数满足（   ） A． B．2 C． D．1 3．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽滁州·二模）已知某班8位同学的体重（单位：kg）分别为69，71，67，57，63，53，67，41，则这组数据的（   ） A．极差为28 B．平均数为60 C．第三四分位数是69 D．方差为90 5．（2026·山西晋城·模拟预测）某智能制造企业生产一款圆台形精密模具，高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积为，则该圆台的母线长为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山西临汾·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·江西赣州·二模）设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·甘肃·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·云南昆明·二模）已知点是函数图象相邻的两个最低点，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为4 B． C．的图象关于点中心对称 D．在区间内的零点个数为1 10．（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线的上下焦点为，，点P为E上一点，且，则（ ） A．E的虚轴长为6 B． C．E的渐近线方程为 D．点到直线的距离为 11．（2026·山东青岛·一模）已知四面体满足，，点，，，均在球的表面上，球与四面体的4个面均相切，过直线的平面截四面体所得的截面的面积为，则（   ） A．球的表面积为 B．当四面体体积最大时， C．当时，的最大值为 D．当时，的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026高三·新疆·专题练习）如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且每种颜色至少用1次，则不同的涂法有______种．    13．（25-26高三上·辽宁营口·期末）函数是偶函数，则_____________． 14．（2026·云南昆明·模拟预测）若圆：上存在两点，，直线：上存在点，使得，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·山西晋城·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的面积为． (1)求角； (2)若外接圆的半径为2，判断的形状． 16．（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 17．（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． (1)证明：平面平面； (2)若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 18．（2026·重庆·模拟预测）以离心率为的椭圆的顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线交C于两点，为坐标原点，求的面积． 19．（2026·海南海口·一模）设函数，． (1)令，，． （i）求的表达式； （ii）当时，恒成立，求的最大值； (2)求（令，结果用表示）． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $