2026届高三数学适应性训练模拟卷(8)（全国Ⅱ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(8) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山西晋城·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， 则． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式和求和公式化简即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则. 故选：D 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，求出和的直线方程，从而求出点的坐标，进而利用向量夹角的余弦公式进行求解即可． 【详解】由ABCD是正方形，则以为原点，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 如下图， 又正方形ABCD的边长为a， 则，，，，，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即， 则，， 所以． 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则． ， 分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去）， 即， 所以． 6．（2026·广西贵港·三模）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布得到的关系式，从而消元，变形，利用基本不等式求出最值 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线上的点与焦点的距离为6，则为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义以及方程求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以上的点与焦点的距离为，解得， 则抛物线方程为， 将点代入抛物线方程，得，解得. 8．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，可得出，然后由化简得出，将代入化简可得答案. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 因为，即， 即，即， 所以， 又因为，所以（*）， ①当时，， 当时，；当时，. 所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意； ②若，由可得，由可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则函数的极大值点为，即得， 则由（*）得， ， 因为，所以； ③当时，由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 所以函数的极大值点为，同②可得. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ，，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，，， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 11．（2026·山西晋城·模拟预测）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与是异面直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法计算判断选项A、B、C，判断截面为梯形，根据梯形面积公式计算D. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A：，由正方体性质可知平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为， 则，A错误； 对于B：， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 则点到平面的距离，B正确； 选项C：,,所以，所以四点共面， 直线与不是异面直线，选项C错误. 对于D：由选项C的判断可知四边形是平面截正方体所得截面， 因为，，所以四边形是等腰梯形， 由已知可知，如图，过点作于， 因为，， 所以， 所以，D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·湖南湘潭·二模）若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】e 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为， 所以且， 解得，． 故答案为. 13．（2026·山西晋中·二模）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【分析】从角平分线分析判断得到,结合椭圆定义求出与的长度,再在中用余弦定理建立与的关系,最后化简得到离心率. 【详解】已知椭圆：（），焦点，，且. 点在第一象限，满足，该角的平分线交轴于点.    在中，为角平分线，由角平分线定理有（证明见点睛）. 计算，，于是，即. 由椭圆定义得. 设，则，代入上式得，所以. 因此，. 在中，由余弦定理. 代入得. 化简得，离心率. 故椭圆的离心率为. 【点睛】在中，是的平分线.    设，则. 考虑与的面积. 一方面，两个三角形等高（到轴的垂线段为高），因此面积比等于底边之比： . 另一方面，用含角的面积公式： ，， 两式相比得，于是有，即角平分线定理. 14．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南昆明·二模）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，结合同角三角函数关系式进行求解即可； （2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可知： , 又因为，所以 在锐角中，因为， 所以. （2）因为的面积为， 所以， 由余弦定理，得， 因为，且， 所以是锐角三角形，所以符合题意. 16．（2026·云南昆明·模拟预测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列后，通过数学期望公式计算. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 的数学期望（元）. 17．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）先根据设点，再代入计算求解抛物线方程； （2）先设直线的方程为，再联立方程组得出，进而计算即可证明. 【详解】（1）由题意，的坐标为，设在轴的上方，因为， 所以，代入方程得：，所以， 故的标准方程为； （2）的坐标为， ， 设直线的方程为， 联立，消去得：. 由韦达定理可知， 由，则直线的方程为，令，则， 所以的坐标为， 即得， 又因为， 所以. 故. 18．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不在平面内，理由见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质有，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，应用向量法求夹角余弦值即可； （3）根据（2）得到，应用空间向量数量积的坐标运算得到，即可得结论. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 又，平面， 所以平面. （2）在平面内过点作的垂线交于点， 平面，，平面，则，，     构建如下图示的空间直角坐标系，设，则，，，，，， 所以，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为，则， 所以平面和平面的夹角的余弦值. （3）直线不在平面内，理由如下： 因为点在上，且，， 所以，则 由（2）知平面的一个法向量为，所以， 所以直线不在平面内. 19．（2026·云南红河·模拟预测）已知数列满足（），且，函数． (1)求函数的极大值； (2)若，，，使得成立，求的取值范围； (3)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式求出，再利用导数结合极大值的定义求解即可； （2）由题意可得，分别利用导数求出两个函数在对应区间的最大值即可得解； （3）先根据与数列的前项之积的关系求出数列的通项，再利用分组求和法和错位相减法求解即可. 【详解】（1）由（），则， 所以函数，则， 令，解得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以时，有极大值，极大值为； （2）因为，，使得成立， 所以， 由（1）知时，， 由，则， 令，解得，或． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，取得最大值，即，故，解得， 所以； （3）因为①，则，且②， ①②得（）， 则， 即，其中的指数为个2相乘， 因为，所以， 当时，， 所以数列的通项公式为， 当时， ， 令，则，① 两边同乘得，，② ①②得， 化简得：， 令， 法一：，① 两边同乘得，，② ①②得： ， 所以， 法二：因为（）， 将上式两边求导得， 两边同乘， 将上式两边求导得： 两边同乘： 即， 令， 则 ， 所以， 所以 ， 当时，，满足上式， 所以. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(8) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·山西晋城·模拟预测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（    ） A．9 B．27 C．36 D．45 3．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广西贵港·三模）已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线上的点与焦点的距离为6，则为（    ） A．6 B．3 C． D． 8．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三上·云南昆明·期中）设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．（2026·黑龙江吉林·一模）下列关于函数.的说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．是图象的一条对称轴 C．为周期函数，且最小正周期为 D．的值域为 11．（2026·山西晋城·模拟预测）如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到平面的距离为2 C．直线与是异面直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·湖南湘潭·二模）若直线是曲线的一条切线，则________． 13．（2026·山西晋中·二模）椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． 14．（2026·黑龙江吉林·一模）有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南昆明·二模）在锐角中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求. 16．（2026·云南昆明·模拟预测）某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望. 17．（2026·云南昆明·二模）已知抛物线的焦点为，过作垂直于轴的直线与交于两点，. (1)求的标准方程； (2)过的直线与交于两点（点在轴上方），直线交轴于点，求证：. 18．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求平面和平面的夹角的余弦值； (3)设点在线段上，且，判断直线是否在平面内？请说明理由. 19．（2026·云南红河·模拟预测）已知数列满足（），且，函数． (1)求函数的极大值； (2)若，，，使得成立，求的取值范围； (3)若，求的前项和． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $