2026届高三数学适应性训练模拟卷(7)（全国Ⅱ卷）

2026届高三数学适应性训练模拟卷(7) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，即，解得或， 集合， 解不等式得：，即， ． 2．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知，则（　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】， 所以. 3．（2026·重庆·模拟预测）样本数据16，24，10，30，12，14，40的中位数为（   ） A．24 B．16 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先将样本数据从小到大排序，从而可判断得解 【详解】样本数据从小到大排序为10，12，14，16，24， 30， 40；可得中位数为16. 4．（2026·山西临汾·二模）等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为，. 由等差数列性质：，故. 已知，代入得：，化简得. ，化简得. 又，故. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 6．（2026·云南昆明·模拟预测）已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面向量两两的夹角进行分类讨论，结合投影向量的计算公式求得正确答案. 【详解】当三个平面向量两两夹角都为0时， 显然在上的投影向量是， 当三个平面向量两两夹角都为时，因， 所以， 则在上的投影向量为. 所以向量在向量上的投影向量是或. 7．（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的几何性质来判断最短弦长的位置关系. 【详解】直线过定点， 圆的标准方程为，则圆心为，半径为． 当时，直线与圆相交所得弦长最短，因为， 所以直线的斜率为，故，解得． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．在独立性检验中，零假设必须是“分类变量与独立”，不能是“分类变量与有关” B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为2.2 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 【答案】AC 【分析】对于A项，由独立性检验定义判断；对于B项，由残差定义求解；对于C项，由事件的独立性进行判断；对于D项，由总体方差的定义求解． 【详解】对于A，在独立性检验中，将“分类变量与独立”作为零假设，是因为在此假设下可以计算出期望频数，从而构造检验统计量进行检验，故A正确. 对于B，残差定义为观测值（实际值）减去预测值，即，对于样本点，预测值，所以其残差为，故B错误； 对于C，因为，所以，所以事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，不妨设两层数据分别为， 因为，所以总体平均数， 则 所以总体方差为 ， 则， 只有，或时才有，否则，故D错误. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C． D．当时，有2个极值点 【答案】ACD 【分析】对于A，根据对数的运算性质判断即可；对于B，设，利用导数判断其单调性，再根据复合函数的单调性判断即可；对于C，结合的单调性求解判断即可；对于D，对函数求导，令，得，令，则，利用导数分析单调性，可得，即，令，，利用导数分析其单调性，进而结合图象求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由，，， 则， 令，得， 即， 令，则，则在上单调递增， 且，则，即， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，且，， 作出函数的图象，如图， 由图可知，当时，函数与有2个交点， 则方程在上有2个不相等的实数根， 即有2个变号零点，则函数有2个极值点，故D正确. 11．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为1 B．若平面，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 【答案】BC 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可得各点坐标，对A：求出平面的法向量后，可得，再借助基本不等式即可得解；对B：借助空间向量计算即可得；对C：借助点到空间距离公式计算即可得；对D：借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、、 、、、、、， ，，则； 对A：，，， 则， 设平面的法向量为， 则有， 令，则有，即， 由平面，则有， 即，则， 当且仅当时，等号成立，即最小值为，故A错误； 对B：，则， 由平面，则有，即， 解得，，故B正确； 对C：若，则， 则有，即到平面的距离为，故C正确； 对D：，当，时，， 则有 ， 当时，， 当时， ， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为__________． 【答案】8 【分析】先展开化简，分别应用展开式通项计算求出系数. 【详解】的展开式中， 含的项为， 所以的展开式中的系数为8． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________． 【答案】或3 【分析】利用正弦定理求得，从而求得，对进行分类讨论，由此求得. 【详解】由正弦定理得：， 因为，所以， 故或； 当时，； 当时，，所以，所以. 故或. 14．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 【答案】 【分析】利用直径所对圆周角为直角得到垂直关系，结合渐近线斜率得到焦半径比例，再通过双曲线定义和勾股定理联立求解得到关系，算出离心率. 【详解】因为以为直径的圆与在第一象限的交点为，所以. 由直线与的一条渐近线平行可得，所以， 又由双曲线定义可得，所以，得，所以. 由得，即，整理得， 所以，，离心率. 【点睛】本题是结合圆的几何性质、双曲线定义与渐近线斜率的离心率求解问题，核心方法是通过几何关系与定义联立方程，建立关系求离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）由诱导公式以及余弦定理计算可得，可证明是等腰三角形； （2）结合中线长度以及余弦定理得出方程组可解得，再由三角形面积公式计算可得的面积为8. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 则，化简得，故， 因此是等腰三角形． （2）因为，为的中点，且，所以， 由余弦定理得， 由（1）得，所以， 化简得，，所以． 在中，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以的面积为． 16．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点. (1)求四棱锥的高； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等体积法即可求解 （2）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【详解】（1）设到底面的距离为， ， （2）取中点，连接，为等边三角形，且， ，平面， 又平面，， 又，，，平面，平面， 平面，平面平面. （3）取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述，的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． 18．（2026·广西贵港·三模）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； (3)证明：直线与三角形的外接圆相切． 【答案】(1) (2)1或 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得、，再计算出即可得； （2）设，可得，再分与讨论即可得； （3）表示出直线AP方程后，可得点坐标，可设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，再利用可得，再利用向量数量积公式计算即可得证. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以双曲线的标准方程为：； （2）设，则， 当时，将代入，得， 此时直线AP的斜率为； 当时，， ， 联立方程：，可得，解得， 代入得：，此时直线AP的斜率为， 综上所述，直线AP的斜率为1或； （3）直线AP方程为：，令，得， 设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，则有， 即， 化简得：， 即， 由， 则，即， 故直线PF与三角形的外接圆相切. 19．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. (1)若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. (2)记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 【答案】(1)与相互独立 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得，利用独立事件的定义判断即可； （2）（ⅰ）由题意得，可证当时，，可求得的取值集合；另解，构造函数，利用导数研究函数的单调性可求解；（ⅱ）由题意可得，，利用错位相减法可求得，进而利用期望的定义计算可证明结论. 【详解】（1）由题意得，， 因. 因为，所以与相互独立. （2）（i）由题意知. 等价于. 当时，；当时，； 当时，；当时，. 下面证明：当时，. 当时， . 综上，满足的的取值集合为. 另解：构造函数， 则，令 求导得，显然该函数为上的增函数， 当时，， 则即在上是增函数，故， 即在上是增函数，从而. （ⅱ）由题意知，， . 记，则， 作差，得， 所以，所以. 所以. 由（i）知. 所以 ， 所以. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学适应性训练模拟卷(7) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．适用省份：山西 辽宁 吉林 黑龙江 广西 海南 重庆 贵州 云南 甘肃 新疆 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南新乡·月考）已知，则（　　） A． B．1 C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）样本数据16，24，10，30，12，14，40的中位数为（   ） A．24 B．16 C．15 D．20 4．（2026·山西临汾·二模）等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 5．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·云南昆明·模拟预测）已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·山西晋城·模拟预测）当直线与圆相交所得弦长最短时，实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）下列各式大小比较中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·重庆·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．在独立性检验中，零假设必须是“分类变量与独立”，不能是“分类变量与有关” B．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为2.2 C．设为两个随机事件，，若，则事件与事件相互独立 D．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C． D．当时，有2个极值点 11．（2026·山西晋城·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为1 B．若平面，则 C．若，则到平面的距离为 D．若时，直线与平面所成角为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山西晋城·模拟预测）的展开式中的系数为__________． 13．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________． 14．（2026·山东青岛·一模）双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限的交点为，若直线与的一条渐近线平行，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2026·云南红河·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，设为的中点，且，求的面积． 16．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点. (1)求四棱锥的高； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 18．（2026·广西贵港·三模）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； (3)证明：直线与三角形的外接圆相切． 19．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）甲、乙两人进行冬奥会知识竞猜游戏，每轮竞猜两人获胜的概率均为. (1)若进行4轮竞猜，记事件“甲获胜2轮”为，“甲第2轮获胜”为，判断与是否相互独立. (2)记进行（）轮竞猜时甲获胜2轮的概率为. （ⅰ）求满足的的取值集合； （ⅱ）若两人的竞猜游戏在满足以下任一条件时终止：①甲获胜2轮，②竞猜总轮数达到（），记结束游戏时竞猜的轮数为，证明：. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $