广东东莞市东莞中学松山湖学校等校2025-2026学年度第二学期期中考试高二年级数学试题

1-8题：BDAC ACBB 9-11题：ABC ACD AC 填空： 2213109 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 【详解】(1)由题意知： 4a+4412=44+22,13 2 2 .(3分) a+(2n-1)d=2(a+(n-1)d+1 化简得 ∫4=1 ld=21 .(6分) 所以数列{an}的通项公式an=1+(n-1)2=2n-1.… (8分) (2)数列[}是首项为公比为的等比数列， (10分) 5=安+装+…+六-迎-2--n (12分) 1-4 因>0，<号即+++<号 .(13分) 16. 【详解】 (1)设“有女教师参加活动”为事件A,“恰有一名女教师参加活动”为事件B, QPu间-等音A--号 (4分)） 8 所以P(B倒A=P®5_8 P(A)3 9 (5分) 心依恩苏知X服从超儿阿分布，且PX=)Sg化=01,2 C215 (8分) 所以X的分布列为： 0 2 8 5 15 15 E(X)=0x2+1x +2× 515 2153 (自0分) (3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1,一名男教师参加活动可获得分数为X2,则X的所有可能取值为3. X2的所有可能取值为6,9， P(x=3)=P(X=)=2E(X)=3x3+6x-号 19 2 22 9…(11分)》 P(x=6)=P(x,=9)-=7,B(x)6x3+9x)- 115 222’(12分) 有X名女较短参加活动，则男教师有2-X名参加活动，Y号x+包-X)=15-3x，…03分剂 所以B()=805-30=15-38()=15-3x号=13. 即两个教师得分之和的期望为13分， .(15分) 17. 【详解】 (1)采用3局2胜制，记“甲最终以2：1获胜”为事件A,记“甲最终以2：0获胜”为事件B,“甲最终获胜”为事件C, 于是C=AUB,A与B为互斥事件，… (1分) 由于P-cpp-p=分P=p2-号 (2分) 则甲最终获胜的概率为P(C)=P(4)+P(8)=3p2-2p= 27 (3分) 类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0,3：1或32. .(4分) 所以甲最终获胜的概率为PD)=p3+C知2(1-p)×p+C和(1-p)2×p=4 1 …(6分) 因P(D)>P(C),所以5局3胜制对甲有利. (7分) (2)由.(1)可知，P(C)=P()+P(B)=3p2-2p, 若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2， P(X=3)=P(C)=3p2-2p,P(X=-2)=1-3p2+2p, 则X的分布列为： X 3 -2 p 3p2-2p3 1-3p2+2p 则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2, (9分) 若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，O, P(Y=1)=P(C)=3p2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p, 则Y的分布列为： Y 1 0 3p2-2p 1-3p2+2p 则E(Y)=3p2-2p3, (11分)》 所以(x)-E()=-8p+12n2-2=4p》2p2-2p-), (12分) 由于0<p<1,则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0, (14分) 【设f(p)=-8p3+12p2-2,0<p<1,利用f()=-24p2+24p=-24p(p-1)>0, 则f(D)在(0,1)上单调递增，且f(宁=0.】 (14分) 于是当P=时，两种方案都可以选， 当0<p<分时，E()<B(们)，应该选第二种方案， 当<p<1时，E(X)>E们，应该选第一种方案 。(15分)》 18. 【详解】(1)当a=-1时，有f(x)=e*-2x-e*(x≥0)， 所以了=心+。-2≥0叭， (1分) 所以7间=+日222e石-2-0 (3分) 当且仅当e=白，心1，即x=0时，等号隐立， 所以当x∈[0，+o)时，f(x)≥0，f(x)单调递增， 所以f()2f(x)=f(0)=0,所以f(x)20得证. (5分) (2)当a=0时，f(x)=e-2x(x≥0)， 根据题意可知：化e*-2x=x(x20)为e-3x=0(x≥0)， 令g(x)=e-3x(x20), (6分) 所以函数g()的零点个数，即为方程f(x)=x的解的个数， g(x=e-3(x20),令g(x)=0,即e=3,解得x=ln3, x [0,ln3) In3 (mn3,+o) 8() 0 + 8() 单调递减 3-3n3 单调递增 因为g(0)=1>0,g(n3)=3-3ln3<0, 所以g(x)在0，ln3)上有唯一一个零点， (8分)》 又8(5)=e3-15>2-15=17>0, 所以g(x)在(n3,+o)上有唯一一个零点， 综上所述，方程f(x)=x有两个解。 (10分) (3)由(1)知，e-2x-e*>0,x∈(0，+o), 令x=lhs,8>1,则g-2ns-s1>0,即s-1>2n,5>1, (12分)》 设s=aeN,则满足5>1， 1 >2h,+ (14分) > 所以F+ =In(n+1)-Inn, n (15分) 1 1 所以P+12+2 >In2-In1+In3-In2+...+In(n+1)-Inn=In(n+1), n2+n 1 1 即P+2+2 1一>ln(n+). nin …(17分) 19 【详解】(1)f(x)与g(x)具有C关系，理由如下： 根据定义，若f(x)与g()具有C关系， 则在f(x)与g(x)公共定义域上存在x,使得f(x)+g(x)=0, …(1分) 又f(☒)=4-8，g(x)=2w，x∈R,所以f(x)+g(x)=4-8+21=0, 即(2-22+4)=0，即得2-2=0，解得x=1,所以f(x)与g)具有C关系…6分) (2)因为f()=lnx-am-1,g(x)=1-x2, (x)=f(x)+g(x)=Inx-ax-x2,xE(0,+oo), 因为f()与g()不具有C关系，所以p()在(0，+∞)上不存在零点， 又p(x)在(0，+∞)上的图象连续不断，所以(x)在(0，+∞)上的值恒为负或恒为正(4分) @若p(x)>0在(0，+∞)上恒成立，则p()=-a-l>0,即a<-1, 又当a<-1时，p1-a)=ln(1-a)-a1-a)-(1-a)2=ln(1-a)-(1-a）, 所以f()2f()=f0)=0,所以f(x)20得证. (⑤分) (2)当a=0时，f(x)=e-2x(x20), 根据题意可知：化e-2x=x(x20)为e-3x=0(x20), 令g(x)=e-3x(x20), .(6分) 所以函数g(x)的零点个数，即为方程f(x)=x的解的个数， g()=e-3(x20),令g()=0,即e=3,解得x=1n3, x [0,h3) In3 (（m3,+o) 3() 0 × g() 单调递减 3-3ln3 单调递增 因为g(0)=1>0,g(n3)=3-3h3<0, 所以g(x)在[0，ln3)上有唯一一个零点， (8分) 又g(5)=e3-15>2-15=17>0, 所以g(x)在(n3,+0)上有唯一一个零点， 综上所述，方程f(x)=x有两个解。 (10分) (3)由(1)知，e-2x-e*>0,x∈(0，+o), 令x=h,s>1,则g-2ns-g>0,即s-1>2hs,s>1, (12分) 设g=小4aeN,则足>1， .(14分) 所以n之中上 =I(n+1)-Inn, n .(15分) 1 1 1 所以P+2+2 十…十 >h2-hl+h3-h2+…+ln(n+1)-lnn=n(n+), n2+n 1 1 即P+12+2 十…十 1 +n >n(n+1): (17分) 19. 【详解】(1)f(:)与8(x)具有C关系，理由如下： 根据定义，若f(x)与g(x)具有C关系， 则在f()与g(x)公共定义域上存在x,使得f()+8()=0, (1分) 又f(x)=4-8,g(x)=2,x∈R,所以f(x)+g(x)=4-8+21=0, 即(2-22+4)=0，即得2-2=0，解得x=1,所以f(x)与g(x)具有C关系…3分) (2)因为f(x)=lnx-amx-1,g()=1-x2, 令p(x)=f()+g(x)=lnx-ax-x2，xe(0,+oo), 因为f()与g)不具有C关系，所以(x)在(0，+∞)上不存在零点， 又p(x)在(0，+∞)上的图象连续不断，所以(x)在(0，+o)上的值恒为负或恒为正.…(4分) @若p(x)>0在(0，+o)上恒成立，则p=-a-1>0,即a<-1, 又当a<-1时，p(1-a)=ln(1-a）-a1-a)-(1-a}=lnl-a)-(1-a）, 令=血x-x,所以()=÷-1=2，令d()>0,所以0<x<1, 令(x)<0,解得x>1,所以u(x)在(0,1)上单调递增，在(L,+o)上单调递减， 所以u(x)≤u(1)=-1<0, 所以g1-a)<0,与假设矛盾，所以不存在a使得p(x)>0在(0，+o)上恒成立(6分) ②若p()<0在(0，+o)上恒成立，即a>血x-x 令网=血x-￡，所以r问1-血-， x2 又y=1-lnx-x2在(0，+o)上单调递减， 所以当0<x<1时，y=1-lnx-x2>1-nl-12=0,所以L'(x)>0, 当x>1时，y=1-lnx-x2<0,所以L(x)<0, 所以L(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以L(x)mx=L(I)=-1, 所以a>-1,即a的取值范围是(-1，+o) .(8分) (3)因为f(x)=x(e-1,g(x)=x+msinx(m<0), 令h(x)=f(x)+g(x),则h(x)=xe+msinx, 因为f(x)与g(x)在(0，)上具有C关系，所以h()在(0，上存在零点，…(9分) 因为(x)=(x+1)e+m cosx, 当-1≤m<0且xe(0,元)时， 因为(x+1)e>1,mcos<ms1,所以h(x)>0, 所以h(x)在(O,元)上单调递增，则(x)>h(O)=0,此时h(x)在(O,)上不存在零点，不满足题意； .(11分) 当m<-1时，当x[时，-1<a≤0，所以H例>0。 当x0到时，令y=(倒=+e+x,则y=+2g-mn>0, 所以在0引上单调递瑞，且O)=1+m<0,-（任+>0， 故（倒在（到上存在唯一零点， .…(13分) 设为，使得h(x)=0, 所以当xe0,H水0：当x(引州0， 又当e[2时，0， 所以h(x)在(0，)上单调递减，在(x,)上单调递增， 所以h(x)在(0，元)上存在唯一极小值点， (15分) 因为0)=0，所以h(x)<0, 又因为h(π)=πe”>0,所以h(x)在(0，元)上存在唯一零点x, 所以函数f(x)与g(x)在(0，π)上具有C关系 综上，m的取值范围是(o,-1) (17分)秘密★启用前 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5.考生必须保证答题卡的整洁。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.在(a十by的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n等于() A.5 B.6 C.7 D.8 2.如图，直线1和圆P,当1从1o开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时， 它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是() 3.函数)=x2+a+1-lnx,若x)在(0，)上单调递减，则实数a的取值范围为() A.(-o,3] B.(-o0,3) C.(-o0,2] D.(-0,2) 4.己知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这 六名同学获得的名次情况可能有() A.72种 B.96种 C.144种 D.288种 5.某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项有且只有一个选项是正 确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12 个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择 1 题的得分为Y分，则D()一D()等于() A贤 35 B.12 D.23 4 6.若点P是曲线y=nx一x2上任意一点，则点P到直线1：x十y一4=0距离的最小值为() A B.V2 C.22 D.42 7.设A,B分别为随机事件A,B的对立事件，己知0<P(A)1,0<P(B水1，则下列说法错误的是() A.P(BA)+P(BA)=1 B.P(BLA)+P(BA)=0 C.若A,B是相互独立事件，则P(AB)=P(A) D.若A,B是互斥事件，则P(BA)=0 8.设函数f(x)=x+e,g(x)=x+nx,若存在，x2,使得f()=8(化2)， 则川x1-x2的最小值为() A.1 B.1 C.2 D.e e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人“环境检测图书 义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.则() A.四名同学的报名情况共有34种 B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种 C.“四名同学最终只报名了两个项目”的报名情况共有42种 D.恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”项目的报名情况共有12种 10.已知函数f(c)=ln4-工+ax在x=3处取得极大值，f(x)的导函数为f'(c),则 Aa=号 B.当0<x<1时，f(x)>f(x) C.f'(2+x)=f'(2-x) D.当1≤西≤<3且西+<4时，f(@)+f()<9 11.甲、乙两个罐子均装有2个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，各个球完全相同.先从甲罐中随 机取出2个球放入乙罐中，再从乙罐中随机取出1个球，记事件A,(=0,1,2)表示从甲罐中取出的2个 球中含有i个红球，B表示从乙罐中取出的球是红球，则( ) A.A0,A1,A2两两互斥 B.P(BA）=3 1 C.PB月 D.B与A1不相互独立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若(-9的二项展开式中的系数是-16，则实数口的省是」 2 13.某单位有1000名职工，想通过验血的方法筛查某种病毒携带者，假设携带病毒的人占5%，化验费用 为50元/次，如果对每个人的血样逐一化验，则该单位所需的化验费用为50000元.统计专家提出了一 种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性， 说明这5个人全部阴性：如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人 再分别化验一次.按照这种化验方法，该单位所需的平均化验费用为 元 (参考数据：0.955≈0.7738) 14.若关于x的不等式（ ≤(》 有正整数解，则实数m的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题共13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,凸2m=2a.+1(n∈W*). (1)求数列{an}的通项公式： 2证：六++十< 16.(本小题共15分) 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师 报名，本周随机选取2人参加. (1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率； (2)记参加活动的女教师人数为X,求X的分布列及期望E(X): (3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参 加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能 .1 性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随 机选取的两人得分之和为Y,求Y的期望E(Y) 17.(本小题共15分) 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<),输的概率为1-P，,每局比赛的结果独立. (1)当P时，那么采用3局2胜制还是采用5局3：制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分 失败者得-2分：方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积 分的数学期望更大 3 18.(本小题共17分) 已知函数f(x)=e-2x+ae(x≥0) (1)当4=-1时，求证：f(x)≥0： (2)当a=0时，求方程f(x)=x的解的个数： 1 1 =++1>1n(+1). 6)设neN,证明：下+i√2+2+n 19.(本小题共17分) 定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f(x) 和y=g(x)具有C关系 (1)判断函数f(x)=4-8和g(x)=2*”是否具有C关系： (2)若函数f(x)=lnx-ax-1和g(x)=1-x2不具有C关系，求a的取值范围： (3)若函数f(x)=x(e-1)和g(x)=x+nsinx(m<O)在区间(0，π)上具有C关系，求m的取值范围.