2.1 不等式及其基本性质 小节复习题2025-2026学年北师大版 八年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式性质，通过水杯加水、身高台阶等情境化问题及分层设计，培养抽象能力、推理意识和模型意识的复习卷。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|6|含数轴表示（第3题）、实际情境应用（第2题）|情境真实，关联生活| |填空题|6|新定义“极数”（第10题）、命题真假判断（第7题）|融合创新，考察概念辨析| |解答题|5|均值不等式应用（第16题）、代数推理（第15题）|分层递进，培养逻辑思维与应用能力|

2.1 《不等式及其基本性质》小节复习题 一、单选题 1．设，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 7．命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 8．若则 0．（填、或）． 9．已知a、b、c均为正数，且，则的最小值为 ． 10．一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 11．下列是真命题的有 （填序号）． ①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则 12．若，则．若，，，则将a、b、c按从大到小的顺序排列： ． 三、解答题（4题） 13．已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 14．定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于． 应用 如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． (1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ (2)求点A，B到原点距离之和的最小值． 15．与几何证明一样，代数推理也需要有理有据．例如： 已知实数x，y满足，求证：． 证明：∵， ∴，……① ，……② ∴．……③ ∵，……④ ∴，即． 阅读以上材料，完成下列问题： (1)在步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤______（填“①、②或③”）；步骤④用到的乘法公式名称为______（填“两数差的平方公式”或“平方差公式”）； (2)已知实数x，y满足，求证：．（注：无需写出每步的依据．） 16.如果两个正数a，b，即，则有： ① 而② ③ 所以 当时，；当时，；即：当且仅当时取到等号． 我们把叫做正数a，b的算术平均数；把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．下面举一例子： 例：已知，求的最小值． 解：因为，所以，所以，当，即时，的最小值为4． 利用这个结论解决下列适合八年级学生的问题： (1)上述材料中的运算步骤②，运用的公式为______； (2)已知x＞0，求的最小值，以及此时x的值； (3)用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 17.阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． (1)解决问题1； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题2． 参考答案 一、单选题 1．C 解：由， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误， 故选：C． 2．A 解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 3．D 解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 4．A 解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5．B 由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 6．B 解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 7．假 解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 8． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b、c均为正数， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 10．1188或4752 解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 11．⑤⑥⑦ 解：若且时，则；故①是假命题； 若，且时，则；故②是假命题； 若，则；故③是假命题； 若，且时，则；故④是假命题； 若，则；故⑤是真命题； 若，则；故⑥是真命题； 若，，则；故⑦是真命题； 故答案为：⑤⑥⑦． 12．当时，，当时，， 解：， ，解得， ， 或， ， 又， ， 当时，， 当时，． 三、解答题 13． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14． （1）解：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为， 根据题意，得， 解得或6， 答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 当时，， ∵， ∴，即， 综上，， ∴点A，B到原点距离之和的最小值为3． 15．（1）解：步骤①、②、③中，“不等号方向”出现错误的是步骤③，步骤④用到的乘法公式名称为平方差公式； 故答案为：③；平方差公式； （2）解：∵， ， ∴x-y=（）2-（）2=（+）（-）， ， ， ， ， ， ． 16.（1）解：步骤②符合的形式，运用的公式为完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． （2）解：∵， ∴， ∴， 当，即时，的最小值为． （3）解：设矩形的长为，则宽为， ∴， 由， 当，即时，的最大值为5 ∴得最大值为25， ∴当长和宽各为时，面积最大，最大面积为． 17.（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 学科网（北京）股份有限公司 $