期中培优：不等式的性质、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式与一次函数综合专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

期中培优：不等式的性质、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式与一次函数综合专项训练 期中培优：不等式的性质、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式与一次函数综合专项训练 考点目录 不等式的性质 解一元一次不等式（组） 一元一次不等式与一次函数综合 考点一 不等式的性质 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·四川资阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式1．（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 变式2．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二 解一元一次不等式（组） 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：． 例2．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 例3．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 变式1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算 (1)解不等式，并求它的正整数解； (2)解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组． 变式3．（25-26九年级下·重庆·月考）解不等式组，并写出它的所有整数解之和． 考点三 一元一次不等式与一次函数综合 例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围_____； (3)点D是一次函数图象上一点，若，点的坐标是_____． 例2．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 例3．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 变式1．（25-26八年级下·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 变式2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式，画出这个一次函数的图象： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：不等式的性质、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式与一次函数综合专项训练 期中培优：不等式的性质、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式与一次函数综合专项训练 考点目录 不等式的性质 解一元一次不等式（组） 一元一次不等式与一次函数综合 考点一 不等式的性质 例1．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 例2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 例3．（25-26八年级下·四川资阳·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 变式1．（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确； C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确； D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确． 变式2．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若，且c为实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴或或，故A不符合题意； B、∵，， ∴，故B符合题意； C、∵， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴或或，故D不符合题意． 变式3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知，下列不等式变形中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴，A变形错误； B、∵，当时，，此时，B变形错误； C、∵，不等式两边同时乘，不等号方向改变，∴，C变形正确； D、∵，不等式两边同时乘5，再加2，不等号方向不变，∴，D变形错误． 考点二 解一元一次不等式（组） 例1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，根据不等式组解集的求法可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得： 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 解不等式②得： 两边同乘（分母的最小公倍数）去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为，得： ∴不等式组的解：． 例2．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）解不等式组 (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)解集，整数解的和为3 【详解】（1）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以这个不等式组的解集， 在数轴上表示解集为： ． （2）解： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以这个不等式组的解集， 整数解为，其和为． 例3．（2026·江苏扬州·一模）解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 变式1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）计算 (1)解不等式，并求它的正整数解； (2)解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】(1)，不等式的正整数解为1，2，3，4． (2)不等式组的解集为，在数轴上表示见解析 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，在解集范围内找出正整数解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了”确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为１，得：， 所以，不等式的正整数解为：1，2，3，4． （2）解： 解不等式①得，； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：， 将不等式组的解集在数轴上表示为： 变式2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）解不等式组． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为． 变式3．（25-26九年级下·重庆·月考）解不等式组，并写出它的所有整数解之和． 【答案】，10． 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的所有整数，计算它们的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为， ∴该解集内的所有整数为， ∴所有整数解之和为． 考点三 一元一次不等式与一次函数综合 例1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数的图象分别与轴和轴相交于、两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)当时，直接写出自变量的取值范围_____； (3)点D是一次函数图象上一点，若，点的坐标是_____． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）因一次函数与正比例函数交于点，可以将代入，求出为，再将点代入即可求出一次函数的解析式； （2）当时，直线在直线上方，据此可得答案； （3）根据，利用三角形面积公式即可求出，得出的纵坐标，代入即可求得横坐标． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴， 把代入得： ， 解得： ∴一次函数的解析式； （2）解：观察图象可知，当时，； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 代入得或， ∴点的坐标为或． 例2．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是______；关于x的不等式的解集是______； (2)直接写出关于x的不等式组解集是______， (3)若点C坐标为，比较与的大小． 【答案】(1)； (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用直线与轴的交点即为时，对应的的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴的交点坐标，结合图象即可得出答案； （3）利用图象即可求出答案． 【详解】（1）解：与x轴交于点， 关于x的方程的解是， 的图象与x轴交于点， 结合函数图象可得，关于x的不等式的解集； （2）解：根据图象可得的解集为， 可得的解集为 的解集为； （3）解：和两直线交于点， 结合函数图象可得， 当时，； 当时，； 当时，． 例3．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 变式1．（25-26八年级下·山东东营·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】（1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标代入求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为， 当时，，则， 设直线与轴交点为，当时，，则， ∴； （3）解：根据图象得，不等式的解集为：． 变式2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式，画出这个一次函数的图象： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，图象见解析 (2) 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再画出函数图象； （2）分、、三种情况讨论． 【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到， 一次函数的解析式为， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， 一次函数的解析式是， 如下图所示： （2）解：如下图所示， 当时，可得：， 无论取何值，恒成立； 当时，如下图所示， 当时，对于的每一个值，不成立； 如下图所示，当时， 可得：， 解得：， ， ， 解得：， ； 综上所述，当时，当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $