北京市朝阳区北京中学2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学

**基本信息** 高二数学期中卷以汽车销售调查、“门把手”曲线等现实情境为载体，融合集合、导数、概率等核心知识，通过新定义“厚度”“距离”考查创新思维，体现数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|集合、命题、概率、导数应用|函数图像与导数交点判断（第9题），考查几何直观| |填空题|6/30|二项式定理、排列组合、导数应用|“门把手”曲线多结论辨析（第16题），渗透空间观念| |解答题|5/70|函数极值、概率统计、椭圆证明、新定义|汽车购买意愿调查（第18题）培养数据观念，排列距离定义（第21题）发展逻辑推理|

2025~2026学年度第二学期期中质量检测 高二数学 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题50分和非选择题100分 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设集合，，则 A． B． C． D． 2. 命题“，使得”的否定为 A．， B．，都有 C．， D．，都有 3. 某班学生的考试成绩中，数学优秀的占，语文优秀的占，两门都优秀的占，已知一学生数学优秀，则他的语文也优秀的概率是 A． B． C． D． 4. 已知，则下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5. “”是“不等式的解集为空集”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 立体几何，解析几何，导数，数列与概率统计这五道题排序，解析几何不能在第一道解答题，数列必须在第一道或者第二道位置，则不同的题目分配方式有 A．36种 B．42种 C．48种 D．52种 7. ，则 A．15 B．16 C．80 D．81 8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为 A.2   B.4   C.8   D.16 9. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则 A. 函数的最小值为  B. 函数的最大值为 C. 函数的最小值为  D. 函数的最大值为 10. 当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”。集合的全部非空子集的厚度之和为 A.3200   B.1600   C.1550   D.800 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 11.二项式的展开式中的常数项是            。（用数字作答） 12.某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的，优质率为，乙品牌的优质率为。从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为            。 13. 要将甲、乙、丙、丁4名同学分到，，三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为            。（用数字作答） 14. 已知函数的定义域为，为其导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为            。 15. 已知函数；若方程恰有三个根，写出一个满足条件的实数为            。 16.如图，在一次社会实践中某学校数学探究实验组设计一个“门把手”，其纵截面轮廓线近似曲线的一部分，给出下列四个结论： ①点在上； ②在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为整数； ③若在轴上方的部分为函数的图象，则是的极小值点； ④在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于。 其中正确结论的序号是            。 三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17.（本题满分12分） 已知函数。 （I）当时，求曲线在处的切线方程； （II）若是的极大值点，证明此时的极小值小于零。 18.（本题满分13分） 某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV）和插混电动版（PHEV），为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人） 车型 低收入群体（收入<20万元/年） 中收入群体（收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 50 20 40 40 30 20 PHEV 25 45 40 40 35 15 假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率。 （I）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV）的概率； （II）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记为3人中愿意购买纯电动（EV）汽车的人数，求的分布列和数学期望； （III）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从C社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动（EV）汽车的概率设为，试比较和的大小。 19．（本题满分15分） 已知椭圆 的左焦点，． （I）求椭圆的方程； （II）设为坐标原点，过点作斜率为且不经过焦点的直线，直线与椭圆交于不同两点，，直线，与轴正半轴分别交于点，．求证：的值为定值． 20．（本题满分15分） 已知函数． （I）求的最小值； （II）求证：； （III）设，已知，求的取值范围． 21.（本题满分15分） 已知是由，，，（，）这个数构成的所有排列组成的集合，例如，若，，则．定义：①与的差，②与的距离，其中，． （I）若（，，），写出集合； （II）若（，，，，），且（，，，，），求的最小值． （III）若，，，，，求证：，，三个数中至少有一个偶数． 学科网（北京）股份有限公司 $