第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 三元一次方程组的定义及解 题型十 三元一次方程组的应用 题型十一 根据实际问题列二元—次方程组 题型十二 根据几何图形列二元一次方程组 题型十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 年龄问题(二元一次方程组的应用） 题型十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十四 其他问题(二元一次方程组的应用） 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 【变式】（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，，点A，B分别在直线上，射线绕点从射线顺时针旋转至射线后便立即回转，这样不停来回旋转；射线绕点从射线逆时针旋转至射线后停止．若两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线．射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a，b是方程的正整数解． (1)__________，__________；__________． (2)如图2，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，且，求此时的度数． (3)若射线先转动20秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒时与射线互相平行？ 题型讲练二 代入消元法 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组． (1) （代入法）； (2)（加减法）． 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组： (1) ； (2)． 【变式】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【变式】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值为_______． 【变式】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【变式】（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 题型讲练九 三元一次方程组的定义及解 【例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2)请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 题型讲练十 三元一次方程组的应用 【例10】（25-26七年级下·北京·期中）如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 【变式】（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 题型讲练十一 根据实际问题列二元—次方程组 【例11】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【变式】（25-26七年级下·四川眉山·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 题型讲练十二 根据几何图形列二元一次方程组 【例12】（25-26七年级下·河南南阳·月考）如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 题型讲练十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（25-26七年级下·新疆·期中）某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【变式】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 题型讲练十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【变式】如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 题型讲练十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例15】如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【变式】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 题型讲练十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【变式】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练十七 年龄问题(二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级上·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型讲练十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【变式】（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 题型讲练十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【变式】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 题型讲练二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例20】（25-26七年级下·浙江·期中）2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【变式】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 题型讲练二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【变式】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形，则小长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 题型讲练二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例22】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【变式】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 题型讲练二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例23】．（25-26七年级下·河北邢台·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 【变式】（2026·宁夏银川·一模）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 题型讲练二十四 其他问题(二元一次方程组的应用） 【例24】（25-26七年级下·河南南阳·期中）综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 【变式】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某初中学校餐厅为了满足学生身体成长的需要，准备了两种营养食品：高钙牛奶和豆谷营养包．每一份食品的营养成分如表所示： 营养成分 1份高钙牛奶 1份豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 某天，小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是． (1)小亮这天食用了高钙牛奶和豆谷营养包各多少份？ (2)已知初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小亮这天已经从其他食品中摄入了脂肪，他再食用完这两种食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 5．（25-26七年级下·山东淄博·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 7．（25-26七年级下·重庆永川·期中）解方程组： (1) (2) 8．（25-26七年级下·新疆·期中）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） (3) 9．（25-26七年级下·北京·期中）截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十章 二元一次方程组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+24个题型讲练+真题实战练 共58题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 代入消元法 题型三 加减消元法 题型四 二元一次方程组的特殊解法 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 构造二元一次方程组求解 题型七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型八 方程组相同解问题 题型九 三元一次方程组的定义及解 题型十 三元一次方程组的应用 题型十一 根据实际问题列二元—次方程组 题型十二 根据几何图形列二元一次方程组 题型十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 题型十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 题型十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 题型十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 题型十七 年龄问题(二元一次方程组的应用） 题型十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 题型十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 题型二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 题型二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 题型二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 题型二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 题型二十四 其他问题(二元一次方程组的应用） 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 知识点四 二元一次方程组的解 概念：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 【易错点剖析】 （1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解. （2）方程组的解要用大括号联立； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况 知识点五 三元一次方程组的概念与解 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点六 解二元（三元）一次方程组 1.用代入消元法解二元一次方程组的一般过程： ①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式； ②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出（或）的值； ④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值； ⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可. 3.解三元一次方程组的一般过程： ①利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； ④解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； ⑤将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 已知二元一次方程组的解求参数 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则m的值为_________． 【答案】2 【思路引导】根据相反数的性质得到，代入方程组得到关于的方程，求解即可得到的值． 【规范解答】解：方程组为， ∵x与y互为相反数， ∴， 将代入①得， 可得③， 将代入②得， 可得④， 联立③④得，解得． 【变式】（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，，点A，B分别在直线上，射线绕点从射线顺时针旋转至射线后便立即回转，这样不停来回旋转；射线绕点从射线逆时针旋转至射线后停止．若两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线．射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a，b是方程的正整数解． (1)__________，__________；__________． (2)如图2，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，且，求此时的度数． (3)若射线先转动20秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒时与射线互相平行？ 【答案】(1)3；1； (2) (3)射线转动或或时， 【思路引导】（1）根据a，b是方程的正整数解，即可求解； （2）利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理列式计算即可求解； （3）分三种情况讨论，利用平行线的性质分别列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵a，b是方程的正整数解， ∴，， 当转动45秒时，， ∵两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线， ∴； （2）解：如图，交于点，设转动的时间为秒， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：由题意得， ①若到达前，， 又∵， ∴， 即， 解得；     ②若到达后返回，， 又∵， ∴， 即， 解得；     ③若到达后返回，， 又∵， ∴， 即， 解得．     ∴综上，射线转动或或时，． 题型讲练二 代入消元法 【例2】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【规范解答】（1）解：， 由①得③， 把③代入②得：， 解得， 把代入③得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：； 把代入①得，， 解得：， 所以，方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将③代入①得， ∴； （2）解： ①去分母得，， 得，， 将④代入②得，， 解得， ∴． 题型讲练三 加减消元法 【例3】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， 得，③， ，得， 解得， 将代入①得，， 解得， 原方程组的解为； （2）解：， 整理得， 将①代入②，得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）下列用消元法解二元一次方程组中，不正确的是（　　） A．由①得： B．由得： C．由得： D．把整体代入②得： 【答案】B 【思路引导】根据二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，逐个判断各选项的变形是否正确即可． 【规范解答】解：对于方程组 A选项：∵对①移项可得， ∴A正确； B选项：∵得， ∴， 化简得，不是， ∴B错误； C选项：∵得，得 ， ∴， 化简得， ∴C正确； D选项：∵由得， 由得， 将整体代入②得， ∴D正确． 题型讲练四 二元一次方程组的特殊解法 【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据已知方程组的解，将所求方程组变形后仿照解的规律求出x与y的值即可． 【规范解答】解：方程组可变形为， ∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得． 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 【答案】(1) (2)10 【思路引导】（1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【规范解答】（1）解：方程②变形得：， 即③． 把方程①代入③得：， 解得：， 把代入方程①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 把③代入④得：， 解得：． 题型讲练五 二元一次方程组的错解复原问题 【例5】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据题意，分别将代入，代入求解即可； （2）由（1）知，根据加减消元法求解即可． 【规范解答】（1）解：将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ∴，； （2）解：由（1）知， ，得， 解得． 把代入②，得， 解得． ∴原方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值 【答案】，，0 【思路引导】根据题意可知甲的解满足方程②，乙的解满足方程①，据此分别代入到对应的方程求出a、b的值即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得：把代入中得， 解得， 把代入中得， 解得， ． 题型讲练六 构造二元一次方程组求解 【例6】（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值为_______． 【答案】6 【思路引导】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后代入计算的值． 【规范解答】解：展开等式左边，得． 由题意得 ． 根据等式两边多项式对应项系数相等，可得． 解得 ， 将代入，得． 【变式】对整数、定义一种新运算，规定（其中、是常数），如：． (1)填空： （用含，的代数式表示）； (2)若，． ①求与的值； ②若，求出此时的值． 【答案】(1) (2)①，；② 【思路引导】（1）根据题干中的计算规则进行计算即可； （2）①根据题干中的计算规则可列方程组，解方程组即可求出、的值； ②根据，可得关于的方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：； （2）①解：，， ， 整理得：， 解得：； ②解：，， ， 解得：． 题型讲练七 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例7】（25-26七年级下·河北邢台·期中）嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． (1)他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【规范解答】（1）解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【思路引导】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【规范解答】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 题型讲练八 方程组相同解问题 【例8】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【规范解答】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 【变式】（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知关于，的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)5 【思路引导】（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出； （2）先把代入得，，再相加得，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴联立得，， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴这个相同的解为； （2）解：由（1）得， 把分别代入，， ∴，， 把上式两式相加得， ∴． 题型讲练九 三元一次方程组的定义及解 【例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【思路引导】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【规范解答】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式】（25-26七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2)请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：，得： ③ ，得：， 解这个方程，得：， 把代入①，得：， 因此，这个方程组的解是：； （2）解：，得：④ ，得：⑤ 联立④、⑤得：， 解这个方程组，得：， 把代入③，得：， 因此，这个方程组的解是：． 题型讲练十 三元一次方程组的应用 【例10】（25-26七年级下·北京·期中）如图1，左侧秤盘中布袋里装有大小质量相同的玻璃球若干，右侧秤盘中有2个圆柱体和3个正方体（相同形状的几何体大小、质量都相等），此时天平处于平衡状态．从左侧袋中拿出3颗玻璃球移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘中的1个圆柱体和1个正方体，如图2，天平仍处于平衡状态．现从图2右侧秤盘中拿掉玻璃球、圆柱体、正方体各1个，要使天平保持平衡，则需从左侧袋中再次拿出的玻璃球颗数为（   ） A．3颗 B．4颗 C．6颗 D．7颗 【答案】D 【思路引导】设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为，根据图1天平变化后的平衡状态，得出，表示1个圆柱体和1个正方体等于6颗玻璃球的质量，即可得解． 【规范解答】解：设1颗玻璃球的质量为，1个圆柱体的质量为，1个正方体的质量为， 由题意可知，， ， ， 即玻璃球、圆柱体、正方体各1个的质量等于7颗玻璃球的质量． 【变式】（25-26七年级下·山东青岛·月考）已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【思路引导】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 题型讲练十一 根据实际问题列二元—次方程组 【例11】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 【答案】(1)；； (2)新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【思路引导】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【规范解答】（1）解：完成表格如下： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 ∵该公司新增40名实习生分配到甲、乙两个团队， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【变式】（25-26七年级下·四川眉山·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：设有辆车，个人． ∵每3人坐一辆车，有2辆空车，实际使用车辆为，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴． ∵每2人坐一辆车，有8人步行，总人数减去步行的8人等于坐车的总人数， ∴整理得． 联立得方程组， 故选D． 题型讲练十二 根据几何图形列二元一次方程组 【例12】（25-26七年级下·河南南阳·月考）如图是用4个相同的长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1，设长方形的两邻边长分别为x，y，且x与y的比是，下列关系式错误的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】B 【思路引导】结合“x与y的比是”，可得，整理可得，即可判断选项A；由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为，结合“大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1”可得，即可判断选项C；将进行整理，可得，即可判断选项B；将与联立并求解，进而可知，，可判断选项D． 【规范解答】解：根据题意，x与y的比是，即， 整理可得，故选项A正确，不符合题意； 由图形可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∵大正方形的边长比小正方形边长的4倍多1， ∴，故选项C正确，不符合题意； 对于，等号右侧去括号，得， 移项，合并同类项，可得，故选项B错误，符合题意； 将与联立， 可得，解得， ∴，，故选项D正确，不符合题意． 【变式】（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【思路引导】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【规范解答】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 题型讲练十三 方案问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（25-26七年级下·新疆·期中）某运动会召开期间，大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车前往赛场，若只调配座新能源客车若干辆，则有人没有座位；若只调配座新能源客车，则用车数量将增加辆，并空出个座位． (1)调配座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？ (2)若同时调配座和座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者 (2)调配座新能源客车辆，座新能源客车辆 【思路引导】（）设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，根据题意列出方程组即可求解； （）设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆，根据题意列出方程解答即可求解； 【规范解答】（1）解：设调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者， 由题意得，， 解得， 答：调配座新能源客车辆，该大学共有名志愿者； （2）解：设调配座新能源客车辆，座新能源客车辆， 由题意得，， 化简得，， ∵均为正整数， ∴， 答：调配座新能源客车辆，座新能源客车辆． 【变式】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要），若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元，设A款的单价为万元，B款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款304万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有______________辆． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； (3)8 【思路引导】（1）根据“买辆A款和辆款需付款万元，买辆A款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设A款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A款的单价为万元，款的单价为万元， 根据题意得：， 解得：； （2）解：设购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 共有种购买方案，方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆A款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）解：（万元）， A款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设A款中享受国补的有辆，A款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得：， ，，均为非负整数， ∴ 必须能被8整除，必须是偶数， ∴：， 是偶数，符合条件， ：， 是奇数，不符合，舍去， ∴A款中享受国补的有8辆． 题型讲练十四 行程问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（25-26七年级下·河南濮阳·期中）小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【规范解答】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 【变式】如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【思路引导】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 题型讲练十五 工程问题（二元一次方程组的应用） 【例15】如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【思路引导】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【规范解答】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 【变式】“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【规范解答】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 题型讲练十六 数字问题（二元一次方程组的应用） 【例16】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）传说幻方最早出现于我国古代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)求图所示的幻方中的值； (2)求图所示的幻方中，的值； (3)如图，若，均为正整数，请通过计算说明一共有多少种不同的填法． 【答案】(1)的值为； (2)的值为，的值为； (3)一共有种不同的填法． 【思路引导】（）根据题意列出方程 ，然后解方程即可； （）根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）根据题意列出二元一次方程 ，然后求出正整数解即可． 【规范解答】（1）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， ∴的值为； （2）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴， 整理得：， 解得：， ∴的值为，的值为； （3）解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∵，均为正整数， ∴或或或， ∴一共有种不同的填法． 【变式】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【规范解答】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 题型讲练十七 年龄问题(二元一次方程组的应用） 【例17】（25-26七年级上·天津·月考）一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【规范解答】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期中）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【思路引导】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【规范解答】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型讲练十八 分配问题（二元一次方程组的应用） 【例18】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【思路引导】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【规范解答】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 【变式】（25-26七年级下·北京·期中）学校义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟． （1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________． （2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比； （2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可． 【规范解答】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得： ， 解得：， ∴； （2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得： ， 展开得， 由第一天的结果可知，代入上式得： ， 整理得：， 即， ∵m，n均为小于12的正整数， ∴满足条件的对应值比值恒为， 故． 题型讲练十九 销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例19】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某校组织综合实践“义卖献爱心”活动，计划从批发市场花3000元购买黑、白两种颜色的文化衫共200件，组织学生手绘设计后出售，并将所获利润全部捐给山区贫困儿童．每种文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表： 批发价（元/件） 零售价（元/件） 黑色文化衫 20 40 白色文化衫 10 35 (1)该校购进黑、白两种颜色的文化衫各多少件？ (2)若这批文化衫通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获的利润． 【答案】(1)该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件． (2)该校这次义卖活动所获利润为4500元 【思路引导】（1）设购进黑、白文化衫的数量分别为件和件，根据两种文化衫总件数为200件，总花费为3000元，列出二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）根据总利润等于每件利润乘对应数量，分别计算两种文化衫的利润再相加即可得到总利润． 【规范解答】（1）解：设该校购进黑色文化衫件，白色文化衫件， 根据题意得， 解得． 答：该校购进黑色文化衫100件，白色文化衫100件； （2）解：（元）． 答：该校这次义卖活动所获利润为4500元． 【变式】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）随着科技的不断进步，某城镇居民对家居智能开关的需求日益增加．某五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元． (1)求A、B两型智能开关的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），销售1个A型开关可获利35元，销售1个B型开关可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如开关全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； (2)该商店共有2种购买方案：购进A型智能开关个，B型智能开关个或购进A型智能开关个，B型智能开关个，最大利润是205元． 【思路引导】（1）设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元，根据五金商店购进A型智能开关30个和B型智能开关40个共需3450元，A型智能开关40个和B型智能开关30个共需3900元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个，根据该商店计划正好用420元购进A、B两种智能开关（A、B两型开关均购买），列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设A型智能开关的单价是x元，B型智能开关的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A型智能开关的单价是75元，B型智能开关的单价是30元； （2）解：设购进A型智能开关m个，B型智能开关n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ②购进A型智能开关个，B型智能开关个，利润为（元）； ， 最大利润是205元． 题型讲练二十 和差倍分问题（二元一次方程组的应用） 【例20】（25-26七年级下·浙江·期中）2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元 (2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张； 【思路引导】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可． 【规范解答】（1）解：设门票每张元，门票每张元． 由题意得：， 解得， 答：门票每张20元，门票每张30元． （2）解：设购买门票张，门票张，由题意得： ，     ， ∵都是正整数， 取 ， ∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张； ②购买门票12张，门票4张； ③购买门票9张，门票6张． 【变式】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）五一期间，正定打算举行各种迎游客活动，安排了两种货车来运输物资．调查得知，3辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输1700件物品；4辆小货车与5辆大货车一次可以满载运输3200件物品． (1)求1辆小货车和1辆大货车一次可以分别满载运输多少件物品？ (2)现有3000件物资需要再次运送，准备同时租用这两种货车一次运送完，每辆货车均全部装满货物，请你通过计算确定共有哪几种租车方案 (3)在（2）的前提下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．若组委会计划支出3600元用于租车，请直接写出是否够用． 【答案】(1)一辆小货车一次满载可运300件，一辆大货车一次满载可运400件 (2)共两种方案，①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 (3)不够 【思路引导】（1）设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品，然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据解析（1）的结果列出方程，然后根据、均为正整数得出答案即可； （3）根据解析（2）的方案求出租车费用，再进行比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：设1辆小货车一次满载运输件物品，1辆大货车一次满载运输件物品， 依题意得：， 解得：， 答：1辆小货车一次满载运输300件物品，1辆大货车一次满载运输400件物品． （2）解：设租用小货车m辆，租用大货车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴，， 答：共两种方案：①小货车2辆，大货车6辆；②小货车6辆，大货车3辆 （3）解：该组委会计划支出3600元用于租车，不够用，理由如下： 方案1：租用2辆小货车，6辆大货车，租车费为（元）； 方案2：租用6辆小货车，3辆大货车，租车费为； ；； 该组委会计划支出3600元用于租车，不够用． 题型讲练二十一 几何问题（二元一次方程组的应用） 【例21】（25-26七年级下·北京·期中）利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【思路引导】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【规范解答】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 【变式】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小文在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为的小正方形，则小长方形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设小长方形的宽为，长为，根据图中大长方形的长、图中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【规范解答】解：∵个一样大小的小长方形， ∴设小长方形的宽为，长为， ∴由图可得大长方形的边长为或，图中大正方形的边长可表示为或， 据题意得：， 解得：， ∴小长方形的面积． 题型讲练二十二 图表信息题（二元一次方程组的应用） 【例22】（24-25七年级上·四川自贡·开学考试）阅读下列材料，回答问题． 水是我们赖以生存的重要资源，水费的高低可以影响到居民的生活开销，进而可以调节每个家庭的用水量．自来水的收费项目是国家相关部门根据每个地区的特殊性给出收费标准．以下为某地区2018年9月1日起居民水费收费标准： 1、自2018年9月1日起，居民用户综合水价由原来的基本价格每立方米a元调整为按三档分阶梯计价加污水处理费．（其中，污水处理费每立方米为1元，每立方米综合水价=每立方米阶梯计价+每立方米污水处理费．） 2、居民第一阶梯户年用水量不超过220立方米(含)，阶梯计价为每立方米a元． 3、第二阶梯户年用水量220—300立方米(含)，超过220立方米未超过300立方米部分阶梯计价为每立方米b元． 4、第三阶梯户年用水量300立方米以上，超过300立方米部分阶梯计价为每立方米7元．阶梯水量以年为计价周期，每月收费，周期之间不累计、不结转．（注：水费=每立方米综合水价×用水量） 以下是小海家2021，2022的用水量和水费如表所示： 年份 用水量（立方米） 水费（元） 2021 226 2022 240 863 (1)请你算一算该地区水费中的“a”和“b”分别是多少？ (2)今年小海妈妈生了一个可爱的小妹妹，估计今年的年用水量为304立方米，请你算一算，小海家今年的水费估计是多少元？ 【答案】(1) (2)小海家今年的水费估计是1174元 【思路引导】（1）依据第二阶梯收费标准，结合小海家两年的用水量与水费数据，构建关于a，b的方程组，求解后得出a和b的值； （2）根据304立方米的用水量对应的阶梯范围，分三部分计算各阶梯的水费，再求和得到总水费． 【规范解答】（1）解：由小海家2021年，2022年的用水量和水费可得： ， 解得：； （2） （元） 答：小海家今年的水费估计是1174元． 【变式】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【规范解答】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 题型讲练二十三 古代问题（二元一次方程组的应用） 【例23】．（25-26七年级下·河北邢台·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 【答案】如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房 【思路引导】根据方程组中的方程分析对应的等量关系，从而推导出省略的条件． 【规范解答】解：由题意可知，方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住人，那么有人无房住”． 第二个方程，为客房总数量，表示实际使用的客房比总客房少间，即空出间客房， 表示所有客人恰好住满， 因此可得省略的条件为如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房． 【变式】（2026·宁夏银川·一模）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【规范解答】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 题型讲练二十四 其他问题(二元一次方程组的应用） 【例24】（25-26七年级下·河南南阳·期中）综合与实践 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：，其中称盘质量为克，重物质量为m克，秤砣质量为M克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【方案设计】 秤盘 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于，的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，请列出关于，的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． (4)若用此杆秤称质量为400克的重物，此时秤砣应放在距离零刻度线____厘米处． 【答案】(1) (2) (3) (4)20 【思路引导】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）将已知数值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）根据题意得：，，，， 代入得：， 解得：， ∴此时秤砣应放在距离零刻度线20厘米处． 【变式】（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某初中学校餐厅为了满足学生身体成长的需要，准备了两种营养食品：高钙牛奶和豆谷营养包．每一份食品的营养成分如表所示： 营养成分 1份高钙牛奶 1份豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 某天，小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是． (1)小亮这天食用了高钙牛奶和豆谷营养包各多少份？ (2)已知初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小亮这天已经从其他食品中摄入了脂肪，他再食用完这两种食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】(1)小亮这天食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份 (2)脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设小亮这天食用了高钙牛奶x份，豆谷营养包y份，根据“小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小亮食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【规范解答】（1）解：设小亮这天食用了高钙牛奶x份，豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小亮这天食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份； （2）解：小亮这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小亮食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份， 依题意，脂肪摄入量：， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小亮这天的脂肪摄入量没有超标． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）某新能源汽车制造厂通过对车辆装配生产线进行智能化技术升级，提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车，技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成．设技术升级前每天装配x辆汽车，现在每天装配y辆汽车，则符合题意的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据提高生产效率现在平均每天比技术升级前多安装40辆汽车可得方程，根据技术升级前需5天才能装配的汽车数量，现在只需4天即可完成可得方程，据此列出方程组即可． 【规范解答】解：设升级前每天装配辆，现在每天装配辆， 由题意得，． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由二元一次方程的解的定义可得，再代入代数式计算即可求解． 【规范解答】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， ∴ ． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】（1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 4．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【思路引导】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【规范解答】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·山东淄博·期中）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【思路引导】通过已知完整的对角线求出 “幻和”（即每行、每列、对角线的和），利用列或行的和建立方程，依次求出未知数和的值，最后计算． 【规范解答】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 6．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【思路引导】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【规范解答】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 7．（25-26七年级下·重庆永川·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）利用代入法解答即可求解； （）利用加减法解答即可求解． 【规范解答】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①，得③， ③②，得， 解得， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 8．（25-26七年级下·新疆·期中）按要求解下列方程组： (1)（代入法） (2)（加减法） (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用代入消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组； （3）用加减消元法解二元一次方程组． 【规范解答】（1）解： 由②得， 将③代入①得， 解得， 将代入③，得， ∴方程组的解为； （2）解： 得： ， 解得， 将代入得， 所以这个方程组解为． （3）解： 得： 得：， 解得． 将代入，得： ， 解得． 所以这个方程组的解是． 9．（25-26七年级下·北京·期中）截至目前，我国有个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．年月日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”也列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．每逢春节，为了营造喜庆祥和的氛围，很多地方都会挂上红红的灯笼．在春节前夕，某商家购进、两种型号的灯笼共对，共用元．这两种型号的灯笼的进价、售价如表： 型号 进价（元/对） 售价（元/对） (1)求该商家购进、两种型号的灯笼各多少对？ (2)为迎接新春到来，某单位购买、两种型号的灯笼（两种型号都购买）共花费元，请你计算购买、两种型号的灯笼各多少对？并计算此时商家获利多少元？ 【答案】(1)购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对 (2)购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对，此时商家获利元 【思路引导】（1）先设两种灯笼的数量为未知数，再根据“总对数为”和“总进价为元”列二元一次方程组，解方程组得到结果； （2）根据“总售价”列二元一次方程，再结合“正整数解”的限制条件，通过枚举法求解出购买灯笼的数量，然后计算商家利润． 【规范解答】（1）解：设商家购进型号的灯笼对，则购进型号的灯笼对， 根据题意可得， 解得， 故购进种型号的灯笼对，种型号的灯笼对． （2）解：设单位购进型号的灯笼对，购进型号的灯笼对， 根据题意可知，，即， 两种型号都买， 、均为正整数， 当，， 当，符合题意， 当，， 当，， 当，， 故购买种型号的灯笼对，种型号的灯笼对， 此时商家获利 元． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹． (1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件，并且都在4小时以上，这一天甲、乙机器人分别工作多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； (2)甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 【思路引导】（1）设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据“若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣700件包裹；若甲机器人工作，乙机器人工作，一共可以分拣650件包裹”列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时，根据“甲、乙两机器人某一天分拣包裹的总数量是2250件”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹， 根据题意得， 解得， 答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹； （2）解：设甲、乙两机器人分别工作m小时，n小时， 根据题意得 ，且， 解得，，，， 答：甲、乙机器人分别要工作5小时，15小时或甲、乙机器人分别要工作7小时，12小时或甲、乙机器人分别要工作9小时，9小时或甲、乙机器人分别要工作11小时，6小时． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $