2024-2025学年苏科版七年级数学下册期末《二元一次方程组》专题复习

2024-2025学年度苏科版（2024）七年级下学期期末《二元一次方程组》专题复习 1、二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解法（代入消元法及加减消元法） 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5．三元一次方程组定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 6．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 考点一：二元一次方程中的参数问题 例1、（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得： 是关于，的二元一次方程， ， 解得：， ， 故答案为：． 变式1、（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得， ∴， 故答案为：． 变式2、在解关于，的方程组时，可以用①②消去未知数，也可以用①②消去未知数，则　　； 【详解】解：由题意可得：， 整理得：，解得：． 故本题答案为：2． 考点二：用二元一次方程的解求代数式的值 例1、（24-25七年级下·江苏宿迁·期末模拟）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2 【详解】解：把代入方程，得， ∴． 故答案为：2． 例2、（24-25七年级下•南通海安期中）已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 ． 解：把代入二元一次方程ax+by＝1得：2a﹣b＝1， ∴b﹣2a＝﹣1， 5b﹣10a＝﹣5， ， ， ∴ ＝﹣1． 例3、（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴可得：， 解得：， ∴； 故选：D． 变式1、（24-25七年级下·江西赣州·校级联考）若是关于的方程组的一个解，则的值为（    ） A．5 B．9 C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的方程组的一个解， ∴， 得：， 解得：，故C正确． 故选：C． 变式2、（24-25七年级下·河南洛阳·月考）已知关于的方程组，解是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：把代入方程组， 可得， 解得， 则． 故选：A． 变式3、（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x，y的方程组的解为则等于（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】B 【详解】解：把代入方程组得 ， 解得： ． 故选：B． 考点三：二元一次方程组的同解问题 例1、（24-25七年级下·江苏南京·月考）若关于，的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　　 A． B． C． D．1 【详解】解：若关于，的方程组的解也是二元一次方程的解， ， ②得：③， ①③得：， 将代入②得：， 方程组的解为：， 将代入得：，解得：． 故本题选：． 例2、（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①+②得：，解得：， 把代入②得：， ∴， ∴， ③+④得：， ∴． 故答案为： 例3、（24-25七年级下学期·江苏徐州·月考）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为 ． 【答案】0 【详解】解：解得， ， 把代入得， ， 解得， ． 故答案为：0． 变式1、若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，则这个解是关于，的二元一次方程和的解，即这个解是的解． 解，得 ． 所以，这个相同的解为． （2）根据题意可知，是关于，的二元一次方程和的解，即是关于，的二元一次方程组的解． 将代入关于，的二元一次方程组，得 ． 解得 ． 所以，． 变式2、（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m，n的方程得， 解得； （3）解：将代入， 得， 解得：． 考点四：二元一次方程组的特殊解法 例1、（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 【答案】拓展提高：；能力运用： 【详解】拓展提高：设，，原方程组可变为， 解方程组，得， ∴， 解方程组，得． 能力运用：设，，原方程组可变为， ∵关于，的方程组的解为， ∴， 解得， 故答案为：． 例2、已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为　　． 【详解】解：由题意可得：，，解得：，． 故本题答案为：． 变式1、已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　　． 【详解】解：将方程组变形为， 由题意可得：，解得：， 关于，的二元一次方程组的解是． 故本题答案为：． 变式2、（23-24七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 【答案】 【详解】解：设，， 方程组变形得：， 整理得：， 得：，即， 把代入得：， ， 解得：． 变式3、（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：． 变式4、阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若，是两条边的长，且第三边的长是奇数，求的周长． 【详解】解：（1）， 由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 将代入③得：， 故方程组的解为； （2）两条边长是7和4， 第三边长小于11并且大于3， 第三边的长是奇数， 第三边长是5或7或9， 的周长是或或． 考点五：二元一次方程组的实际应用问题 例1、（行程问题）（24-25七年级下·江苏镇江·月考）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 【答案】A 【详解】解：设小明骑自行车的速度为千米/分，小伟步行的速度为千米/分， 则，解得， 两地间的距离为（千米）， 故选：A． 例2、（方案问题）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元 (2)共有2种购买方案，最大利润是220元 【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 例3、（数字问题）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 例4、（配套问题）（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 【答案】40 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故答案为：40． 例5、（工程问题）（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； (2)能比原来少用天． 【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得． 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则 （天）， （天）， 则（天）． 答：能比原来少用天． 例6、（销售问题）某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，B两种型号的运载火箭模型，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4件 5件 955元 第二周 2件 6件 810元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入一进价） （1）求A，B两种型号运载火箭模型的销售单价； （2）若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由． 解：（1）设A种型号的销售单价为x元，B种型号的销售单价为y元． 根据题意列方程组得， 解得， 答：A种型号的销售单价为120元，B种型号的销售单价为95元； （2）设A种型号采购m件，则B种型号为（20﹣m）件， 根据题意得80m+60（20﹣m）≤1400， 解得m≤10， 答：A种型号最多能采购10件； （3）超市销售完这20件运载火箭模型不能实现利润为800元的目标．理由如下： 由（2）可知A种型号最多能采购10件， （120﹣80）×10+（95﹣60）×10＝750（元）， ∵750＜800， ∴超市销售完这20件运载火箭模型不能实现利润为800元的目标． 变式1、（24-25七年级下•靖江市校级联考）学校为举行校庆活动，准备向某商家购买A，B两种衬衫，已知购买2件A种衬衫和3件B种衬衫需要170元；购买4件A种衬衫和1件B种衬衫需要190元． （1）求A，B两种衬衫的单价； （2）恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，学校决定向该商家购买A，B两种衬衫共100件，其中A种衬衫a件（a＜50）． 活动一：“疯狂打“A种衬衫八折，B种衬衫四折； 活动二：“买一送一“购买一件A种衬衫，赠送一件B种衬衫． ①若按活动一购买，共需付款多少元？若按活动二购买，共需付款多少元？（用a的代数式表示） ②若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求a的所有可能值． 解：（1）设A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为x元和y元， 由题意得，， 解得， 答：A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为40元和30元． （2）①若按活动一购买，共需付款金额为：0.8×40a+0.4×30×（100﹣a）＝（20a+1200）元； 若按活动二购买，共需付款金额为：40a+30×（100﹣2a）＝（3000﹣20a）元； 答：若按活动一购买，共需付款（20a+1200）元；若按活动二购买，共需付款（3000﹣20a）元． ②∵按活动二购买比按活动一购买更优惠， ∴3000﹣20a＜20a+1200， 解得a＞45， 又∵a＜50，且a为整数， ∴a的所有可能值为46，47，48，49． 变式2、（行程问题）（2024春•玄武区校级月考）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74﹣x﹣y）千米， 根据题意得：， 解得：， ∴74﹣x﹣y＝74﹣30﹣16＝28． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 变式3、（工程问题）（2024春•广陵区期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 解：（1）设甲组单独工作一天需要x元，乙组单独工作一天商店需付y元， 由题意得，， 解得：． 答：甲组单独工作一天需要300元，乙组单独工作一天商店需付140元； （2）单独请甲组，需费用300×12＝3600元，少盈利200×12＝2400元，相当于损失6000元； 单独请乙组，需费用24×140＝3360元，少盈利200×24＝4800元，相当于损失8160元； 甲、乙两个装修组同时施工：3520（300+140）×8＝3520（元），少盈利200×8＝1600（元），相当于损失5120元； ∵5120＜6000＜8160， ∴甲、乙两个装修组同时施工更有利于商店经营． 变式4、（方案问题）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨，用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运． (2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意，得 解得 答：1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运． （2）解：由（1），得， ． 都是正整数， 或或 有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆； 方案二：A型车5辆，B型车4辆； 方案三：A型车1辆，B型车7辆． 变式5、（销售问题）（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 【答案】(1)“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； (2)共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； (3)应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 【详解】（1）设“冰墩墩”每件进价为x元，“雪容融”每件进价为y元， 根据题意得， 解得 ∴“冰墩墩”每件进价为9元，“雪容融”每件进价为5元； （2）设“冰墩墩”的进货数量为m件，“雪容融”的进货数量为n件， 根据题意得， ∵m和n都是正整数 ∴当时，；当时，； ∴共有2种进货方式：①“冰墩墩”5件，“雪容融”11件；②“冰墩墩”10件，“雪容融”2件； （3）方式①：收益为（元）； 方式②：收益为（元）； ∵ ∴应选择方式①进货才能使收益最大，最大收益为90元． 一、选择题 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下面不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A，两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于、的方程是二元一次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 9．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）《孙子算经》记载： “今有木， 不知长短． 引绳度之， 余绳四尺五寸； 屈绳量之， 不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设绳长为尺，长木长为尺，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 11．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知是二元一次方程组的解，则 ． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）若方程组的解满足，则a的值为 ． 13．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为 ． 14．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 16．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程组只有唯一的一组解，那么方程组的解是 ． 18．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为 ． 19．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 三、解答题 21．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，解这个方程组； (2)若时，求a的值． 23．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：关于、的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）某商店有甲、乙两种商品，每件的进价分别为20元、30元．商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元． (1)求甲、乙两种商品的销售单价； (2)如果该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，用于进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，请问可以购进多少件甲种商品？ 25．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）某学校为了调动学生阅读的积极性，在校园内不同地方设置A、B两种型号的书橱摆放图书，供学生们课间自主阅读．若购买A书橱4个、B书橱3个，需要1320元；若购买A书橱2个、B书橱5个，需要1360元． (1)A书橱、B书橱每个多少元？ (2)若学校购买这两种书橱共18个，且B书橱数量不少于A书橱数量的2倍，总费用不超过3520元，请问有哪几种购买方案． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 28．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么 参考答案 1．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义； 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的整式方程组叫做二元一次方程组，据此判断即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组； C、第一个方程不是二元一次方程，不是二元一次方程组； D、符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查二元一次方程的解的定义（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解），牢记二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、∵． ∴不是二元一次方程的解，故该选项符合题意； B、∵．     ∴是二元一次方程的解，故该选项不符合题意； C．∵，     ∴是二元一次方程的解，故该选项不符合题意； D、∵，     ∴是二元一次方程的解，故该选项不符合题意． 故选：A． 3．D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组、折叠的性质、平行线的性质等知识点，根据题意、找出等量关系是列出方程组的关键．由，即，平行线的性质可得，根据翻折的性质可得，再根据平角的定义可得，进而列出方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴， ∴ 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，熟知二元一次方程解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入到得到关于的方程即可求解． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程的一组解， ， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义列出不等式，即可求出k的取值范围． 【详解】解：整理 的得：， 关于、的方程是二元一次方程， ， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳多出4.5尺； ∴； ∵将绳对折再量木，绳缺少1尺， ∴， ∴根据题意可得方程组为， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先根据已经列出的方程，得出小明设木长为x尺，绳长为y尺，再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出另一个方程． 【详解】解：由方程可知，小明设木长为x尺，绳长为y尺， 根据题意可得：， 故选：A． 8．C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论． 【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 综上所述，此次采购的方案有（种）． 故选：C． 9．C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设绳长为尺，长木长为尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可列方程组；从而可得答案． 【详解】解：设绳长为尺，长木长为尺，列方程组为， 故选C． 10．C 【分析】本题考查了整式的加减和乘法运算，平方数的非负性，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由，消去m得到，代入可得，再由结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：由得， 由得， ∴， 化简得：， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及其解法，解题的关键是正确求解方程组．利用二元一次方程组的解先求出m，n的值，再求的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， 所以， 故答案为． 12．1 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，由①②得：，把代入即可求出a的值． 【详解】解： 由①②得： ， 整理得：， ∵ ∴， ∴． 故答案为：1． 13．7 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算即可求出m的值． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 故答案为：7． 14．5 【分析】本题考查二元一次方程的解、代数式求值，先把代入方程得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 把代入得，， ∴， 故答案为：5． 15．2 【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， ，， 解得：，， 则， 故答案为：2． 16．3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 17． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及绝对值，弄清方程组只有唯一的一组解的条件是解本题的关键．由方程组只有唯一的一组解，得到，代入即可求出y的值，即可得到方程组的解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组只有唯一的一组解， ∴，即， 把代入方程组得：， ∴方程组的解为， 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件可知，然后把代入求出，从而求出，最后把，代入，求出即可． 【详解】解：关于，的方程组的解互为相反数， ， 把代入得：， ， ， ， 把，代入得： ， 故答案为：． 19． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 设绳长尺，井深尺，根据“若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺”列出方程组即可． 【详解】解：设绳长尺，井深尺， 根据题意得，． 故答案为：． 20． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴，解得：； 故答案为：． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组. （1）用代入消元法，求出方程组的解即可． （2）用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1） 将代入中得， ， ， 解得 ， 将代入得， ， 方程组的解为：． （2） 得， ， ， 把代入①得， ， ， 方程组的解为：． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）先把a的值代入第一个方程，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）方程组中的两个方程直接相加即可得出，结合已知，即可求出a的值． 【详解】（1）解：当时，， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 二元一次方程组的解为； （2）， 得：， ， ， ． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，化简绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由，解得，，，得到，根据，即可求解； （2）由，可得原式计算即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得：， 将代入得：， 解得：， ， ， ， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴原式 ， ∴． 24．(1)甲种商品的销售单价为25元/件，乙种商品的销售单价为40元/件 (2)可购进甲种商品50件，51件或52件 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用问题，根据题意找到题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件，根据商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元，列方程组即可得解； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，列一元一次不等式组即可得解； 【详解】（1）解：设甲种商品的销售单价为x元/件，乙种商品的销售单价为y元/件． 则依题意得方程组：， 整理得， 解得 答：甲种商品的销售单价为25元/件，乙种商品的销售单价为40元/件． （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件． 则依题意可得不等式组： 解得 答：可购进甲种商品50件，51件或52件． 25．(1)A书橱每个180元，B书橱每个200元； (2)共有3种购买方案，方案1：购买4个A书橱，14个B书橱；方案2：购买5个A书橱，13个B书橱；方案3：购买6个A书橱，12个B书橱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组与方程组是解题的关键． （1）解：设A书橱每个x元，B书橱每个y，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买m个A书橱，则购买个B书橱，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设A书橱每个x元，B书橱每个y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A书橱每个180元，B书橱每个200元； （2）解：设购买m个A书橱，则购买个B书橱，根据题意得： ， 解得：， 又m为正整数， m可以为4，5，6， 学校共有3种购买方案， 方案1：购买4个A书橱，14个B书橱； 方案2：购买5个A书橱，13个B书橱； 方案3：购买6个A书橱，12个B书橱． 26．(1)①；② ， (2)摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）①根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可；②先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为非负整数，即可求解； （3）设摸到x个红球，y个白球，根据，求出x，y的非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， ①②得：，解得：， 将代入①得：，解得：， ， ②由①得方程为， ∴， 解得：， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，； （2）解：设摸到x个红球，y个白球， 根据题意得：， ， ∵、为非负整数， ∴是3的倍数，且， ∴当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，（舍去，不符合题意）； 当时，，则； 当时，（舍去，不符合题意）； ∴的非负整数解为 ，， 摸到红球和白球的组合方式有：摸到个白球和0个红球或摸到个白球和5个红球． 27．(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 28．任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键． 任务一：直接解方程组即可； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可； 任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可． 【详解】解：任务一： 由①得：， 把代入②，得：， 原方程组的解是； 任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得： ， 解得：， 则图2中阴影部分的面积； 任务三：由题意得：， 解得：， 且a、b、c均为正整数， ， 解得：， 或2， 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时不能放置； 当时，，， 分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：， 故此时能放置，放置方式如下图： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度苏科版（2024）七年级下学期期末《二元一次方程组》专题复习 1、二元一次方程的定义 定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 3. 二元一次方程组的定义 定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 4.二元一次方程组的解法（代入消元法及加减消元法） 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5．三元一次方程组定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 等都是三元一次方程组. 6．三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 考点一：二元一次方程中的参数问题 例1、（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若是关于，的二元一次方程，则 ． 变式1、（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于 ． 变式2、在解关于，的方程组时，可以用①②消去未知数，也可以用①②消去未知数，则　　； 考点二：用二元一次方程的解求代数式的值 例1、（24-25七年级下·江苏宿迁·期末模拟）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 例2、（24-25七年级下•南通海安期中）已知是二元一次方程ax+by＝1的一组解，则 ． 例3、（22-23七年级下·浙江宁波·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式1、（24-25七年级下·江西赣州·校级联考）若是关于的方程组的一个解，则的值为（    ） A．5 B．9 C．3 D． 变式2、（24-25七年级下·河南洛阳·月考）已知关于的方程组，解是，则的值为（    ） A． B． C． D．0 变式3、（23-24八年级上·陕西西安·期末）若关于x，y的方程组的解为则等于（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 考点三：二元一次方程组的同解问题 例1、（24-25七年级下·江苏南京·月考）若关于，的方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　　 A． B． C． D．1 例2、（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值为 ． 例3、（24-25七年级下学期·江苏徐州·月考）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为 ． 变式1、若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这个相同的解． (2)求的值． 变式2、（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m，n的值； (3)若（1）中的解也是关于x，y的方程的解，求a的值． 考点四：二元一次方程组的特殊解法 例1、（23-24七年级上·吉林长春·期末）【知识累计】解方程组 解：设，原方程组可变为 解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法． 【拓展提高】运用上述方法解下列方程组： 【能力运用】已知关于的方程组的解为， 直接写出关于的方程组的解为______． 例2、已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为　　． 变式1、已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是　　． 变式2、（23-24七年级下·山东济宁·期末）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法得，所以，在解这个方程组得，由此可以看出，上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把解这个方程组的方法叫换元法． 问题：请你用上述方法解方程组． 变式3、（23-24七年级下·广西南宁·期末）阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． (1)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． (2)拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是______． 变式4、阅读下列材料： 解方程组： 解：由①得：③， 将③代入②得：，解得：， 从而求得． 这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题： （1）解方程组：； （2）在（1）的条件下，若，是两条边的长，且第三边的长是奇数，求的周长． 考点五：二元一次方程组的实际应用问题 例1、（行程问题）（24-25七年级下·江苏镇江·月考）小明和小伟分别从两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达地．则两地间的距离为（   ） A．8千米 B．12千米 C．6千米 D．9千米 例2、（方案问题）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)求A，B两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 例3、（数字问题）一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 例4、（配套问题）（2025七年级下·全国·专题练习）某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为 ． 例5、（工程问题）（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？ 例6、（销售问题）某超市为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A，B两种型号的运载火箭模型，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 4件 5件 955元 第二周 2件 6件 810元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入一进价） （1）求A，B两种型号运载火箭模型的销售单价； （2）若超市准备用不超过1400元的金额再采购这两种型号的运载火箭模型共20件，求A种型号的运载火箭模型最多能采购多少件？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这20件运载火箭模型能否实现利润为800元的目标？请说明理由． 变式1、（24-25七年级下•靖江市校级联考）学校为举行校庆活动，准备向某商家购买A，B两种衬衫，已知购买2件A种衬衫和3件B种衬衫需要170元；购买4件A种衬衫和1件B种衬衫需要190元． （1）求A，B两种衬衫的单价； （2）恰逢商家搞促销，现有两种优惠活动，学校决定向该商家购买A，B两种衬衫共100件，其中A种衬衫a件（a＜50）． 活动一：“疯狂打“A种衬衫八折，B种衬衫四折； 活动二：“买一送一“购买一件A种衬衫，赠送一件B种衬衫． ①若按活动一购买，共需付款多少元？若按活动二购买，共需付款多少元？（用a的代数式表示） ②若按活动二购买比按活动一购买更优惠，求a的所有可能值． 变式2、（行程问题）（2024春•玄武区校级月考）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 变式3、（工程问题）（2024春•广陵区期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 变式4、（方案问题）已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨，用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）． 变式5、（销售问题）（23-24七年级上·浙江·期末）随着北京冬奥会的开展，带火了玩具市场．已知某玩具小商店，销售“冰墩墩”与“雪容融”两种玩具．以下是该商店两天的进货情况： 冰墩墩（件） 雪容融（件） 总费用（元） 第一天 10 10 140 第二天 20 30 330 根据上表提供的信息，请回答下列问题： (1)“冰墩墩”与“雪容融”每件进价各为多少元？ (2)如果进两种玩具的总费用是100元，有几种不同的进货方式？写出每种进货方式． (3)在第（2）小题的基础上，已知“冰墩墩”的售价为16元，“雪容融”的售价为10元，如果全部卖出，应选择哪种方式进货才能使收益最大？最大收益为多少？ 一、选择题 1．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下面不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·江苏常州·期末）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A，两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）关于、的方程是二元一次方程，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·江苏常州·期末）《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺．问木长多少？若设绳长为尺，木长为尺，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）《孙子算经》中有这样一个数学问题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 9．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）《孙子算经》记载： “今有木， 不知长短． 引绳度之， 余绳四尺五寸； 屈绳量之， 不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设绳长为尺，长木长为尺，则可列方程组为（      ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知实数x，y，m满足，，则代数式的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 二、填空题 11．（22-23七年级下·江苏常州·期末）已知是二元一次方程组的解，则 ． 12．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）若方程组的解满足，则a的值为 ． 13．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为 ． 14．（22-23七年级下·河南南阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 15．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于 ． 16．（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 17．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于的方程组只有唯一的一组解，那么方程组的解是 ． 18．（23-24七年级下·江苏南京·期末）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为 ． 19．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 20．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为 ． 三、解答题 21．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 22．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)当时，解这个方程组； (2)若时，求a的值． 23．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：关于、的二元一次方程组的解满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，化简． 24．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）某商店有甲、乙两种商品，每件的进价分别为20元、30元．商店销售4件甲商品和3件乙商品，可获得利润50元；销售2件甲商品和6件乙商品，可获得利润70元． (1)求甲、乙两种商品的销售单价； (2)如果该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，用于进货资金不超过2500元，但又要确保获利至少740元，请问可以购进多少件甲种商品？ 25．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）某学校为了调动学生阅读的积极性，在校园内不同地方设置A、B两种型号的书橱摆放图书，供学生们课间自主阅读．若购买A书橱4个、B书橱3个，需要1320元；若购买A书橱2个、B书橱5个，需要1360元． (1)A书橱、B书橱每个多少元？ (2)若学校购买这两种书橱共18个，且B书橱数量不少于A书橱数量的2倍，总费用不超过3520元，请问有哪几种购买方案． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）阅读下列材料，然后解答后面的问题： 我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解．但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的非负整数解，即x、y均为非负整数的解． 例如：由，得 ∵x 、y 为非负整数， ∴x 为3的倍数，当时，；当时，；当时 ，， ∴的非负整数解为 ，， (1)已 知和 是关于x、y的二元一次方程的2个解． ①求出m 、n的值； ②请根据材料求出方程的所有非负整数解． (2)盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得3分，摸到1个白球得5分．某人摸球共得20分，那么摸到红球和白球的组合方式有 种． 27．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 28．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ； 任务二：推理分析 第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积； 任务三：设计方案 第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么 学科网（北京）股份有限公司 $$