第10章 二元一次方程组 单元卷2025-2026学年人教版七年级数学下册

人教版七年级下册第10章《二元一次方程组》单元卷 一．选择题（共6小题） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．4x+1＝2 B．2x+y＝0 C．xy＝2 D．x+8y2＝6 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．方程组的解为（　　） A． B． C． D． 4．对于二元一次方程组，下列变形不正确的是（　　） A．由①变形后代入②，得4y﹣2﹣5y＝1 B．把①×2整体代入②得：﹣2﹣y＝1 C．由①×5﹣②×2得：x＝﹣7 D．由①×2﹣②得：﹣9y＝﹣3 5．在解关于x，y的方程组时，甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2；乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣5，b＝4 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝5，b＝4 6．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．已知是二元一次方程ax+2y＝6的一个解，那么a的值为　 　 ． 8．试写出一个关于x，y的二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是　 　 ． 9．方程组的解是　 　 ． 10．已知x、y满足方程组，则3x+y的值为 　 　 ． 11．已知两地相距300km，一艘船航行于两地之间．若顺流需用15h，逆流需用20h，设船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，根据题意，列出二元一次方程组 　 　 ． 12．长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　 　 cm2． 三．解答题（共11小题） 13．若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是关于x，y的二元一次方程，求a，b的值． 14．解下列二元一次方程组： （1）代入法 （2）加减法 15．关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求m﹣n的值． 16．在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是． （1）求原方程组中a、b的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解． 17．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少？（用方程组的知识解答） 18．小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　 　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 19．某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 20．小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小智的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组 21．问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程x+2y＝5，求m的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值． … 请用2种不同的方法解决上面的问题． 22．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y．具有“邻好关系”． （1）方程组的解　 　 “邻好关系”（填“具有”或“不具有”）； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？并说明理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，直接写出m的值． 23．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 （1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ （2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； （3）拓展延伸：现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为x与横式纸盒个数为y，恰好使库存的纸板用完，则用x、y的代数式表示m+n的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．4x+1＝2 B．2x+y＝0 C．xy＝2 D．x+8y2＝6 【分析】根据二元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A．4x+1＝2，是一元一次方程数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．2x+y＝0，是二元一次方程，故本选项符合题意； C．xy＝2，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．x+8y2＝6，未知数y的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二元一次方程组的定义，判断各选项是否满足以下条件：①共含两个未知数；②每个方程都是整式方程且含未知数的项的次数为一次． 【解答】解：A．第二个方程不是整式方程，不符合题意； B．方程x2+y2＝13不是二元一次方程组，不符合题意； C．两个方程x＝1和y＝2均为整式方程，且仅含x、y两个未知数，次数均为一次，符合题意； D．方程组含三个未知数x、y、z，不符合“共两个未知数”的条件，不符合题意； 故选：C． 3．方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：， ①+②，得3x＝12， 解得x＝4， 把x＝4代入②，得4﹣y＝5， 解得y＝﹣1， 所以方程组的解是， 故选：D． 4．对于二元一次方程组，下列变形不正确的是（　　） A．由①变形后代入②，得4y﹣2﹣5y＝1 B．把①×2整体代入②得：﹣2﹣y＝1 C．由①×5﹣②×2得：x＝﹣7 D．由①×2﹣②得：﹣9y＝﹣3 【分析】利用加减法或者代入法进行变形即可得到答案． 【解答】解：A．①×2得到2x﹣4y＝﹣2，则2x＝4y﹣2，代入②得到4y﹣2﹣5y＝1，故本选项不符合题意； B． ①×2得到2x﹣4y＝﹣2，由2x﹣5y＝2x﹣4y﹣y＝﹣2﹣y得到﹣2﹣y＝1，故本选项不符合题意； C． ①×5﹣②×2得：x＝﹣7，故本选项不符合题意； D．由①×2﹣②得：y＝﹣3，故本选项符合题意． 故选：D． 5．在解关于x，y的方程组时，甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2；乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣5，b＝4 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝5，b＝4 【分析】甲看错了a但他的解对②是有效的，可用来求b，乙看错了b，但他的解对①是有效的，可用来求a． 【解答】解：甲看错a，但x＝4，y＝2满足方程②3x﹣by＝4：3×4﹣b×2＝4， 12﹣2b＝4， b＝4， 乙看错b，但x＝﹣3，y＝﹣1满足方程①ax+8y＝7， a×（﹣3）+8×（﹣1）＝7， ﹣3a﹣8＝7， ﹣3a＝15， a＝﹣5． ∴a＝﹣5，b＝4， 故选：A． 6．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意可列方程组为， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．已知是二元一次方程ax+2y＝6的一个解，那么a的值为　2　 ． 【分析】根据二元一次方程组的解代入计算即可． 【解答】解：根据题意可得：a+2×2＝6， 解得a＝2． 故答案为：2． 8．试写出一个关于x，y的二元一次方程组，使它的解是，这个方程组可以是　（答案不唯一）　 ． 【分析】只需要列两个简单的二元一次方程组成方程组即可． 【解答】解：∵x+y＝﹣3+4＝1， x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7， ∴方程组可以为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 9．方程组的解是　　 ． 【分析】利用加减法求解即可． 【解答】解：， ①+②得：4x＝8， 解得：x＝8÷4＝2， 把x＝2代入②得：2﹣y＝6， 解得：y＝2﹣6＝﹣4， 故方程组的解为． 10．已知x、y满足方程组，则3x+y的值为 　8　 ． 【分析】让方程组中的两个方程直接相加即可求出答案． 【解答】解：， ①+②，得3x+y＝8， 故答案为：8． 11．已知两地相距300km，一艘船航行于两地之间．若顺流需用15h，逆流需用20h，设船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，根据题意，列出二元一次方程组 　　 ． 【分析】利用路程＝速度×时间，结合顺流及逆流所用时间，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵两地相距300km，一艘船航行于两地之间，其顺流需用15h， ∴15（x+y）＝300； ∵逆流需用20h， ∴20（x﹣y）＝300． ∴根据题意可列出方程组． 故答案为：． 12．长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是　67　 cm2． 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图中给定的数据可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论． 【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意，得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积＝19×（7+2×3）﹣6×10×3＝67（cm2）． 故答案为：67． 三．解答题（共11小题） 13．若xa﹣b﹣2ya+b﹣2＝0是关于x，y的二元一次方程，求a，b的值． 【分析】根据二元一次方程的定义可得x，y的指数都是1，于是有；接下来选用合适的方程解上述关于a和b的方程组即可得解． 【解答】解：根据题意，得： ， 解得． 14．解下列二元一次方程组： （1）代入法 （2）加减法 【分析】（1）利用代入消元法求解该二元一次方程组； （2）利用加减消元法求解该二元一次方程组． 【解答】解：（1）， 把②代入①解得y＝1， 把y＝1代入②得x＝1+1＝2， ∴原方程组的解是； （2）， ①+②解得x＝3， 把x＝3代入①解得y＝1， ∴原方程组的解为． 15．关于x，y的方程组与方程组有相同的解，求m﹣n的值． 【分析】根据题意组成新的方程组，求出x、y的值，然后代入方程mx+ny＝8、mx﹣ny＝4中得到关于m、n的方程组，求出m、n的值，再计算m﹣n即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 把代入方程mx+ny＝8、mx﹣ny＝4中，得 ， 解得， ∴m﹣n＝3﹣2＝1． 16．在解方程组时，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解是． （1）求原方程组中a、b的值各是多少？ （2）求出原方程组中的正确解． 【分析】（1）甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看错了②中的b得到方程组的解为，那么他的解对①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、b的值； （2）两方程组成一个方程组，求出方程组的解即可． 【解答】解：（1）将代入②得b＝﹣10， 将代入①得a＝﹣1； （2）原方程组为， ①×2﹣②得：﹣6x＝32， 解得：x， ①×4+②得：30y＝58， 解得：y， 即原方程组的解为：． 17．如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少？（用方程组的知识解答） 【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是15cm，宽是6cm． 18．小明解关于x，y的二元一次方程组时的过程如下： 第1步：①﹣②得x﹣y＝4③ 第2步：③×3得3x﹣3y＝12④ 第3步：①﹣④得x＝﹣3 第4步：将x＝﹣3代入③得﹣3﹣y＝4，即y＝﹣7 所以原方程组的解为． （1）你认为小明的做法从第　1　 步开始出现错误； （2）请写出正确的解法． 【分析】（1）根据解方程组的过程判断即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）小明的做法从第1步开始出现错误； 故答案为：1； （2）， ①﹣②得x+y＝4③，③×3得3x+3y＝12④， ①+④得7x＝21， 解得x＝3， 将x＝3代入③得3+y＝4，即y＝1， 所以原方程组的解为． 19．某工厂车间共有21名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，车间应该分配生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 【分析】设分配x名工人生产螺栓，则分配（21﹣x）名工人生产螺母，再根据“1个螺栓配2个螺母”的配套要求，得到螺母总数量是螺栓总数量的2倍这一等量关系，列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则分配（21﹣x）名工人生产螺母， 根据题意，得2×12x＝18（21﹣x）， 解得x＝9， 则21﹣x＝21﹣9＝12， 答：车间应该分配9名工人生产螺栓，分配12名工人生产螺母． 20．小智同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，可以很轻松地解出这个方程组．小智同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小智的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组． 【分析】（1）直接把①整体代入②求出y＝3，进而求出x＝4即可； （2）先把原方程整理得到，再把②整体代入①先求出x＝1，进而求出y＝5即可． 【解答】解：（1）， 整理得， 把①整体代入②得4×7﹣y＝25， 整理得：28﹣y＝25， 即y＝28﹣25， 解得y＝3， 把y＝3代入①得：x+3＝7，解得x＝4， ∴方程组的解为； （2）， 整理得， 把②整体代入①得：， 整理得：2+2x＝4， 即2x＝2， 解得x＝1， 把x＝1代入②得：y﹣2×1＝3，解得y＝5， ∴方程组的解为． 21．问题：已知关于x，y的方程组的解满足方程x+2y＝5，求m的值． 同学们正在讨论着不同的解题思路： 甲同学说：可以先解关于x，y的方程组，再求m的值． 乙同学说：可以先将方程组中的两个方程相加，再求m的值； 丙同学说：可以先解方程组，再求m的值． … 请用2种不同的方法解决上面的问题． 【分析】利用加减消元法和代入消元法将丙同学、乙同学的解法，求出m的值即可． 【解答】解：（1）利用丙同学的解法： 先解方程组， ①×2﹣②得，y＝2， 把y＝2代入①得x+4＝5， 解得x＝1， 所以方程组的解为， 把代入方程3x+7y＝5m﹣3得，3+14＝5m﹣3， 解得m＝4； （2）利用乙同学的解法： ， ③+①得，5x+10y＝5m﹣3+8， 即x+2y＝m+1④， ④代入②得，m+1＝5， 解得m＝4． 22．对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y．具有“邻好关系”． （1）方程组的解　不具有　 “邻好关系”（填“具有”或“不具有”）； （2）方程组的解是否具有“邻好关系”？并说明理由； （3）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，直接写出m的值． 【分析】（1）解方程组求得x，y的值，然后判断|x﹣y|是否为1即可； （2）解方程组求得x，y的值，然后判断|x﹣y|是否为1即可； （3）解方程组根据“邻好关系”列得关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）， 解得：， ∵|x﹣y|＝|3﹣1|＝2≠1， ∴方程组的解不具有“邻好关系”， 故答案为：不具有； （2）， 解得：， ∵|x﹣y|＝|3﹣2|＝1， ∴方程组的解具有“邻好关系”； （3）， 解得：， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴|2m﹣4﹣m﹣1|＝1， 整理得：|m﹣5|＝1， 解得：m＝6或4． 23．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 （1）下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ （2）若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； （3）拓展延伸：现在仓库里有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为x与横式纸盒个数为y，恰好使库存的纸板用完，则用x、y的代数式表示m+n的值． 【分析】（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，根据领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，即可判断第二次记录错误； ②根据第一次记录，列出方程组，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，得，求解即可； （3）根据题意列出二元一次方程组，两个方程相加，即可解答． 【解答】解：（1）①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为5（x+y），应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 根据题意得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 根据题意得：， 整理得：x＝3y， ∴3， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3； （3）根据题意得：， ∴m+n＝x+2y+4x+3y＝5x+5y． 答：m+n的值为5x+5y． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/3 14:24:45；用户：钟军；邮箱：13870756251；学号：41363517 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $