2026年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（与面积有关的问题）

2026年九年级中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（与面 积有关的问题) 1.己知二次函数y=x2+bx+ca≠0)的图象与x轴的交于A、B(1,0)两点，与y轴交于点 C0,-3). B (1)求二次函数的表达式及A点坐标： (②)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值； 2.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A1,0),C(0,-3. (1)求此二次函数的解析式： (2)若二次函数图象与x轴的另一个交点为B,在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为10， 求点P的坐标. 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线1是抛物线的对称 轴. 试卷第1页，共3页 B ()求抛物线的函数关系式： (2)抛物线的顶点为D,连接CD、BD、BC,求△BCD的面积. 4.如图抛物线y=x2+bx+c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴 的另一个交点为C,抛物线的顶点为点D. D (1)求此抛物线的解析式： (2)求四边形AOBD的面积， 5.如图1，抛物线y=-x2+bx+c与坐标轴交于点A(0,4)和点B(点B位于x轴正半轴)， 点C(2,6)在抛物线上，D,E为线段AB上的动点（点D在点E的左侧），DE=√2，连接 AC,CD,CE. Y D B B G 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： 试卷第1页，共3页 (2)当S.4Cp=SEcD时，求CE的长： (3)如图2，过点D作DF⊥x轴于点F,过点E作EG⊥x轴于点G,连接AF,CG,求四边 形AFGC周长的最小值， 6.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(0,3),点P是直线AB上的动点，过点P 作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为t. (1)求抛物线的解析式 (2)若点P在第一象限，连接AM、BM,当1≤t≤2.5时，求△ABM面积的最大值与最小值； (③)是否存在这样的点P,使以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 4 7.如图，已知直线y=二x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经 3 过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. B (1)求抛物线的表达式 (2)在对称轴上找一点Q,使△CBQ的周长最小，求点Q的坐标； (3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大 值及此时D点的坐标： 8.如图，二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点 C 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式. (2)点P是直线AC下方的抛物线上一动点，连接AP,PC,BC,当四边形APCB的面积最 大时，求点P的坐标， (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 9.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图 象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且 0C=2. D 备用图 ()求二次函数的表达式： (2)点M为一次函数下方抛物线上的点，△ABM的面积最大时，求点M的坐标； (3)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一 个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标. 10.如图，直线y=x-3与x轴，y轴分别交于点B,点C,经过B,C两点的抛物线 y=-x2+mx+n与x轴的另一个交点为A,顶点为P. 试卷第1页，共3页 VA 备用图 (1)求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标： (②)当0<x<3时，在抛物线上存在点E,使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； (3)连接AC,点N在x轴上，是否存在以B,P,N为顶点的三角形与ABC相似？若存在， 求出点N的坐标；若不存在，说明理由 11.如图1，抛物线y=-x2+x+c与x轴交于A和B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点 D是抛物线的顶点， 图1 图2 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P在x轴上，直线DP将△BCD的面积分成12两部分，请求出点P的坐标； (3)如图2，作DM⊥x轴于M点，点Q是BD上方的抛物线上一点，N是BD上一点，是否 存在Q点使得△DON与△DBM相似？若存在，请直接写出N坐标；若不存在，请说明理由. 12.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x x2+bx+c的图像交x轴于点A,B,与 4 y轴交于点C.其中B0=C0=2A0. 试卷第1页，共3页 y C A B O E ()求该抛物线的解析式与顶点坐标 (2)点D为OC中点，P是x轴下方抛物线上的一个动点，连接AC,BD,PD,PB,问是 否存在点P,使得SPD=2S。4oc·若存在，求P点的坐标；若不存在，请给出理由 (3)如图2，C点关于O点的对称点为E,M为线段BC上一点，连接AM,N为线段AM上 一点，且AN=2NM,连接EN,当2AM+3EN的值最小时，直接写出EN的长. 试卷第1页，共3页 参考答案 1+b+c=0 1.(1)解：把B1,0),C0,-3)代入y=x2+bx+c得： c=-3 ,b=2 解得c=3 .二次函数的表达式为y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0, 解得x=1,X2=-3, .A-3,0): (2)解：过点D作x轴的垂线交AC于点G,连接AD、CD, 、G D 设直线AC的表达式为y=kx+n, 把4(-3,0)、C0,-3列代入得： 0=-3k+n -3=n k=-1 解得 n=-3' .直线AC的表达式为y=-x-3, S,cD=S.00+S.cDo=DG:OA=DGx3=DG. 、3 2 当DG取最大值时，△ACD的面积最大， 设D(m,m2+2m-3,则G(m,-m-3, 点D位于第三象限， .-3<m<0,DG=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m, 答案第1页，共2页 :当m=-弓时，△ACD的面积最大，最大值为2☑ 3 2.(1)y=x2+2x-3 (2)P(-4,5)或(2,5) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与面积等知识. (1)根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A1,0),C(0,-3)代入二次函数y=x2+bx+c中， 求出b、c的值，即可得到函数解析式是y=x2+2x-3. (2)求出A、B两点坐标，得到AB的长，再设P(m,n,根据aABP的面积为I0可以计算 出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标： 【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c过点A1,0,C0,-3), 1+b+c=0 c=-3 b=2 解得c=3 ·二次函数的解析式为y=x2+2x-3. (2)解：当y=0时，x2+2x-3=0, 解得：=-3，x2=1. A1,0),B(-3,0). AB=4. 设P(m,n, △ABP的面积为10， 号州=10 解得：n=±5. 当n=5时，m2+2m-3=5, 解得：m=-4或2. 答案第1页，共2页 P(-4,5)或(2,5). 当n=-5时，m2+2m-3=-5,方程无解。 P(-4,5或2,5). 3.(1)y=-x2+2x+3; (2)3 【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定等知识，掌握二 次函数的性质是解题的关键， (1)用待定系数法即可求解： (2)先求出直线BC与对称轴的交点，即可得出DN，再用面积之和即可得出结论， 【详解】(1)解：将A-1,0)、B(3,0)、C(0,3代入抛物线y=ax2+bx+c中，得： a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3 a=-1 解得： b=2, c=3 抛物线的解析式：y=-x2+2x+3; (2)解：：抛物线的解析式：y=-x2+2x+3; y=-x2+2x+3=-(x-1+4, .顶点D的坐标为1,4)， 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠O), 3k+b=0 k=-1 将B(3,0)、C(0,3)代入上式，得： b=3 ，解得： b=3 .直线BC的函数关系式y=-x+3, 设直线BC交抛物线对称轴于点N, 答案第1页，共2页 N B. 10 .当x=1时，y=-1+3=2, N(1,2). DN=4-2=2,0B=3, SADcm=SADNc+SAON=DNxOB=-x2x3=3 4.(1)y=x2-2x-3 5 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象与性质，二次函数与几何图形，一 次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识. (1)根据一次函数求出点A,B的坐标，再利用待定系数法即可求解； (2)求出二次函数的顶点坐标D(1,-4),过点D作DH∥y轴交AB于点H,则H1,-2), 得到HD=2,最后根据S西边形AOBD=S。AOB+S。ABD,即可求解. 【详解】(1)解：在y=x-3中，令x=0,则y=-3,令y=0,则x=3, ·A3,0),B0,-3, 9+3b+c=0 将点A(3,0),B(0,-3)代入抛物线表达式得 c=-3 b=-2 解得c=3 :抛物线的表达式为y=x2-2x-3; (2)对于y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 则顶点D(1,-4), 过点D作DH∥y轴交AB于点H, 答案第1页，共2页 当x=1时，y=1-3=-2, 点H(1,-2, 则HD=-2-（-4)=2, 则S边形4OD=S.408+S。Bm= L04-0B+DH04- x3x3+×2x3=15 2 2 5.(1)y=-x2+3x+4; (2)CE=4; (3)四边形AFGC周长的最小值为2√2+1+√101 【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可； (2)过点E作EP⊥y轴交于P点，过点D作DO⊥PE交于Q点，则LAEP=∠AB0=45 ,由DE=√2，得到D9=QE=1,设E(m,-m+4,则D(m-1,-m+5列，由S4cn=S.cD, 可知D是4征的巾点，则m-1=受求出E点坐标为2,2，即可求得CE=4: (3)过E点作EM⊥DF交于M点，则四边形MFGE是矩形，ME=FG=1,作A点关于 x轴的对称点A,连接FA',则AF=AF,过作A'G'∥OB,且A'G'=FG,则四边形 FA'G'G是平行四边形，连接CG',当F、C、G共线时，AF+CG的值最小，此时四边形 AFGC周长最小，求出G'(1,-4),则CG'=√101，据此即可求解. 【详解】(1)解：将A0,4),C(2,6)代入y=-x2+bx+c, c=4 ÷4+2b+c=6 c=4 解得b=3' y=-x2+3x+4; 答案第1页，共2页 (2)解：当y=0时，-x2+3x+4=0, 解得x=4或x=-1, B4,0, :直线AB的解析式为y=-x+4, 过点E作EP⊥y轴交于P点，过点D作DQ⊥PE交于Q点， D FL-C NE B :0A=0B=4, .∠AB0=45°， :PE∥OB, .∠AEP=∠AB0=45°， “DE=√2， .DO=OE =1, 设E(m,-m+4),则D(m-1,-m+5, S.ACD=S.ECD, D是AE的中点， m-分 解得m=2, E点坐标为(2,2)， .CE=4; (3)解：过E点作EM⊥DF交于M点， DE=√2，LDEM=45°， .DM ME =1, DF⊥OB,EG⊥OB, 答案第1页，共2页 .四边形MFGE是矩形， :ME=FG=1, 作A点关于x轴的对称点A,连接FA',则AF=AF, 过作A'G'∥OB,且A'G=FG,则四边形FA'G'G是平行四边形， ..GG'=FA', 连接CG',当F、C、G共线时，AF+CG的值最小，此时四边形AFGC周长最小， B A0,4, .A'(0,-4), FG=1, .A'G'=1, .G'1,-4, .CG=V101, .四边形AFGC周长=AC+FG+AF+CG≥AC+FG+CG' =2√2+1+V101, :四边形AFGC周长的最小值为2√2+1+101. 【点晴】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短 距离的方法是解题的关键， 6.(1)y=-x2+2x+3 3 15 ②当1时，Sw肤子，15时，SM8 2 2 答案第1页，共2页 3+√213-√21 (3)存在，P点坐标为 3-√213+V21 2,2 2,2 【分析】本题主要考查二次函数，一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的 方法，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识是解题的关键。 (1)用待定系数法即可求解： (2)根据题意求出AB的解析式，设P(,-1+3)(0<1<3),则M(t,-2+21+3,根据点M 在抛物线上，可用含t的式子表示出PM的长，根据二次函数的特点即可求解： (3)根据平行四边形的性质，结合图形，抛物线的性质即可求解. 【详解】(1)解：将点A(3,0),B(0,3),代入y=-x2+bx+c, 「-9+3b+c=0 c=3 b=2 解得c=3' y=-x2+2x+3. (2)解：如图所示，设直线AB的解析式为y=x+b, 「b=3 13k+b=0' k=-1 解得6=3' .y=-x+3, P(,-1+3)(0<1<3,则M(t,-2+2t+3, w=f+2+313=4-- 答案第1页，共2页 SM= 3(-3227 t 22 8 a=- <0, 2 1≤t≤2.5， 六当1=时，Sw大= 27 8 又2-1K53 222 当时，5 15 (3)解：存在理由如下： 由(2)知，P(t,-1+3),Mt,-t2+2t+3, PM=-1+3)-(-2+21+3=2-31 :PM∥OB,且使以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形， PM=0B=3,P-3=3, ①P-3=3,解得：1=3+或1=3-2 2 .P 3+,3-威3-，3+ 2,2 22 ②t2-3t=-3,此时t无解： 综上所述：P点坐标为 3+,3-四成3-，3+ 2,2 2,2 4 8 7.(1)抛物线的解析式为：y=-。x2 x+4 3 ②点Q的坐标是》 ③)四边形4BCD面积S的最大值是三，此时点D的坐标是 3 【分析】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次 函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径 ()利用一次函数的解析式求出点A、C的坐标，根据抛物线的对称轴是x=-1,可得关于 Q、b、C的三元一次方程组，解方程组求出Q、b、C的值，即可得到抛物线的解析式： 答案第1页，共2页 (2)根据将军饮马原理可知，当QB+QC的值最小时，点Q是直线AC与对称轴的交点，即 可求出点Q的坐标； (3)设点D的坐标为 3m28 % m+4, 4 点F的坐标为 m,3m+4 ,结合 So4G-DF+0cDr-040F和Sam4B0c,则5=-2m-6m+8,利用 二次函数的性质化简为顶点式求得最大值即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1, =-1, 2a b=2a, 当x=0时， 4 4 可得：y=3+4=3×0+4=4, 3 :点C的坐标是(0,4， 当y=0时， 可得：3+4=0， 4 解得：x=-3, ·点A的坐标是(-3,0)， :抛物线y=ax2+bx+c经过点A-3,0,C(0,4), b=2a 可得：9a-3b+c=0, c=4 4 a=3 8 解得： b=3 c=4 上抛物线约解折式为：=音-骨+4： (2)解：如图，设直线x=-1交AC于点E,连接AQ、BQ和BE, 答案第1页，共2页 B 直线y 3+4, ×-1)+4=8 4 当x=-1时，y= 3 》 :直线x=-1垂直平分AB, ∴.QB=OA,EB=EA, △CBQ的周长=QB+QC+CB=QA+QC+CB, .0A+OCzAC, :当点Q与点E重合时，QA+QC=AC,此时△CBQ的周长最小AC+CB, :点A的坐标是(-3,0)，点C的坐标是0,4)， 0A=3,0C=4, :直线x=-1, 点B的坐标是1,0)， .OB=1, :AC=V32+42=5,BC=2+42=√7，此时QB+QC的值最小， :当QB+QC的值最小时，△CBQ的周长最小为5+√17，点Q的坐标是 (3)解：如图，作DG⊥x轴于点G,交AC于点F, B :点D的横坐标为m, 答案第1页，共2页 3m2、8 :点D的坐标为m音一号m+4,点F的坐标为m号+4小】 42 3 ..DF= 4m28 3m2 3+4 (3m+4= jn-iw. 点B的坐标是1,0)， .AB=4, S.cAG-DF+OG.DF-OA-DF3m-4m--2m-6m. 2 S4B-0c-x4x4=8 则s-2m-68=-2+ 2 :当m= 时，5此时D 3 则四边形ABCD面积s的最大值是三，此时点D的坐标是 8.(1)y=x2+2x-3 阅点P的坐际为 (3)在x轴上存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为 (-5,0)或(2+V7,0)或(2-√7,0)或(-1,0 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值， 二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键. (1)根据待定系数法求抛物线解析式： (2)过点P作PD1x轴于点D,交AC于点G.设P,tP+2t-3)(-3<t<0),则 G11小，5em=5心+5=一子-昌+6=0++尽进面限据=次函数 的性质求得取得最大值时，t的值，进而求得P点的坐标； (3)分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M的坐标进而求得Q 点的坐标. 【详解】(1)解：二次函数y=ax2+bx-3的图象与x轴交于A-3,0),B(1,0)两点，将点A, 点B的坐标分别代入得： 答案第1页，共2页 9a-3b-3=0 a+b-3=0 a=1 解得： b=21 :该抛物线的表达式为y=x2+2x-3; (2)解：二次函数y=x2+2x-3与y轴交于点C, 当x=0时，得：y=-3, C(0,-3), 设直线AC的表达式为y=-3,将点A的坐标代入得： -3k-3=0, 解得：k=-1, :直线AC的表达式为y=-x-3, 如图1，过点P作PD⊥x轴于点D,交AC于点G. YA D G 图1 设P(t,2+2t-3)(-3<t<0),则G(t,-1-3), PG=-t-3-(t2+2t-3=-2-3t. A-3,0),B(1,0),C(0,-3, AB=1--3)=4,A0=3,0C=3, S西边形B=Se+S4C8=2 PG4D+PG-0D+号B-0C -号PG(4D+0D+5AB-0C 答案第1页，共2页 --r-刘x3+x43 1 =-329 t+6 22 3 3* 75 =-20+2 8 3 :-3<1<0, c0, ：当t= 时，S边取最大值，最大值为为 8, 比时点P的坐标为多》 (3)解：在x轴上存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的 坐标为(-5,0)或2+√7,0或2-V7,0或(-1,0理由如下： 设M(m,m2+2m-3,Q(q,0 A-3,0),C(0,-3. 如图2，①当AM为平行四边形的对角线时， A O B M (M 图2 -3+m=0+q 由中点坐标公式，得： 0+m2+2m-3=0-31 解得： q=-3不合题意，舍去)或%=-2 m=0 (92=-5’ .M（-2,-3,0-5,0: ②当AQ为平行四边形的对角线时， 答案第1页，共2页 由中点坐标公式，得： -3+q=0+m m2+2m-3-3=0+01 m=-1+7m,=-1-√7 解得： 或 9=2+V7 (g2=2-7 M-1+V万，3,0(2+万，0或M-1-V7,3, 0(2-万，0： ③当AC为平行四边形的对角线时， -3+0=m+q 由中点坐标公式，得： 0+m2+2m-3=0-3 q=-3不合题意，舍去)或 1m1=0 m2=-2 解得： 92=-1 M4-2,-3),Q-1,0 综上所述，在x轴上存在点Q,使得以A,C,M,Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q 的坐标为(-5,0)或2+√7,0或2-√，0或(-1,0) 9.(1)二次函数的表达式为y=0.5x2-2x+2 3 (3)点P的坐标为P(1,0)和P（7.25,0 【分析】(1)根据y=0.5x+2交x轴于点A,与y轴交于点B,即可得出A,B两点坐标， 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2.得出可设二次函数 y=ax2+bx+c=a(x-2),进而求出即可； (2)作MH⊥AD于H,MG∥y轴交AD于点G,易证△AOB∽aMHG,设 Mt,0.5t2-2t+2,则G(,0.51+2),可表示出MH,进而求出S△Bw的函数解析式，进而 即可求解； (3)根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时进行分类讨论，利用 三角形相似对应边成比例求出即可， 【详解】(1)解：：y=0.5x+2交x轴于点A, 答案第1页，共2页 .0=0.5x+2, .x=-4, .A-4,0), 直线y=0.5x+2与y轴交于点B, B点坐标为(0,2， :二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且0C=2, 可设二次函数y=a(x-2)2, 把B(0,2)代入得，a=0.5, .二次函数的表达式：y=0.5x2-2x+2; (2)解：作MH⊥AD于H,MG∥y轴交AD于点G, 则∠MGH=∠OBA,∠MHG=∠AOB=90°， .△AOB∽△MHG, :M地-MG OA AB YA HG B ---二=M 设Mt,0.5t2-2t+2),则G(t,0.51+2, MG=(0+2-0sr-a+2-+, 又：AB=V42+22=25,0A=4, w+ -4B.MH-x25x-5. :S。ABM= 252 2 5 当1时，Sw最大，此时，号×2x+2 2 答案第1页，共2页 (3)解：(I)当点B为直角顶点时，过B作BP⊥AD交x轴于P点，则 Rt△AOB∽Rt△BOP,如图1， A 图1 AO BO B0P0' 42 .20P ,得OP=1, .P(1,0: (Ⅱ)当点D为直角顶点时，作PD⊥BD,如图2， B 图2 将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立， 得0.5x+2=0.5x2-2x+2 0.5x2-2.5x=0 0.5xx-5)=0 解得x=0(舍去)或x2=5, 将x=5代入y=0.5x+2得，y=4.5, D点的坐标为5,4.5)， D=5+4+(45-0.95 2 答案第1页，共2页 :∠DAP=∠BAO,∠BOA=∠ADP, .△ABO∽△APD, 2V54 份8即5， AB AO 2 解得：AP=11.25,则0P=11.25-4=7.25, 故卫点坐标为7.25,0)； ()当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E,如图3， D B CP 图3 设P(a,0), 则由Ra0OBR∽RaEP,D,得DE-BE' OP OB 2 52。 -= :方程无解， 点不存在， .点P的坐标为P(1,0)和P7.25,0. 【点晴】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与 性质等知识，关键是根据已知进行分类讨论得出所有结果. 10.(1)y=-x2+4x-3,点P的坐标为(2,1)： 阅点E的坐后为号子： (3③)存在，点N的坐标为N,(0,0)或N,(0) 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及 相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程. 答案第1页，共2页 (1)先求得B、C点坐标，再代入y=-x2+mx+n,求出m,n,即可得到抛物线解析式，配 方解析式即可得到顶点： (2)在抛物线上取点E,连接CE,BE,过E作x轴的垂线，交BC于点F,设出点E,F 的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； (3)根据B,C,P三点坐标即可得到∠CBA=∠ABP=45°，根据对应边成比例夹角相等 三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】(1)解：直线y=x-3,令y=0,得x=3,令x=0,得y=-3, 所以B3,0),C(0,-3),代入y=-x2+mx+n得， [n=-3 n=-3 -9+3m+n=0' 解得： m=4 .y=-x2+4x-3, y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, .顶点P的坐标为：P(2,); (2)解：在抛物线上取点E,连接CE,BE,过E作x轴的垂线，交BC于点F, YA E A 设点F(x,x-3),则点E(x,-x2+4x-3), .EF=-x2+3x, S.CBE =S.CEF +S.BEF =1EF-OB 2 ,27 = 当x时，△C8E的面积有最大位 答案第1页，共2页 此时，点E的坐标为兮子： ,33、 (3)解：存在，理由如下， 连接BP,设N(,O), 当y=0时，-x2+4x-3=0, 解得x=1,x2=3, .A1,0), B3,0),C(0,-3),P(2,1), ∠CBA=∠ABP=45°，且ABC非等腰三角形， 若B,P,N为顶点的三角形与ABC相似， ∠CBA=∠ABN=45°，则点N(n,0)在点B的左侧， .AB=2,BC=V32+32=3V2,BP=V3-22+12=V2,BN=3-n, ①当BN=BC时，△ABCPBN, BP BA 3-n-3V2 √22 解得n=0,所以点N的坐标为V(0,0), ②当BN-BA时，AABC∽APBN, BP BC 3-n2 232 解得n了，所以点N的坐标为心写0。 综上所述，点N的坐标为N0,O)或N,0) 11.(1)y=-x2+2x+3,点D的坐标为1,4)： ou或3o: 【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式是y=-x2+2x+3,把二次函数整理成顶 点坐标式，可得：y=-(x-1)2+4,根据解析式可得点D的坐标； (2)作点E、F三等分线段BC,根据平行线分线段成比例定理可知点E、F的横坐标是1 答案第1页，共2页 2,用待定系数法求出直线BC的解析式，根据解析式可得点E、F的坐标，用待定系数法 求出DE、DF的解析式，根据解析式求出点P的坐标； (3)设点Q的坐标是a,-a2+2a+3,作QN⊥DB,延长QN交DM于点Q,过点Q作 QE LDM,利用相似三角形的性质可知，点O的坐标是1，-n+3n+? 2 点N的坐标是 2 n+1-4n2+7n+13 利用待定系数法求出BD的解析式，根据点N在直线BD上，即可 2 求出点N的坐标；作QW'⊥D9,作QN'⊥DM,可证△DQN'≌aDQ'N',利用勾股定理求 出DQ的长度，根据全等三角形的性质可知DQ的长度，利用相似三角形的性质即可求出点 N'的坐标. 【详解】(1)解：把点B(3,0)和点C(0,3)的坐标代入y=-x2+kx+c, -9+3k+c=0 可得： c=3 [k=2 解得： c-3' :抛物线的解析式是y=-x2+2x+3; 把二次函数的解析整理，可得：y=-(x-1)2+4, :抛物线的顶点D的坐标为1,4)； (2)解：如下图所示，点E、F是线段BC的三等分点， 过点E作EG⊥AB,FH⊥AB, 则FH‖EGICO, :BF EF EC=BH GH GO=1:1:1, 0B=3, :.0G=GH=BH=1, :点E、F的横坐标分别是1、2， 设直线BC的解析式是y=mx+n(m≠O), 把点B(3,0)和点C(0,3的坐标代入y=mx+n(m≠0)， 答案第1页，共2页 3m+n=0 可得： n=3 m=-1 解得： (n=3’ :直线BC的解析式是y=-x+3, 当x=1时，可得：y=-x+3=-1+3=2, 当x=2时，可得：y=-x+3=-2+3=1, :点E的坐标是(1,2)，点F的坐标是2，， :点D(1,4)和点E(1,2)在直线x=1上， :直线DE与x轴的交点坐标是1,0)， 即点P的坐标是(1,0)， 设直线DF的解析式是y=m,x+n,m,≠0)， 把点D(1,4和点F(2,1的坐标代入y=mx+m,m,≠0)， m1+n=4 可得： 2m,+n=1' 解得： m=-3 %=7’ ·直线DF的解析式是y=-3x+7, 当y=0时，可得：-3x+7=0, 解得：X=3 7 :直线DP与x维的交点坐标是(？0， 即点P的坐标是 答案第1页，共2页 综上所述，点P的坐标是L0或(30： (3)解：点N的坐标 1113 4749 8’4 3216 设点9的坐标是n,-n2+2n+3, 如下图所示，作ON⊥DB,延长QN交DM于点Q,过点Q作QE⊥DM, ”点B的坐标是3,0)，点D的坐标是1,4)， BM=2,DE=4--n2+2n+3=n2-2n+1,EQ=n-1, tan∠BDM=BM-21 DM42' :∠EQg'+∠EQ'Q=90°，∠BDM+∠EQ'Q=90°， .∠EQQ'=∠BDM, tan∠EQQ'=tan∠BDM=EO'_1 EO2' 0=50=a-川， Mg=M-nE-g-4-2+小-n-=++子 :点O的坐标是1，-n+3n+） 22' '△DONDBM, .∠QDN=∠Q'DN, I∠QDN=∠Q'DN 在△QDN和△QDN中， DN=DN ∠QND=∠Q'ND=90° ∴△QDN≌△Q'DN(ASA), ∴QW=Q'N, 答案第1页，共2页 3 7 :点N的坐标是 n+1 -n2+2n+3-n2+ 2 n+1-4n2+7n+13 即点N的坐标是 2, 设直线BD的解析式是y=m2x+n2m2≠0)， 把点B(3,0),D(1,4)的坐标代入y=m2x+n2(m2≠0)， 3m2+n2=0 可得： m2+n2=4’ 解得： m2=-2 n2=6 :直线BD的解析式是y=-2x+6, n+1-4n2+7n+13 把点N的坐标 2， 4 代入y=-2x+6, 可得： -4m2+7n+13=-2×m+1+6, 2 整理得：4n2-11n+7=0, 解得：n九=1（与点D重合，舍去 > 7 当n=4时，”+=4 111, 228 11 则y=-2x+6=-2× *63 8 , 1113 :点N的坐标是 8’4 如下图所示，作QN'⊥DQ,作QN'⊥DM, 答案第1页，共2页 则△DONDNO', 当n时，m+2n350 16 :点Q的坐标是416) 755 :.DO= '∠Dg'N'=∠DQN 在△DON'和△DQ'N'中， ∠QDN'=∠QDN', DN'=DN' ∴aDQN'≌aDg'N', D0=Dg=15 16 QW'⊥DM, ∴.QN'IlAB, OD_ow DM BM 15 16=QW', 4 2 解得：Qw'=15 :点N'的横坐标是1+ 1547 3232 x7代入y=-2x+6 可得：y=-2x+6=-2× 4 3 +649 16 :点N的坐标是 4749 32’16 1113 4749 综上所述，点N的坐标 或 8’4 32'16 答案第1页，共2页 【点晴】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综 合、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质. 12.(①)y=-x2+x+8,顶点坐标为(2,9)； 4 3)217 5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数面积综合，轴对称的性质，勾股定理， 熟练掌握以上知识点是解题的关键。 (1)不妨设A0=k,那么B0=C0=2k,那么A-k,0),B(2k,0),C(0,2k),不妨设抛物线 为=-寻x+(x-2，代入C0,2,即可求得k,从而得到抛物线的解析式，然后再 求得其顶点即可； (2)先求得Sc,然后设DP交于点H,不纺设P00+a+8 设直线PD为 y=+叫m≠0，代入P0,42+a+8,D0,4,求得直线PD的表达式.然后求得直 线PD与x轴的交点H,然后利用 So=Sm+Sam=8明.0D+号H=BH%-w列出方程求得答案： (3)先利用待定系数法求得直线BC为y=-x+8,不妨设M(m,-m+8),过点M作 MF⊥AB于F,过点N作NG⊥AB于点E,先证明△ANG∽△AMF,通过对应边成比例， 表示出N点坐标，然后找的N点的轨迹方程为y=-x+4,当2AM+3EN的值最小时，即 3号AM+EN=3AN+EN)取得最小值，那么作点A关于y=-x+4的对称点m,连接Em 交y=-x+4于点R,当N点与R点重合时，AN+EN取得最小值，且最小值为EW,此时 EN=ER,然后求得直线EW的表达式，联立直线EW与y=-x+4求得点R坐标，最后利 用勾股定理求得EN长度， 【详解】(1)解：不妨设A0=k,那么B0=C0=2k, A-k,0,B2k,0,C(0,2k, 不纺设抛物线为y=-x+-2,代入C10,261. 2k=40+0-2刘， 答案第1页，共2页 “k=4或k=0(舍去)， y=- 4x+4(x-8), y=+4x-到=+48= 1 x-2)2+9, :顶点坐标为2,9)： (2)解：设DP交x轴于点H,如图所示： H 由(1)可知，A-4,0,B(8,0,C(0,8), 1 1 5.c=201-0C=2×4x8=16. 2 S.PD=2S.40C S.PBD=32 :点D为0C中点， .D0,4), 不妨设P0++8 4 设直线PD为y=+mlm≠0，代入Pa,-子a2+a+8 （1 a-+a+8=ma+n D(0,4),得到4 4=n 1 4 ∴.m= a+1+ a 1 :直线PD为y= 0*1 x+4, a 当y=0时，x= 16a a2-4a-16 16a ∴BH=8- a2-4a-16' 答案第1页，共2页 ∴So-Sm+SmBh-0D+BHBH(o-】 864- 64-4a-2. a=3+V57或a=3-√57， 当3阿+a*8=号原时a为3} 4 22 当=3-时，4a+8=片此时点P为8-- 22 综上点P为3}- (3)解：设直线BC为y=r+b(k≠0)代入C(0,8),B(8,0),那么有 8=b k=-1 0=8M+b'解得 b=8· :直线BC为y=-x+8, :C点关于O点的对称点为E, E(0,-8), CE=8+8=16, 不妨设M(m,-m+8),过点M作MF⊥AB于F,过点N作NG⊥AB于点E,如图所示： yA M ∴.NG MF, aANG∽△AMF, .AN-NG AG AM MF AF' AN =2NM 答案第1页，共2页 AN=NG AG 2 AMMFAF3 8,2 y,4G=24F=2AO+0F)=34+m)3 +m, 3 3 3 3 0G=AG-A0=8+2 24 m-4= 33 3 3 x3m-42m16 35m+3》 (3m 2,1624 3 =-气5m-3+4, 3 :N点永远在y=-x+4上运动， 设y=-x+4交x轴于点D,交y轴于点P,连接CW、DW,如图， 当x=0时，y=4；当y=0时，x=4: 即D(4,0),P(0,4), “△OPD为等腰直角三角形， :∠PD0=45°， A(-4,0),D(4,0), DA=8, W 当2AM+3EN的值最小时，即3(AM+EW=3AN+EN)取得最小值， 那么作点A关于y=-x+4的对称点W,连接EW交y=-x+4于点R,如图， 根据对称可知，AR=WR,AR+ER=WR+ER=WE,LPDO=∠WDP=45°， DA=DW=8, ∠WDA=90°， .DW∥C0,DW=C0=8, ：四边形CODW是平行四边形， 0D=CW=4, 答案第1页，共2页 W(4,8), :AN+EN≥AR+ER, :当N点与R点重合时，AN+EN取得最小值，且最小值为EW,此时EN=ER, 设直线EW为y=x+q(0≠0)，代入W(4,8),E(0,-8), 8=4j+9 j=4 那么有 9=-8 ，解得 9=-8 :直线EW为y=4x-8, y=4x-8 联立直线y=4x-8与y=-x+4,有 y=-x+41 12 x= 解得 8 R128) (55 过点R作RT⊥y轴，如图所示： W y=-x+4 R Th ∴RT= 07=8 12 5 B E :ET=OT+0B=8+8=48 5 故Ew=127 5 答案第1页，共2页