河南周口市项城市鑫校2025-2026学年下学期九年级数学期中考试试卷

**基本信息** 2026年春九年级数学期中卷以文化传承（《九章算术》窗棂图案）、科技前沿（5G信号塔测量）及生活应用（超市优惠、文具进价）为情境，通过几何直观、数据意识、模型意识等核心素养考查，实现知识与能力融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|数与式、三视图、对称图形|第3题结合传统窗棂考轴对称与中心对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|反比例关系、新运算、规律探究|第11题关联物理压强公式，强化跨学科应用意识| |解答题|8/75|统计与概率、圆的证明、函数综合|17题统计分析培养数据意识，22题几何旋转探究发展推理能力，23题二次函数综合考查模型思想|

2026年春九年级数学期中考试试卷 时间：110分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1.下列各数中，最小的数是( ) A. B. 0 C. 5 D. 2.下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A.正方体 B.圆柱 C.圆锥 D.三棱柱 3.我国古代《九章算术》是东方数学瑰宝，书中记载“方田术”计算田地面积，下列中式窗棂图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等腰窗花 B.十字回纹窗 C.单扇如意窗 D.扇形花窗 4.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 5.一元二次方程 的根的情况是( ) A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个不相等实数根 D.无法判断 6.某便民超市推出桶装食用油优惠活动，购买不超过5桶按原价销售，超过5桶，超出部分打折优惠。设购买油量x桶，付款金额y元，y与x的函数图象大致为( ) A.先缓后陡折线 B.先陡后缓折线 C.直线递增 D.反比例曲线 7.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( ) A.2<x≤ 2 B.2<x≤ 3 C. x>2 D. 8.现有4张完全相同的卡片，分别标有数字2、3、5、7，随机抽取两张，数字之和为偶数的概率是( ) A. B. C. D. 9.如图，在矩形ABCD中，按作图步骤作AC的垂直平分线，交 AD于点F，交BC于点E,若AB=3,BC=4, 则AE的长为( ) A. B. C.3 D. 10.二次函数 的部分对应值如表：下列说法错误的是( ) x 0 1 y 5 1 A.抛物线开口向上B.对称轴为直线 x=32 C.当 x>32时，y随x增大而增大 D.最小值为 −1 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分,共15分) 11.物理中压强公式 (F为压力，S为受力面积)，若压力F恒定，则压强P与受力面积S成 比例关系。 12.化简: 13.定义新运算： 例如 则 14.按规律排列的一组数： 按此规律第n个数为 。 15.在菱形ABCD中, AB=4, 点P是菱形边上一动点，连接AP, 当 为直角三角形时，BP的长为 。 三、解答题(本大题共8小题，共75分) 16. (8分)先化简,再求值: 其中 17. (9分) 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题。 (1)在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ； (4)已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少。 18. (9分) 如图, AB是⊙O的直径,点C在⊙O上, AD与⊙O相切于点A，与BC的延长线交于点D,连接AC,过点C作于点E。 (1)求证: (2)若AB=10,AC=6,求DE的长。 19. (9分) 科技改变生活，5G时代将对我们的生活产生意想不到的改变。某数学兴趣小组要测量如图2所示的5G信号塔AB的高度该小组在点D处测得信号塔顶端A的仰角为 在同一平面沿水平地面向前走20m到达点C处(点B，C，D在同一直线上)，此时测得顶端A的仰角为( 则信号塔AB的高度为 m。 20. (9分) 某文具店购进A、B两种纪念本册，已知每本A种进价高于B种，用1200元购进A种数量与用900元购进B种数量相同，A种每本进价比B种多2元。 (1)求A、B两种纪念册每本进价； (2)若计划购进两种纪念册共200本，且总成本不超过2200元，求最多购进A种纪念册多少本。 21. (10分) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象交于A(a,4), B(3,2)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据反比例函数 与一次函数y=mx+n(m≠0)的图象，请直接写出关于x的不等式 的解集； (3)求 的面积. 22.(11分)综合与探究 已知在 中， 如图1，点 D是线段 AB 上一点，将线段CD 绕点 C 逆时针旋转 到CE ,连接EB,ED . (1)若 AD=2,BD=1, 求CD的长度；猜想证明 (2)如图2,连接 AE ,取 AE 的中点为点M ,连接CM,BM ,试判断CM 与 BD之间的数量关系，写出结论并证明； 深入探究 (3)当点 D 在直线 AB 上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若AB=6,BD=8，请直接写出 的面积. 23. (10分)如图,抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C(0，3)，D是其对称轴与x轴的交点. (1)求抛物线的表达式. (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求点M的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形?如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级数学期中考试试卷参考答案 一、选择题(横向排列) 1.A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.D 9.A 10.D 二、填空题(横向排列) 11.反; 或 或4 三、解答题(含完整解题过程) 16.原式 把 代入： 原式 17.(1) 108° (2)如图所示 (3) 510 男： 男₂ 女 男： (男₁,男: (男₁,女) 男₂ (男₂,男₁) (男₂,女) 女 (女,男₁) (女,男: 如图所示 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有2种，故抽到两名男生的概率为 18.解：(1) 证明: ∵AD与⊙O相切于点A, ∴AD⊥AB, 即∠DAB=90°。 ∴∠EAC+∠CAB=90°。 ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB =90°。 ∴∠CAB+∠B=90°。 ∴∠EAC =∠B。 (2) 由 (1) , 得∠EAC =∠B。 ∵∠ACB=∠ACD=90°, ∴△DCA∽△ACB。 ∵AB =10, AC=6, ∴由勾股定理，得 ∵在 中， ∴在 中， 19.设BC=x,由题意 在 中： 答：铁塔高 米。 20.(1)设B种进价x元, A种((x+2)元 1200x=900x+1800, 解得x=6x+2=8 答：A种进价8元，B种进价6元。 (2)设购进A种m本 (2)设购进A种m本 因总共200本，故最多购进A种200本。 21.答案 (2)x<0或 (1)解:将B点的坐标(3,2)代入 中，得k=6,所以，反比例函数的表达式为 将A点的坐标(a，4)代入 中，得 所以，A点的坐标为( 将B点的坐标(3，2)和A点的坐标( 分别代入y=mx+n中，得 解得 所以，一次函数的表达式为 (2)由图象可知，不等式 的解集是一次函数图象总在反比例函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即：x<0或 (3)如图，一次函数 的图象与y轴交于点C， ∴点C的坐标为(0,6), ∵ 的面积为 22.(1)猜想:DE=DF (1)求CD的长度 中， 由勾股定理得： 过点C作 于F, 在 中，由勾股定理： 猜想与证明: BE = AD, BE⊥AB ∵线段CD绕点C 逆时针旋转90°到CE, ∴CD=CE, ∠DCE=90°。 ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB=90° ∴∠ACD=∠BCE。 在△ACD 和△BCE中: ∴△ACD≌△BCE (SAS), ∴BE=AD=2, ∠CBE=∠A=45°。 ∵∠ABC =45°, ∴∠ABE =∠ABC+∠CBE =90°, 即BE⊥AB。 (2)判断CM 与 BD 的数量关系 结论： 证明：由(1)知△ACD≌△BCE, ∴BE=AD, ∠CBE=∠A=45°, ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°。 ∵∠DCE = 90°, ∠ACB =90°, ∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=90°+∠BCE ∠BCD=∠DCE+∠BCE=90°+∠BCE,∴∠ACE=∠BCD。 在△ACE和△BCD 中: ∴△ACE≌△BCD (SAS), ∴AE=BD。 M 为 AE 的中点, (直角三角形斜边中线等于斜边的一半)。 又延长CM 到 F,使.MF=CM,连接AF、EF。 ∵M 是 AE 中点, ∴四边形 AFEC 是平行四边形， 在△FAC和△DCB中: ∴△FAC≌△DCB (SAS), ∴CF=BD, ∠ACF=∠CBD。 ∵∠ACB=90°, ∴∠ACF+∠FCB=90°, ∴∠CBD+∠FCB=90°,即CF⊥BD。 ∵CF=2CM,且△CMB为等腰直角三角形， (3)求△ADE 的面积 已知AB=6, ∵△ABC 是等腰直角三角形， 由旋转性质: CD=CE, ∠DCE=90°,易证△ACD≌△BCE, ∴BE=AD,∠ABE=90°。 分两种情况： 1.当 D 在线段 AB 上时: AD=AB-BD=6-8=-2 (舍去,长度取正) ,即 AD=2,BE=AD=2, ∵∠ABE=90°, 2.当 D 在线段AB 的延长线上时：AD=AB+BD=6+8=14,BE=AD=14, ∵∠ABE=90°, 最终答案 且 ; 的面积为2 或98。 23.答案(1)抛物线的表达式为 (2)点M的坐标为(1,2) (3)存在，点P的坐标为 或 解(1)求抛物线的表达式 代入点坐标解方程组： 已知抛物线 过点 A(-1,0)和C(0，3)，将两点坐标代入解析式得： 解得 因此抛物线的表达式为： (2)求使得 MA+MC最小的点M坐标求对称轴与点B坐标：将抛物线解析式配方得 因此抛物线对称轴为直线 x=1, D点坐标为(1，0)。根据抛物线对称性，点A与点B关于 x=1对称，可得B(3,0)。 利用对称性转化最短路径：由对称性得 MA=MB,因此 MA+MC=MB+MC, 根据两点之间线段最短，当B、M、C三点共线时，MB+MC最小，即 MA+MC最小。求直线BC方程，计算M坐标： 设直线BC的解析式为 y=kx+3, 代入B(3,0)得: 因此直线BC解析式为y=-x+3,令x=1,得y=2,所以M点坐标为：M(1,2) (3)探究对称轴上是否存在点P使 为等腰三角形 设点P坐标为(1,t),已知 D(1,0),C(0，3)，由两点间距离公式得： 分三种情况讨论： 1.当PC=PD时： 展开化简得(6t=10,解得 即 2.当PC=CD时： 解得 时P与D重合，不能构成三角形舍去，得P(1，6)。 3.当PD=CD时： 解得 或 即 或 综上，存在符合条件的点P，坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $