专题5.1 分式及其基本性质 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

分式及其基本性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式的概念 考点梳理 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 典例引领 考向01 分式的判断 【例1】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 考向02 分式的规律性问题 【例2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 考向03 按要求构造分式 【例3】甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出公交车的实际行驶时间，再利用速度=路程÷时间列代数式即可 【详解】∵甲、乙两地相距，原计划用时，公交车提前到达， ∴公交车实际用时为， ∵速度=路程÷时间， ∴公交车的速度为， 对点提升 【对点1】下列代数式，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义进行判断即可，需注意是常数，不是字母. 【详解】解：根据分式的定义，可知，，，，中，只有是分式，其余的三个均为整式. 【对点2】在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 【对点3】《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 【答案】 【分析】将斗换算为升，计算出个民夫和个士兵携带的总粮食为升，再结合总人数得出每天消耗升，最后用总粮食除以日消耗量，约分后可得到行军天数． 【详解】解：据题可知， 每个士兵与个民夫共可携带粮食升， 每天消耗的粮食为升， 则背负的粮食最多可以支持天． 考点02 分式有、无意义的条件 考点梳理 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 3. 分式的值为正数的条件是分子、分母同号． 4. 分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 典例引领 考向01 分式无意义的条件 【例1】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 考向02 分式有意义的条件 【例2】若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 对点提升 【对点1】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 【对点2】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式函数自变量的取值范围，用到的知识点为分式的分母不为0，只需令分母不等于0求解即可． 【详解】解：∵该函数是分式，分式的分母不能为0， ∴， 解得， 即自变量的取值范围是． 考点03 分式的值为0的条件 考点梳理 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 典例引领 考向01 分式的值为0的条件 【例1】下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， 选项，，的分子分别为，，，均恒不为， 这三个选项的分式的值不可能为， 对选项：令分子，解得， 当时，分母， 当时，该分式的值为，满足条件， 故选：． 对点提升 【对点1】当___________时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】根据分式值为0时分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意，要使分式的值为0，需满足， 由，解得， 当时，， ． 考点04 分式的基本性质 考点梳理 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 典例引领 考向01 分式的求值 【例1】已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】将所求代数式拆分变形，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 考向02 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 考向03 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 考向04 判断分式变形是否正确 【例4】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 考向05 求使分式变形成立的条件 【例5】已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 考向06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 考向7 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 考向8 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 对点提升 【对点1】若，则的值______． 【答案】 【分析】由条件可知，将代入所求分式计算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【对点2】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【对点3】已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 【对点4】下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 【对点5】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【对点6】如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 【对点7】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【对点8】分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键；根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个非零数，分式的值不变，据此进行求解即可． 【详解】解：分子乘以2得，分母乘以2得，因此得到的新分式为； 故答案为． 考点05 约分、最简分式 考点梳理 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 典例引领 考向01 约分 【例1】．括号内填___________． 【答案】 【详解】解：因为， 故答案为：． 考向02 最简分式 【例2】下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对点提升 【对点1】若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【对点2】下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式． 【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式， 选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式， 选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式． 选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】用二次根式被开方数非负、分式分母不为0的性质列不等式求解． 【详解】要使函数有意义，需同时满足两个条件： 二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不能为0， ∴， 解得：且. 2．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 3．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵等式成立， ∴， 解得． 4．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，且分式分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， ∴． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为分式化简求值题，先化简分子，再用平方差公式分解分母，约分后整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ∵ ∴原式 6．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 7．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据递推公式得到数列6个数为一个周期循环的规律，再逐一判断每个结论即可，找到周期规律是解题关键. 【详解】解：∵，，， ∴，，，，，， ∴ 该数列每6个数为一个周期循环. ∵ ， ∴ ，故①正确； ∵，，， ∴，即 ∴，故②正确； ∵ 一个周期内， ∴，解得， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，， 则 ∵ 原式为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∴ 又∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， 舍去，共5个满足条件的整数，故④错误； 综上，正确的结论共2个. 9．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 10．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题需逐个判断四个结论的正误，通过整式化简，结合一元一次方程无解的条件，分式整数解，完全平方公式，绝对值的性质逐一验证，最终统计正确个数得到结果． 【详解】已知，，逐个判断： ①计算 方程整理得 ∵一元一次方程无解时，一次项系数为，即，得 ∴①正确． ②计算 ∵为非零整数，约去得 ∵分式值为整数， ∴是的整数约数，即 解得，均满足分母不为 ∴的和为，②正确． ③计算 ∵， ∴ ∵，两边除以得 ∴ ∴③错误． ④令，原方程变为 当时，，等式成立 代入得 解得，∴④正确． 综上，正确的结论共个，故选C． 2、 填空题 11．要使式子有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：式子有意义 解不等式，移项得，系数化为得． 解不等式，得． 综上，的取值范围是且． 12．函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式和分式有意义的条件，可得：， 解，得， 解，得，即， 综上可得，自变量的取值范围是且． 13．已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 14．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 【答案】20 【分析】设，整理得，由a，b为正整数，得且，即，故．代入到中进行计算，进而即可求解． 【详解】解：由题意得，设（为正整数）， ∴ ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴最小值为1，最大值为19， ∴两者之和为． 15．已知的计算结果是整数，则整数n的值有______个． 【答案】 10 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数乘方运算法则进行计算即可．通过分解3200的质因数，将原式化为指数形式，分析指数满足整数的条件，确定n的取值范围并计数． 【详解】解：∵， ∴． 当时， ； 当时， ． ∴． ∵该式为整数，n为整数， ∴整数n共10个值． 故答案为：10． 3、 解答题 16．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 17．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 【答案】(1) (2)0，1 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不能为0求解； （2）令求出的值，令求出的值； （3）将表格中的点在平面直角坐标系中描出来，用平滑的曲线连接即可； （4）的解为函数与交点的横坐标． 【详解】（1）解：， ． （2）解：令，则， ， ， ， ； 令，则， ． （3）解：如图所示． （4）解：函数的图象如图所示， 由图可得：交点坐标为，， ∴方程的解为或． 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 19．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 【答案】(1)①③ (2)2或6 (3)1或2 【分析】（1）根据“幂系数”方程的定义解答即可； （2）根据“幂系数”方程的定义，可得，求出m，n的值，即可； （3）根据“幂系数”方程的定义，可得，可得到，再由m，n，k为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； ②， 其中，，，不满足， 所以方程不是“幂系数”方程； ③，其中，，，满足， 所以方程是“幂系数”方程； （2）解：∵关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组， ∴，解得：或， ∴原方程组为或， 由得：， 由得：， ∴， 综上所述，的值为2或6； （3）解：∵关于x，y的方程组是“幂系数”方程组， ∴， 解得：， ∵m，n，k为正整数， ∴是12的正因数， ∴取3或4或6或12， 当时，，不符合题意； 时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的k的值为1或2． 20．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2) (3)200， (4)该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入n克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）先求出取出果汁A和果汁B的质量都为100，然后根据糖的浓度列式并化简即可； （4）设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克，再根据混合果汁的糖的浓度不高于列不等式求得x的取值范围，再列出一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ②∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． （2）解：由题意得，加入n克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∵， ∵， ∴， ∴，即． （3）解：由题意可知：取果汁A和果汁B中的糖的质量为8和24，假设取果汁A和果汁B的质量都为100 ∴混合果汁的糖的浓度可以表示为． （4）解：设生产果汁A的质量为x千克，则生产果汁B的质量为千克， 由题意可得：，解得：， 饮料公司获得利润， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大利润为元． 答：该饮料公司生产果汁A的质量为175千克，则生产果汁B的质量为千克，利润最大，最大利润为2590千克． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式及其基本性质 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 分式的概念 考点梳理 1. 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子，B叫做分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母． 2. 一个式子是分式需要满足的三个条件 （1）是形如的式子； （2）A，B为整式； （3）分母B中含有字母． 典例引领 考向01 分式的判断 【例1】下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 考向02 分式的规律性问题 【例2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 考向03 按要求构造分式 【例3】甲、乙两地相距．小智原计划骑自行车从甲地到乙地，需用时；后因赶时间，改乘公交车前往，结果提前到达乙地．公交车的速度（单位：）是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】下列代数式，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【对点2】在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【对点3】《梦溪笔谈》中有一段关于行军运粮的记载，其大意为：在行军中，每个民夫最多可以携带斗（斗=升）粮食，一个士兵最多可以携带斗粮食，每个士兵和民夫平均每天各消耗升粮食．若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的粮食最多可以支持_______天的行军． 考点02 分式有、无意义的条件 考点梳理 1. 分式有意义的条件：分式的分母不等于0． 2. 分式无意义的条件：分式的分母等于0． 3. 分式的值为正数的条件是分子、分母同号． 4. 分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 典例引领 考向01 分式无意义的条件 【例1】当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 考向02 分式有意义的条件 【例2】若分式有意义，则x应满足的条件是______． 对点提升 【对点1】根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【对点2】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点03 分式的值为0的条件 考点梳理 1. 当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 2. 分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式的值为0的条件是且，两者缺一不可． 典例引领 考向01 分式的值为0的条件 【例1】下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】当___________时，分式的值为0． 考点04 分式的基本性质 考点梳理 1. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 2. 用式子表示为，，其中A，B，C是整式． 典例引领 考向01 分式的求值 【例1】已知，则代数式的值为________． 考向02 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【例2】若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 考向03 求使分式值为整数时未知数的整数值 【例3】当正整数________时，分式的值也为整数． 考向04 判断分式变形是否正确 【例4】在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 考向05 求使分式变形成立的条件 【例5】已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 考向06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例6】如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 考向7 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【例7】不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 考向8 将分式的分子分母各项系数化为整数 【例8】将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】若，则的值______． 【对点2】分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【对点3】已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【对点4】下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【对点5】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【对点6】如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【对点7】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点8】分式的分子和分母同时乘以2，得到__________． 考点05 约分、最简分式 考点梳理 1. 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 2. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式． 典例引领 考向01 约分 【例1】．括号内填___________． 考向02 最简分式 【例2】下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 对点提升 【对点1】若，则的值为__________． 【对点2】下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 3．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 4．能使等式成立的的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 7．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 8．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，如：，，以下结论中，正确的个数为（    ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知两个多项式，将、进行加减乘除运算． ①已知，若关于的方程无解，则． ②若为非零整数，且为整数，则满足条件的的值的和为． ③若，则． ④若，则x的取值范围为． 以上说法中正确的个数有（    ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、 填空题 11．要使式子有意义，则x的取值范围是______． 12．函数的自变量的取值范围是____________． 13．已知，则的值为_______． 14．已知a，b为正整数，且整除，则的最大值与最小值之和为________． 15．已知的计算结果是整数，则整数n的值有______个． 3、 解答题 16．将下列分式化简 (1) (2) 17．小亮根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，下面是他的探究过程． … 2 3 4 5 … … 3 4 5 0 … (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)如表是y与x的几组对应值：其中m的值为_______；n的值为_______； (3)在下面的平面直角坐标系中，画出该函数图象： (4)根据函数图象，直接写出方程的解为_______． 18．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 19．关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 20．数学来源于生活，生活中处处有数学．用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论． 【实验发现】 糖水实验一： (1)①现有克糖水，其中含有克糖，则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为．加入克水，则糖水的浓度为________； ②生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，即糖水浓度变低，由此可以写出一个不等式________，我们趣称为“糖水不等式”； 糖水实验二： (2)将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖并完全溶解”，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”________； 【应用拓展】 某饮料公司生产混合果汁，使用两种基础果汁原料： 果汁：糖的浓度为（糖的浓度）； 果汁：糖的浓度为； (3)若取相同质量的果汁和果汁进行混合，混合果汁的糖的浓度可以表示为________； (4)饮料公司需要生产一批的混合果汁，生产果汁A和果汁B的利润分别为7元和13元，要求混合果汁的糖的浓度不高于，如何生产能获得最大利润？最大利润是多少？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $