专题5.1 分式及其基本性质（5大考点+12大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

5.1 分式及其基本性质 教学目标 1. 理解分式的概念，能区分分式与整式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件，能据此求解字母取值范围。 2. 类比分数基本性质，推导并掌握分式基本性质，能熟练运用性质进行约分、符号化简等变形，理解最简分式概念。 3. 经历分式概念与性质的探究过程，体会类比迁移、从具体到抽象的数学思想，提升逻辑推理与代数运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）分式的概念及分式有意义、无意义、值为0的条件，核心是分母不为0的限制，能准确判断分式相关条件并解决基础问题。 （2）分式的基本性质，掌握“分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变”，并能灵活用于约分、化简等恒等变形。 2.难点 （1）分式值为0的条件，需同时满足分子为0且分母不为0，学生易忽略分母不为0的限制，导致解题出错。 （2）运用分式基本性质时，准确把握“同乘（或除以）不为0的整式”的限制条件，变形中易遗漏限制或误乘除含字母的整式。 知识点01 分式的意义 1.分式的意义 【即学即练1】1．要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 2．使得式子有意义的的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】要使含二次根式的分式有意义，需同时满足两个条件：二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列出不等式组求解即可得到的取值范围. 【详解】解：∵要使有意义， ∴需满足， 解不等式，移项得，系数化为得， 解不等式，得， ∴的取值范围是，且． 3．若分式无意义，则x满足的条件是______． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件，分母为零，进行求解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 知识点02 分式的值为正或为负 （1）分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 （2）分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 【即学即练2】4．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 5．若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 【详解】解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 6．若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 知识点03 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 【即学即练3】7．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 8．要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 9．根据分式的基本性质填空：，．______，______， 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．对于第一个分式，分母从变为，需除以，分子相应变化；对于第二个分式，分母从变为，需乘以，分子相应变化． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 知识点04 约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 【即学即练4】10．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，先对分子分母因式分解，再约去所有公因式即可得到结果． 【详解】解；． 11．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 12．化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 知识点05 最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【即学即练5】13．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 14．化简___________． 【答案】 【分析】先对分子运用平方差公式因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到结果． 【详解】解：． 15．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 题型01 分式的判断 【典例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式． 【详解】解：A选项的分母是常数2，不含字母，属于整式； B选项的分母是含字母x的整式，符合分式定义； C选项的分母是常数3，π是常数，属于整式； D选项是多项式，属于整式； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·广西来宾·期末）下列各式是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴A是整式，不是分式，故此选项不符合题意； B、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴B是整式，不是分式，故此选项不符合题意； C、∵选项中的分子、分母都是整式，分母含有字母，∴C是分式，故此选项符合题意； D、∵选项中的分母是常数，不含字母，∴D是整式，不是分式，故此选项不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）在式子：①，②，③，④中，属于分式的是______．（填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】此题考查了分式的定义，根据分式的定义，两个整式相除，且分母中含有字母的式子称为分式，据此判断各式子． 【详解】解：①，④是分式，②，③不是分式． 故答案为：①④． 【变式3】（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 题型02 分式有无意义的条件 【典例2】（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式无意义，则x的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为0是解题的关键． 要使分式无意义，需满足分母为0．据此求解即可． 【详解】解：由题意，得 解得：， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 【变式2】（24-25八年级下·四川绵阳·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，可得被开方数大于0，列出不等式即可求解． 【详解】解：要使代数式有意义，必须满足，解得， ∴实数的取值范围是． 【变式3】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期末）当时，分式无意义，则m的值为______． 【答案】2 【分析】分式无意义即分母为0，由此解答即可． 【详解】解：若分式无意义，则，即， 又∵当时，分式无意义， ∴． 题型03 分式值为零的条件 【典例3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）若分式的值为零，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用分式值为零的条件得到且，然后解方程和不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得：． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）下列说法正确的是（） A．代数式是分式 B．分式是最简分式 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式中都扩大3倍，分式的值不变 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式相关概念及性质的应用条件是解题的关键．根据分式的定义、最简分式的定义、分式值为0的条件、分式的基本性质，对每个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母的整式，π是常数， ∴的分母不含字母，是整式不是分式，故A错误． ∵的分子与分母没有公因式， ∴该分式是最简分式，故B正确． ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，由得，又时，分母，分式无意义， ∴，故C错误． 将都扩大3倍后，新分式为，是原分式的3倍，分式的值改变，故D错误． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）若分式的值为零，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：， 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若分式的值为0，则整数x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式值为0的条件，解题关键是明确分式值为0需满足分子为0且分母不为0． 先求解分子为0时的x值，再排除使分母为0的x值，从而确定整数x的值． 【详解】解：根据分式的值为0得，， 解得或， 又∵， 即， ∴， 故答案为：． 题型04 求分式的值 【典例4】（25-26九年级上·河北保定·期末）若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题可通过分式拆分或设参数代入的方法求解，利用分式的基本性质结合已知条件计算目标分式的值． 【详解】方法一：∵， ∴， ∴； 方法二：∵， ∴设，（）， 则． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知，则的值为（） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式化简求值，先提取公因式，再对分式进行通分，结合已知条件化简计算，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴原式 ∵， ∴ 代入得： 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，可设参数用同一字母表示a和b，代入所求分式化简即可得到结果. 【详解】∵ . ∴ 设，， ∴. 【变式3】（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知，求和的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据得到，进而可得，再由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 分式的规律性问题 【典例5】（25-26八年级上·云南昭通·期末）观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·北京延庆·期末）一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第个分式的分子为，分母为，即可获得答案． 【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得， 第个分式是． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西·期末）已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 题型06 求使分式为正（负）时未知数的取值范围 【典例6】（24-25八年级下·四川成都·期末）若分式的值为正数，则的值可以是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求分式值为正（负）数时未知数的取值范围，熟练掌握分式的性质是解题关键．由分式的值为正数可知，分子与分母同号，故分母需满足，解得，再结合选项作答即可． 【详解】解：分式的值为正数， ， ， 只有A选项满足条件， B、C、D选项不满足， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式2】（25-26八年级上·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 【变式3】（24-25九年级下·江苏南通·月考）若分式的值为负，则的范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，且，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 题型07 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例7】（2026·河北邢台·一模）已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）分式的值是正整数，则正整数的值是___________． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 【变式3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 题型08 判定分式的变形是否正确 【典例8】（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·重庆合川·期末）填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·月考）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 题型09 求使分式变形成立的条件 【典例9】（25-26八年级上·河北邢台·期末）已知为大于的实数，要使等式成立，则内应填入(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据题意两边同乘，得，即可求解． 【详解】解：∵，且保证， ∴两边同乘，得， ∴. 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·四川南充·期末）无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东德州·月考）若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 【变式3】（2025八年级下·全国·专题练习）．第一个括号内填写：__________，第二个括号内填写：__________ 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的性质，由分式的性质求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：，． 题型10 约分 【典例10】（2026年浙江省中招仿真模拟卷（一）数学试题卷）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方法则计算分子，再通过约分得到最终结果. 【详解】解：原式. 【变式1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·北京昌平·期末）约分：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，关键是找出公因式然后运用分式的基本性质进行化简． 根据分式的基本性质约分即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西延安·期末）约分：． 【答案】 【分析】本题主要考查了约分的定义及约分的方法，根据分式的基本性质，分子分母同时除以即可，熟练掌握约分的定义及约分的方法是解决此题的关键． 【详解】解：． 题型11 最简分式 【典例11】（24-25八年级上·福建福州·期末）下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子和分母不含除1以外的公因式的分式叫做最简分式，判断各选项能否约分即可得到结果． 【详解】解：A、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C、分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，是最简分式； D、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）下列说法正确的是（    ） A．分式是最简分式 B．由分式的基本性质得 C．若分式有意义，则 D．由分式的基本性质得 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的判断，分式有意义的条件及分式的基本性质，解题的关键是根据最简分式的定义、分式有意义的条件及分式的基本性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵该分式的分子为，分母为，分子分母无公因式， ∴是最简分式，原说法正确，故此选项符合题意； B．当时，得：，与分式的基本性质不符，变形不成立， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； C．若分式有意义，则，得， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意； D．， ∴原说法不正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）写出一个分母为a的最简分式，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了最简分式定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义．根据题意写出一个分母为a的最简分式即可． 【详解】解：分母为a的最简分式，可以是． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海闵行·期末）在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 题型12 利用分式的基本性质判定分式值的变化 【典例12】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列各式与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、选项分子分母同时加，不符合分式基本性质，值改变，不符合题意； 、选项分子分母未同乘（或除以）同一个整式，值改变，不符合题意； 、∵， ∴， ∵该分式有意义时，即，此时， ∴约分后得，与原式相等，符合题意； 、选项无法因式分解为含的整式，无法约分得到原式，不符合题意； 故选：． 【变式1】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）不改变分式的值，将的分子与分母的各项系数都化为整数得_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变．通过找到分子和分母中系数分母的最小公倍数，乘以分子和分母，使所有系数化为整数即可解答． 【详解】分子和分母中系数的分母分别为和，最小公倍数为，用同时乘分子和分母： 分子： 分母： 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）将分式中的和都扩大10倍，那么分式的值变为原来的___________． 【答案】10倍 【分析】本题考查判断分式的值的变化情况，根据分式的基本性质，求出变化后的分式的值，进行判断即可． 【详解】解：将x和y都扩大10倍后，新分式为， 故新分式的值是原分式的10倍． 故答案为：10倍． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 2．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）若把分式中和的值都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小为原来 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】先根据已知条件进行相应的变化，再将新分式整理成原式与某个数（代数式）的积，最后与原分式比较即可． 【详解】解：∵和的值都扩大3倍后，新分式为 ∴，新分式与原分式相等， ∴分式的值不变． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，据此列出关于x的不等式求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D 4．（25-26八年级上·甘肃甘南·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各选项分子分母因式分解，判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A、=，分子为，分子分母有公因式，所以A不是最简分式，不符合题意； B、=，分子为，分子分母有公因式，所以B不是最简分式，不符合题意； C、无法分解因式，与分母没有公因式，所以C是最简分式，符合题意； D、分子和分母有公因式，可约分为，所以D不是最简分式，不符合题意． 5．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质与分式的变形，可通过比例交叉相乘、分式拆分等方法验证各选项． 【详解】选项A：∵ ， ∴ ，故A错误； 选项B：对交叉相乘得， 展开化简得，与一致， 且，则，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：∵， ， ，故D错误． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期末）若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分式的分母不等于零，据此列出关于x的不等式，求解得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 7．（25-26八年级上·全国·期末）约分：（1）_____；（2）_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分，找出分式的分子与分母的公因式是约分的关键． （1）根据分式的基本性质分子分母同时约去，即可得答案； （2）根据分式的基本性质分子分母同时约去，即可得答案． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：； ． 8．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，则___________． 【答案】5 【分析】已知，设 （），则 ，代入所求分式化简，约去参数即可得到结果． 【详解】解：， 设 （），则 ， 将，代入得： ． 9．（25-26八年级上·北京通州·期末）若为整数，且使分式的值是整数，则的值是______． 【答案】，，0，1 【分析】本题主要考查分式的值，掌握求解的方法是解题的关键；要使分式的值为整数，则分母必须为6的约数，即的值为，，，，再结合x为整数求解即可． 【详解】解：因为分式的值为整数，且x为整数，所以是6的约数， ∴或或或， 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 当时，解得，当时，解得； 当时，解得（不符合整数条件，舍去），当时，解得（不符合整数条件，舍去）； 因此，x的值为，，0，1； 故答案为，，0，1． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）观察下列各式：用含n的等式表示这个规律________．（n表示正整数，） 【答案】 【分析】此题考查数字的变化规律，分式的规律问题，利用数字之间的联系与运算的方法，得出规律，进一步利用规律，解决问题． 根据题干得到等号左边的分数的分子与第一个因数相同，分母比第一个因数大1，等号右边为等号左边的两个因数相减，即可得到结论． 【详解】解：∵ ∴用含n的等式表示这个规律为：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 12．（24-25八年级上·江西南昌·月考）已知分式，当满足下列条件时，确定m的取值． (1)当m为何值时，此分式无意义？ (2)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 【答案】(1)当时，该分式无意义； (2)当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 【分析】本题考查了分式无意义和分式的值． （1）根据分母等于零，分式无意义可得，求出m的值即可； （2）根据题意分别令或或，求解即可． 【详解】（1）解：该分式无意义， ， 解得， 即当时，该分式无意义； （2）解：该分式的值为整数，且也为整数， 或或或， 解得或或或或或或或， 即当m的值为或或或或或或或时，该分式的值为整数． 13．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 14．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 15．（25-26八年级上·吉林·期末）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小），的值随之__________（增大或减小）；当时，随着的增大，的值随之__________（增大或减小）； (2)请将假分式化为一个整式与一个真分式的和，再根据材料1的规律，分析当时，这个假分式的值的变化趋势； (3)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，求出这个数； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是__________． 【答案】(1)减小；增大；减小 (2)，当时，随着的增大，的值随之增大 (3)2 (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． （1）根据的值随x的变化趋势，可判断的值和的值随x的变化趋势，仿照题意可得，求出的值随x的变化趋势即可得到对应的答案； （2）仿照题意可求出，根据的值随x的变化趋势可得的值随x的变化趋势，进而可得的值随x的变化趋势； （3）可求出，当x无限增大时，则无限接近于0，则此时的值无限接近2； （4）可求出当时，随着的增大，的值随之增大，据此分别求出和时分式的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，的值随之增大； ， ∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之减小； （2）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大； （3）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小， 当x无限增大时，则无限接近于0， ∴此时的值无限接近2； （4）解：， 当时，， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，即的值随之减小， ∴当时，随着的增大，的值随之增大， 当时，，当时，， ∴当时，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.1分式及其基本性质 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1分式的意义 知道点2分式的值为正或为负 知识点3分式负基本性质 知识清单 知识点4约分 知识点5最简分式 题型1分式的判断 题型2分式有无意义的条件 分式及其基本性 题型了分式值为零的条件 质 题型4求分式的值 题型5分式的规律性问题 题型6求使分式为正（负）数时未知数的取值范围 题型精讲 题型7求使分式值为整数时未知数的整数值 题型8判断分式变形是否正确 题型9求使分式变形成立的条件 题型10约分 题型1最简分式 题型I2利用分式的基本性质判新分式值的变化 强化训练 教学目标、教学重雅点 1.理解分式的概念，能区分分式与整式，掌握分式有意义、无意义及值为0的条件， 能据此求解字母取值范围。 2.类比分数基本性质，推导并掌握分式基本性质，能熟练运用性质进行约分、符号化 教学目标 简等变形，理解最简分式概念。 3.经历分式概念与性质的探究过程，体会类比迁移、从具体到抽象的数学思想，提升 逻辑推理与代数运算能力。 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.重点 (1)分式的概念及分式有意义、无意义、值为0的条件，核心是分母不为0的限制， 能准确判断分式相关条件并解决基础问题。 (2)分式的基本性质，掌握“分子分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式值 不变”，并能灵活用于约分、化简等恒等变形。 教学重难点 2.难点 (1)分式值为0的条件，需同时满足分子为0且分母不为0，学生易忽略分母不为0 的限制，导致解题出错。 (2)运用分式基本性质时，准确把握“同乘（或除以）不为0的整式”的限制条件， 变形中易遗漏限制或误乘除含字母的整式。 知识清单 知识点01分式的意义 概念：两个整式A、B相除，则叫做分式： B 分式有意义台B≠0： 1.分式的意义 分式的意义：分式4无意义台B=0: 分式A的值为零 「A=0 B B≠0 【即学即练1】1.要使分式X-2有意义，则x的取值应满足（) 2x-3 A 3 B.x=2 D.x<2 2.使得式子2x+1有意义的x的取值范围是() x-1 1 A.>2,且x1 B.x2-。 2 x≤且x D.x2- 2,且x￥1 芳分式无意义，则x满足的条件 知识点02分式的值为正或为负 (1)分式为正的条件：分子与分母的积为正，即AB>0 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)分式为负的条件：分子与分母的积为负，即AB<0 【即学即练2】4，若分式-5的值是正数，则x的取值范围是() x2+5 A.x>5 B.x<5 C.x≥5 D.x≤5 5.若+>2，则a,b的值可能是() a b A.a<0,b<0B.a>1,b>1 C.a<0,b>1 D.a>1,b>0 6.若分式x二值为负数，则x的取值范围是 x-5 知识点03分式的基本性质 (1)分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. (2)分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变， 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1.分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中 的系数化为整数。 2.解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不 变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号。 3.处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的. 【即学即练3】7.下列式子从左到右变形，正确的是() A.a-2a B. a+2_2a+2 C.aa2 D. 4a21 b-2b b-12b-2 bb2 16a=4a -3(x-3)(x+可从左到右变形成立，x应满足的条件是() 1 x+1 8.要使式子 A.x>-1 B.x=-1 C.x<-1 D.x≠-1 9,根据分式的基本性质填空：+型=)，a-b_（) x2 ab ab 知识点04约分 (1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分， (2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定. ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式. ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面. ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式 (3)规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分 （a+1)(a-1) 【即学卿练4】10.化简a-2a+2 的结果是() A. a+1 B. C.a-1 2(a-1 D.2 2a+2 11.下列约分结果正确的是() A.atm a B.-y b+m b -=x-y x-y C.-m2+2m-1 =-m+1 m-1 D-2w 12.化简： x2-9 x2-6x+9 知识点05最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式 【即学即练5】13.下列分式中，属于最简分式的是() A B.+1 x2-1 C. D. x+1 a2+3a 14.化简0-9 a+3 15.某同学将分式？么)约分后得到放简分式高，侧原分式的分子1是 A 题型精讲 题型01分式的判断 【典例1】(25-26八年级上河南周口·期末)下列式子中，属于分式的是() A方 B. x-3 c等 D.x+1 【变式1】(25-26八年级上·广西来宾期末)下列各式是分式的是() A. B. C. D.+2 元 x+2 3 【变式21水25-26八年级上费州黔东南期末)在式了：①：，②，③1，④2中，属于分式的是 6 x+y ·(填写序号) 式3】(25-26八年级上湖南益阳期中D下列各式：①：②元：③十少：④：⑤-3 x-y 4/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分式的有 (只填序号) 题型02分式有无意义的条件 【典例2】(25-26八年级上河南周口期末)若分式-9无意义，则x的取值为() x+3 A.x=3 B.x=-3 C.x≠3 D. 【变式1】(25-26八年级上山东德州期末)若要使-x有意义，则x的取值范围为() 7-x A.x≥0且x≠7B.x>0且x≠7 C.x<7且x≠0 D.x≤7且x≠0 【变式2】2425八年缓下匹川绵用月考)若代数式一有意义，测实数的取值范固是 【变式3】(24-25八年级上新疆吐鲁番期末)当x=2时，分式2x无意义，则m的值为 x-m 题型03分式值为零的条件 【典例3】(25-26八年级上贵州遵义期未)若分式-2的值为零，则的值为() x+2 A.-2 B.0 C.-2或2 D.2 【变式1】(25-26八年级上江苏南通·期末)下列说法正确的是() A.代数式+4是分式 2元 B.分式x+1 是最简分式 x2+1 C.分式-的值为0，则x的值为s x-3 D.分式3x”2,中x)都扩大3信，分式的值不变 【变式2】(25-26八年级上福建福州期末)若分式-2的值为零，则x的值为 【变式3】(25-26八年级上湖北荆门期末)若分式4-心的值为0，则整数x的值为 2-x 题型04求分式的值 【典例4】25.26九级上河北保定期末)若号子，则，的值为() a B.3 C. D.4 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上湖北武汉期末)已知ab=1,则2026+2026 a2+1b2+1 的值为() 2026 2025 A.2025 B. C.2026 D. 2025 2026 【安式2】2526九年级上安微安庆期未》若号号，则。6的值等于 a+b 【变式3】(25-26九年级上安徽六安期末)已知5r-2y=0(y≠0，求和x+的值. y 题型05分式的规律性问题 【典例5】(25-26八年级上·云南昭通期末)观察下列式子： ,…,依照此规律，第8个式子 2468 是() A.2 20 B. x C. D.16 【发式1】526八年级上老家随庆男未)一鼠数照#排别的分式一名名合·名（a0。 b≠0)，则第9个分式是() A. b18 B.bls C.619 D.、b9 a a 【变式2】(23-24八年级上黑龙江牡丹江期末)观察下列关于x的分式，探究其规律： 25811 x’xrx7,…, 按着上述规律，第个分式是 【变式3】(25-26八年级上江西期末)已知4=2,4=1- 1 -,41-a ,…,,=1- 1. 1 一，则a2026的值= 题型06求使分式为正（负）时未知数的取值范围 【典例6】(24-25八年级下四川成都期末)若分式工的值为正数，则x的值可以是（) x- A.2 B.1 C.0 D.-1 【变式1】(2526八年级上四川绵阳期末)分式。的值为正数的条件是（》 A.x<2 B.x<2且x≠0 C.0<x<2 D.x>2 【变式2】(25-26八年级上重庆道南期未)若分式的值为正，测的取值范围是 【变式3】2425九年级下江苏南通月考)若分式2的值为负，则的蔻围是 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例7】(2026河北邢台一模)已知a为正整数，若使分式2a+1的结果为整数，则所有a的值的和为(） a-1 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.7 D.8 【变式1】(24-25八年级上湖南长沙期末)若-5x+4的值为整数，则符合要求的整数x的个数为() x-3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】(24-25八年级下江苏泰州期末)分式2的值是正整数，则正整数x的值是 x+1 【变式3】(2526九年级上山东烟台期末当整数m时，分式的也为整数 题型O8判定分式的变形是否正确 【典例8】(2526八年级上四川泸州期末)分式b可变形为() a-b b A.- b B. a-b C.、b D.、b -a-b a+b a+b 【变式1】(25-26八年级上河南周口·期末)下列变形中，正确的是() 0.2a-b2a-b A. B.a-b-b-0=-1 0.3a+2b3a+2b b-a a-b C.a -(a-1 1 a2-1(a+1)(a-1）a+1 D.bbe a ac 【变式2】②5ǒ八作级1重庆合川期)技室：节立品·则等式右边的分了为 【变式3】(25-26八年级上江苏南通·月考)下面三个式子： -a-b-_a-b-a+b-_a-b-a+b-_a+b. 二，其中正确的有个 c 题型O9求使分式变形成立的条件 【典例9】(25-26八年级上河北邪台期末)已知x为大于0的实数，要使等式十2x 成立，则内 应填入() A.x(x+1 B.x+1 C.2x D.x+2 【变式1】(25-26八年级上四川南充期未)无论x取何值，分式+202 的值始终保持不变，则的值为 bx+2026 a () A.2025 2026 2026 2027 B. C. D. 2026 2027 2025 2026 【变式2】(25-26八年级上山东德州月考)若a+0,等式=加成立，则x应满足的条件是 3a 3ax 【线式】2八年级下全网专迪》二《女-兰号第个指号六技号 )y+21 ,第二个括号内填写： 7/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型10约分 【典例10】(2026年浙江省中招仿真模拟卷（一)数学试题卷)计算的结果为() A.1 B.x C.y 1 D. 【变式1】(25-26八年级上·山西吕梁期末)下列约分正确的是() A.a'tb_atb B.b+a=-1 ab2 b2 a+b C. a+11 xy-y2 x-y D. a+22 【变式2】(25-26八年级上北京昌平.期末)约分： 3ab3 15ab= 【变式3】(24-25八年级上·陕西延安期末)约分： 6x2yz 3xy2z· 题型11最简分式 【典例11】(24-25八年级上·福建福州期末)下列分式为最简分式的是() A.3ab B.a-b2 C.x+y2 D.2 15a b-a x+y 3x 【变式1】(25-26八年级上·山东聊城期末)下列说法正确的是（) A.分式m-!是最简分式 m2+1 B.由分式的基本性质得m+1_(m+2 m-1m2-1 C.若分式有意义，则x>0 x-3 D.由分式的基本性质得1+”三-1+n m m 【变式2】(25-26八年级上·河南驻马店·期末)写出一个分母为a的最简分式，可以是 【变式3】(25-26七年级上上海闵行期末)在分式、x+1、6x-6中，最简分式有个. 4y、2x+1、9-9x 题型12利用分式的基本性质判定分式值的变化 【典例12】(25-26八年级上山东德州期末)下列各式与+上相等的是（) x-y A.+y+1 2x+y B. C.(x+y)2 D. x2+y2 x-y+1 2x-y x2-y2 x2-y2 【变式1】(2526八年级上河北石家庄期末)若把分式”中的x和y都扩大2倍，那么分式的值() x+v A.扩大2倍B.不变 C.缩小2倍 D.缩小4倍 11 x-y 【变式2】(25-26八年级上广东珠海期末)不改变分式的值，将？的分子与分母的各项系数都化为 3x+2y 8/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 整数得 【变式3】(2526八年级上山东潍坊期末)将分式y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值变为原来 x+y 伤 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上广西河池期末)下列式子是分式的是() B.2 C.x+y D.t+1 2 2.(25-26八年级上湖北威宁期末)若把分式3”中x和y的值都扩大3倍，则分式的值() A.扩大3倍 B.不变 C.缩小为原来 D.扩大9倍 3.(2526八年级上河尚周口期末)若分式有意义，则x的取值花出是《) A.x≠0 B.x≠-1 C.x≠1 D.x≠士l 4.(25-26八年级上甘肃甘南期末)下列各式是最简分式的是（) A.+2 x-3 C.x2+1 x2-4 B. +2 D.15x2 -x+3 5x 5(25-26九年级上安微合肥期末)若g?b≠3，则下列正确的是() A.2a=3b B.8号-8 C.atb5 D.b-a 1 b2 二、填空题 6《25-26八年级上安微马鞍山期末)若分式33有意义，则x的取值范围尼 7.(25-26八年级上全国期末)约分：(1)-25r 5xy21 ；(2)x2-9 6+2x n2,则m+n 8.(25-26九年级上福建泉州期末)已知严=3， m-n 9.(25-26八年级上北京通州期末)若x为整数，且使分式，6的值是整数，则x的值是 2x+1 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 2025八年级下全国专题练习)观察下列各式：4×=4-，5x3=5、5 7…用含n的等式 6 ,6×-=6 6 6 7 表示这个规律 (n表示正整数，n≥4) 三、解答题 。2425八年级上北京期已a中，求代数式女2的值， 12.(2425八年级上江西南昌月考)已知分式m。,当满足下列条件时，魔定m的取值。 ()当m为何值时，此分式无意义？ (②)当m为何整数时，此分式值为也为整数？ 13.(25-26八年级上河北唐山期中)已知当x=-3时，分式二C无意义：当x=2时，此分式的值为0. x+d (1)直接写出d,c的值。 ②在1)的条件下，当分式3边的值为正整数时，求整数x的值。 x+c 14.(24-25八年级下江西鹰潭·月考)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为“和谐分式”.如： x+1-x-1+2_x-1+2=1+2 x-1x-1x-1x-1=1tx-i3 a2-2a+3_(a-1+2 a-1 a-1 a-1+2 a-1 则*1 '~和二2a+3都是“和谐分式 a-1 ()下列分式中，属于“和谐分式”的是： (填序号)； ② ①+2 *1:@+1 4；③+2 ②将和谐分式”。-6：-2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： x-3 (3)当x取什么整数时，“和谐分式亡-6r-2的值为整数？ x-3 15.(25-26八年级上吉林期末)阅读理解： 材料1：为了研究分式1与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： -4 -3 -2 0 2 3 4 10/11