北京市北京大学附属中学元培学院2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

2025-2026学年第二学期北大附中元培学院高二期中考试 数学 本试卷共6页、150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1)函数y=sin2x的导函数为 (A)y=sin2x (B)y=2cos2x (C)y=2sin2x (D)y=-2sin2x (2)函数()部分图象如图所示，则 第2题图 (A)(@<f'(6)<'(c (B)'()<f'(a)<f'(c) (c)'(a)<f(d)<f'b) (D)f)<f(c)<f'(a) (3)在数列{a}中，q=1,若数列{a.a}是以5为公比的等比数列，则log5a,三 6A)24 (B)25 (C)48 (D)49 (4)己已知函数心=血叶名，则 (A)f2)<f(π)<f(E) (B)fπ)<fe)<f(2) (c)f(e)<f2)<f(π) )f(2)<(e)<f(π) (5)若对任意x>0,(x-alnx之0，则实数a的取值范围是 (A){-1} (B)（∞，-可 (C)(1) (D),o) 数学第1页（共6而） (6) 若函激f()=co(@x+骨X@>0)在区间(Q网上恰有两个零点，则0的取值范弱是 ((7y已知{a,}是公比为9的无穷等比数列，则“任取无穷跨差数列{b,},对于任意N。∈N, 存在正整数k,使a:>b%,”是“9<-1”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8) 已知函颜)=写m一式-2m在x=一1处取得极大值，则加的值为 (B)1 (e)酸1 (D)-1或2 (9)已知函数f(x)=cosx-x,x∈[-兀刊，则f()的翠点个数为 (A)0个 (B)1个 ()2个 (D)3个 (10)某地区新能源汽车总保有量2与时间1之间满足Log$tc增长模型： Q0=+总，（红，”，m>0,20关种之是该区环孩餐纳蛋上限。 m,”是由初始条件决定的常数.则下列说法错误的是 (A)若2(0)=年，则m=3 (B)函数y=Q()单调递增 (C)若m>1,则存在1，使Q')=0.2Lr D)函数y='()存在极小值点 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分， (1)已知函数f)=1*},则 3△)-@☒ 的值为 00 Ar (12)已如等差数列|a)的前n项和为K,且a,+4-0,5e>今，则6，取得最小值时， (13)函数/(-)=mx+4o03五，-塞sr≤2， 6 ≤子，则/八)的值蚊为 (14)已知函数/)=2-o(π+2)'(a>0),若/(x)在-1，月上存在增区间.则c的一个可 能取值为 -2x, 5≤x<0, (15)段函数片 W(V匠-)，0≤x<4,则 12-x, 4sxs5 ①涵数8(X)的极值点共 个； ②若对任取x0(a,b),b<0,总存在唯一为s0.51,使得g(:)=r(x),叫b-a的 最大值为 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程， (16)(本小题13分) 己知数列un】满足a=1,当n≥2时，a。=0。。+2”,NeN. (I)求数列{o,)的通项公式： (Ⅱ)设数列{b,)满足b,=以，+2+3，求数列{6，的前刀项和 (17)(本小题14分) 已知函数-m-(a+0z+h,其中a>0. （I)若曲线y=f(X)在x-2处的切线斜率为0，求实数u的值： (Ⅱ)求(x)的单调透港区间、 (18)（本小题13分) 已知函数∫(x)= 2x1 +200sX. (I)求fo): (Ⅱ)求函数∫(x)单调递增区间： (四)将/心)的图象向右平移m个单位m>0,得到函数8(K)的图象若直线x=牙是 8()图象的条对称轴，则的最小值为 (直接写出答案不必说明 理由) 数学第d页（共6页） (19)（本小题15分) 已知椭圆c:女+上 云+：=1(Q>6>0)的左顶点为4(-30)，左焦点为5，满足丽-40 (0为原点)· ([)求椭圆C的方程： (Ⅱ)点P(m,月HszO)在䴘圆C上，直线P与y轴交于点M,点旦与点P关于y轴对称， 直线4Q与》轴交于点N,在x轴上是否存在点B,使得∠08M+∠0BN=受？若存 在，求点B的坐标；若不存在，说明理由， (20)(本小题15分) 己知函数fx)=(x-ae'-1),a≤R. (I)若a=0, (1)求函数f(x)在(0.f(O)处的切线方程： (日)求证：0是函数f(x)的极小值点： (Ⅱ)若r∈(0.+o)、(x)+x+1>0恒成立，求整数a的最大值. (21)（本小题15分) a a, 42） 已知A= 0 02 P 是一个电行N的数表，其中m,naN且n之2，且对任 aa) a… 意1∈（山2，-，ml。Ju(,2,,,都有aye0,月.对于1sp<gsn且p,geN，定义 S(p.g)-lliexa,=an1s1smH. 其中，心表示有限集合水的元素个数、 11L1J (1)若4- 0k1 001 求S(2),(1.3),S(2.3),S(2.4): 0001 (Ⅱ)当川=3时，若6(，)5大值成立，求证：k≥号： (Ⅲ)对纶定的n,设S(2,9)的最大值为K,求土的最大值和最小值， 7力 (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)