2026年九年级数学中考二轮复习 一次函数综合解答题 常考热点题型专题训练

**基本信息** 聚焦一次函数综合应用，以"概念理解-图像分析-实际建模-几何综合"为逻辑主线，系统整合代数运算与几何直观，强化模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解析式|2题|待定系数法、代入求值法|正比例函数定义→解析式确定→函数值范围| |图像与交点|5题|图像法解不等式、坐标面积公式|函数图像交点→不等式解集→动态面积计算| |实际应用|3题|方案比较法、利润最大化模型|实际问题抽象→函数关系建立→最优解分析| |几何综合|5题|坐标法、分类讨论思想|函数图像与几何图形结合→动点存在性→图形性质应用|

2026年九年级数学中考二轮复习《一次函数综合解答题》 常考热点题型专题训练 1．已知与成正比例函数关系，且当时，． (1)求出与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． (3)若的取值范围为，求的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x，y轴交于B，C两点，正比例函数的图像与L1交于点． (1)填空： ______， ______． (2)不等式的解集是______； (3)若点M是直线上的一个动点，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点M的坐标； 3．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费用更少？请说明理由． 4．一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 5．今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． (1)直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； (2)过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 8．如图在平面直角坐标系中，直线过点，． (1)求直线表达式． (2)在图1中，以为腰在第一象限作等腰直角三角形，．线段在轴上移动（E在F左侧），，当最小时，求E点坐标和的最小值． (3)在（2）的条件下，如图2，点P坐标，点M是线段中垂线上一动点，过点C作轴垂线，点Q是此垂线上的一个动点，若是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 9．如图，直线分别与x，y轴相交于点A、B，点P，Q分别在直线和线段上，，，设点P的坐标为． (1)求k，b的值； (2)设的面积为S，求S关于m的函数关系式； (3)如果的面积等于10，求点P的坐标． 10．已知，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若的面积为12，求点P的坐标． 11．赛龙舟是传统节日端午节的主要习俗．某市在端午节期间，举行赛龙舟比赛，已知甲、乙两队参加比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题： (1)填空 ①这次龙舟比赛全程为________米； ②龙舟比赛先到达终点的是________队．（填“甲”或“乙”） (2)求开始比赛后几分钟甲队和乙队相遇？ 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，C是上一点，连接，过点C作交直线于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)求的长； (3)P是y轴上一点，Q是坐标系内任意一点，当P、Q、C、D构成菱形时，求点Q的坐标． 13．已知直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上的动点，点是轴上的动点，作直线． (1)求A，B两点的坐标； (2)如图①，连结，若是以为斜边的等腰直角三角形，求直线的函数关系式； (3)如图②，作轴于点，以为边向右作正方形，边交直线于点．若，直接写出点的坐标． 14．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年九年级数学中考二轮复习《一次函数综合解答题》常考热点题型专题训练》参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（）先根据与成正比例设出函数式，代入求出，得到解析式； （）再将点代入解析式求出； （）最后把代入，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵与成正比例， 设函数为， 将代入得：， 解得， ∴此函数解析式为：； （2）解：∵点在函数图象上， ∴将坐标代入解析式得：， 解得：； （3）解：∵， ∴将代入不等式得：， 整理，得． 2．(1)5，4 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求得点坐标，将点坐标代入一次函数可得的值； （2）利用图像直接判断不等式的解集即可； （3）设，根据，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， 然后将代入得：， 解得：； （2）解：由图像可知，不等式的解集为：； （3）解：由（1）得：一次函数， 点在直线上， 设点的坐标为，把代入，得， 点坐标为，， 点坐标， ， 把代入，得， 点坐标为，， ， 解得：或14， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 3．(1)， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 (2) (3)当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； （3）解：由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 4．(1) (2)在函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 5．(1)该商场节前每千克枣粽的进价是10元 (2)该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元 【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可； （2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得： 解得， 设总利润为元， 由题意得： ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 6．(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）求出时，y的值和时，x的值可得答案； （2）设交x轴于点C，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，再由，即可求解； （3）过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则，由题意知，且，从而得到，，证明，可得，，从而得出点，代入解析式求得m的值，进一步可得n的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：设交x轴于点C， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则， 由题意知，且， ，， ， ， ∵， ， 又， ， ，， 点， 点Q在直线上， ， 解得， ， 则． 7．(1)，，， (2)①或；②点E的坐标为或 【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵轴，且点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，解得或； ②∵，，， ∴， 当点在线段上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为 当点在射线上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或． 8．(1) (2)； (3)Q点坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F， 的长即为的最小值，再求出直线的解析式，即可求得点的坐标，根据，可得点E的坐标； （3）过点M作轴于点F，延长交于点G，设，由点M在线段中垂线上，可得，可得，则，再证明，可得，，再由，即可求解． 【详解】（1）解：（1）设直线表达式为， 将点，代入表达式得， 解得：， ∴直线表达式为． （2）解：如图1，过点C作轴于点D，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图，将点B向右平移2个单位长度到，作关于x轴的对称点，连接，与x轴的交点即为点F，此时的长即为的最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴，， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时， 点E坐标为，的最小值是． （3）解：如图，过点M作轴于点F，延长交于点G， 设， ∵点M在线段中垂线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴，， ∴， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵延长交于点G，轴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴，， 如图，此时点在下方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 当时，， ∴，， 如图，此时点在上方， ∵， ∴点的纵坐标为， ∴； 综上所述，Q点坐标为或． 9．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据题意求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得直线的关系式，进而得到，再根据列式求解即可； （3）根据（2）所求，求出时m的值，进而求出对应的n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵点A，B在直线上， ∴ 解得； （2）解：由（1）得直线的关系式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ = =， 当时， ， 当时，=， ∴； （3）解：当时， 或 ， 解得或， 当时，； 当时， ． ∴点P的坐标为或． 10．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先描点，再连线画出函数图象即可； （3）先求出点C的坐标，再根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵点P为x轴上的一个动点，且 的面积为12， ∴，即， ∴， ∴点P的横坐标为或点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 11．(1)①1000米；②乙 (2)开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 【分析】（1）①根据函数图象，即可求解； ②根据函数图象，可以得出甲乙到达终点时间，即可求解； （2）解法1：求出甲队和乙队当时的函数解析式，然后联立即可求解； 解法2：求出甲队和乙队当时的速度，设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，根据相遇时走的路程相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：①从图象可以看出，这次龙舟赛的全程是1000米； ②从图象可以看出，乙队先到达终点； （2）解：解法1．设甲队路程米与时间分钟之间的关系式是， 依题意，得， ， ∴， 当时，设乙队路程米与时间分钟之间的关系式， 依题意，得， 解得， ∴， 解，得， 所以开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 解法2．， 当时，， 设开始比赛后分钟甲、乙两队相遇，则依题意，得 ， 解这个方程，得． 答：开始比赛后分钟甲队和乙队相遇． 12．(1) (2) (3)，， 【分析】（1）将点与代入直线的函数表达式求解即可； （2）添加辅助线，证明与全等，由此可得，，设出点C的坐标，表示出点D的坐标，利用点D在直线上，由此可求解点C的坐标，使用勾股定理求解的值，再结合为等腰直角三角形求解即可； （3）设出点P的坐标，以为菱形的边和为菱形的对角线分类讨论，结合菱形的四条边相等，求解点P的坐标，再结合菱形的性质，以及点的平移求解点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点D作轴，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，且． 在与中， ， ∴， ∴，， 设点， 则，， ∴点， ∵点D在直线上， ∴，解得， ∴，且， 在中，， ∴， ∵，且． ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：设点，点， 由（2）可知，，点，点， ①为菱形的边时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； ②为菱形的边时，则有， ∴，解得m无解； ③为菱形的对角线时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 综上，点Q的坐标为，，． 13．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）由题意可得：当时，，当时，，可得，； （2）如图，过作于，设，证明，可得，求解，得到点P的坐标，再运用待定系数法求解即可； （3）设，则，，，可得，进而得出点Q是的中点，从而证明，得到．分两种情况讨论：①当点C在点M的左侧；②当点C在点M的右侧，分别表示出，，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵对于直线，令，则， 令，则，解得， ∴，． （2）解：如图，过作于，设， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴，， 设直线的解析为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数关系式为． （3）解：设，在线段上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点Q的横坐标为， 把代入函数，得， ∴， ∴， ∵， ∴，即点Q是的中点， ∴， ∵在正方形中，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ①当点C在点M的左侧时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． ②当点C在点M右侧时，如图所示： 同理可得：，， ∵， ∴，解得， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 14．(1) (2) 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 15．(1) (2)或 【分析】（1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； （2）解：将代入，则， ， ， 点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线交于点， 令，解得；令，解得， ，， ， ， ， 或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $