9.1因式分解的概念导学案+巩固练习2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版数学八年级下册《9.1因式分解的概念》导学案 设计人：______　　审核人：______　　使用时间：______ 【课题名称】“拆”与“拼”的艺术——因式分解初探 【学习目标】 1. 理解因式分解的概念，能准确说出因式分解与整式乘法的互逆关系。 2. 能通过整式乘法运算检验因式分解的正确性。 3. 能辨别一个变形是否为因式分解，理解因式分解的结果必须是整式乘积的形式。 【重难点】 重点：因式分解的概念及与整式乘法的关系 难点：准确辨别因式分解与整式乘法，理解“分解彻底”的含义 【知识链接】 之前我们已经学习了整式的乘法运算，如 (a+b)(a-b) = a2 - b2，m(a+b+c) = ma + mb + mc等。如果我们把等号左右两边互换，就得到了一种新的变形——这就是我们今天要学习的因式分解。 【新知探究】 1. 概念辨析 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 核心理解： （1）因式分解与整式乘法是互逆的变形过程 （2）因式分解的结果必须是乘积形式，且每个因式必须是整式 （3）可以用整式乘法检验因式分解的结果是否正确 2. 典型错例辨析 判断下列变形是否正确，并说明理由： 变形 是否因式分解 理由 (a+b)(a-b)=a2-b2 否 这是整式乘法，不是因式分解 x2 9=(x+3)(x-3) 是 将多项式化为两个整式的乘积 x2-2x+1=x(x-2)+1 否 结果不是乘积形式（还含有加法） x2-4=(x-2)2 否 结果不正确，不满足恒等变形 【分层过关训练】 ✅ 基础巩固层（一星★☆☆——概念辨析） 1.（2025-2026学年苏州四市八年级阳光测评期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　） A. (x+2)(x-2) = x24 B. x24x+4 = (x-2)2 C. x2-2x+1 = x(x-2)+1 D. x(x-1) = x2x 2.（2025-2026学年常州新北区八年级期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　） A. x(a-b) = ax-bx B. x2-3x+1 = x(x-3)+1 C. x2-4 = (x+2)(x-2) D. m+1 = m(1+) 3.（2024-2025学年南通市八年级上学期期中）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　） A. x2-x-1 = x(x-1)-1 B. x2-1 = (x-1)2 C. x2-x-6 = (x-3)(x+2) D. x(x-1) = x2-x ✅ 能力提升层（二星★★☆——方法运用） 4.（2025-2026学年泰州市姜堰区八年级上期末）下列各式中从左到右是因式分解的是（　） A. a2-b2 = (a+b)(a-b) B. (a+b)(a-b) = a2-b2 C. (a+1)2 = a2+2a+1 D. a2+2a+1 = (a+1)2 5.（2024年无锡中考真题）分解因式：x2-4 = ________ 6.（2024年镇江中考真题）分解因式：x2-x = ________ 7.（2025年江苏苏州中考真题）因式分解：x2y-y =________ ✅ 拓展提优层（三星★★★——综合创新） 8.（2024年南京市中考真题）任意两个奇数的平方差总能（　） A. 被3整除　　　B. 被5整除　　　C. 被6整除　　　D. 被8整除 9.（2024年广西中考真题）如果a+b=3，ab=1，那么a3b+2a2b2+ab3 的值为________ 10.（2025-2026学年江苏省八年级单元巩固测试改编）先阅读下列因式分解的过程，再回答问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2 = (1+x)[1+x+x(x+1)] = (1+x)2(1+x) = (1+x)^3$ （1） 上述因式分解的方法是________法，共应用了________次； （2）若分解因式 1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+x(x+1)2025，则分解后的结果是________ 【参考答案与解析】 1 .B 。解析：A、D 是整式乘法；C 的结果含有加法，不是乘积形式；B 将多项式 x2-4x+4 化为 (x-2)2，满足因式分解的定义。 2 .C 。解析：A 是整式乘法；B 含有“+1”不是纯乘积；C 符合定义；D 分母含字母，不是整式。 3. C 。解析：同理由因式分解定义判断。 4 .A 、D。 解析：A 是平方差公式的逆用（因式分解）；D 是完全平方公式的逆用（因式分解）；B、C 是整式乘法。注意：此处需根据题干具体选项判定。 5 .(x+2)(x-2) 。解析：利用平方差公式：x2-4 = x2-22。 6 . x(x-1) 。解析：提公因式法：提取公因式 x。 7. y(x+1)(x-1)。 解析：先提公因式 y，得 y(x2-1)，再用平方差公式继续分解。 8. D 。 解析：设两个奇数为2n+1 和2m+1，则(2n+1)2-(2m+1)2 = 4n2+4n-4m2-4m = 4(n-m)(n+m+1)，其中 (n-m)(n+m+1)必为偶数，故整体为 8 的倍数。 9. 9 。解析：原式= ab(a+b)2 = 1× 32 = 9。 10 (1) 提公因式；3　(2) (1+x)2026观察规律，每次提取公因式 (1+x)，应用次数等于最高次项指数加 1。 【课堂总结】 今天我们初探了因式分解的“概念”与其核心：它是将多项式“拆开”为几个整式乘积的过程，与整式乘法的“拼合”互为逆运算。在做练习时，只要牢记：因式分解必须是恒等变形，结果必须是乘积形式，每个因式必须是整式，就能轻松分辨对错！ 【课后反思】 我的收获：____________________ 我的疑问：____________________ 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是(D) 解析： 因式分解的定义是：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式 A.结果仍是“和"的形式(+1)，不是乘积，错误。 ®括号里出现了子，不是整式（是分式，错误。 C.这是整式的乘法（乘积化为了多项式），与因式分解方向相 反，错误。 D.左边是多项式，右边是)×（口-，是数与整式的乘积， 符合定义，正确。 2.关于甲、乙同学的变形，说法正确的是（D) 解析： 甲：4x3(x2+y)=4r5+4xy。这是由乘积形式化为多项 式，属于整式的乘法，不是因式分解。 乙：4x2-8x+4=4x(x-2)+4。最后结果存在”+4“，不 是单纯的整式乘积形式，因此不是因式分解。 结论：甲、乙均不是因式分解。 3.其中-个因式为：-3，另一个为c+2,则品=（ D) 解析： 已知两个因式，可得原多项式为： (x-3)(x+2)=x2-x-6 对比x2+ax+b可知： a=-1,b=-6 代入求值： 品-2x8=号-8 -6 4.若多项式可分解为(x-3)(x+1),则. 由于题目中图片公式不显示，通常这种题型是利用”待定系数法” 展开右边，然后与左边对比系数。例如常见题：x2+px+g=( x-3)(x+1),则p=-2,9=-3。请查看原卷具体代数式。 5.903-90能被(B)整除 解析： 先因式分解： 903-90=90(902-1)=90(90-1)(90+1)=90×89×91 计算结果包含因数89，因此一定能被89整除。 6.看错系数的分解求值问题 解析： 这种题利用“看错什么，就只看对的那部分“的原则。 甲看错了a,说明甲分解出的常数项是正确的。 甲的结果为（一一）（一一）（原图缺失，假设为常见的(x+3)(x +4),则常数项为12，即b=12)。 乙看错了b,说明乙分解出的一次项系数是正确的。 乙的结果为（一）(—)（原图缺失，假设为常见的(x+3)(x -2),则一次项系数为1，即a=1)。 解题套路：将看错那人分解的结果“复原“为多项式，只看他没 看错的系数，从而确定真正的a和b。 7.观察式子因式分解的做法（找规律） 解析： (1)观察规律： x5-1=(x-1)(x+x3+x2+x+1) (2)猜想通式： xn-1=(x-1)(x-1+xn-2+..+x+1) (3)求26+25+2+23+22+2+1的值： 由公式：27-1=(2-1)(26+25+..+1) 所以原式=27-1=128-1=127 8.仿照例题，求另一个因式及k的值 题目：已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是(2x-5), 求另一个因式以及k的值。 解析： 设另一个因式为(x+)。(注意：因为二次项系数是2，已有 一个因式提供2x,所以另一个因式×的系数必须是1) 得： 2x2+3x-k=(2x-5)(x+n】 展开右边： 右边=2x2+2nx-5x-5n=2x2+(2n-5)x-5n 对比系数： 了2n-5=3 -5n=-k 由2n-5=3,解得n=4 代入常数项：-5×4=-k→-20=-k→k=20 答案：另一个因式为(x+4),k=20。 9.阅读理解题（利用零点值代入法） 方法核心：若+a是多项式的因式，那么当x=-a时（使因 式为0的值)，多项式的值也为O。 (1)若(x+3)是多项式x2+mx-15的-个因式，求m。 解： 令x+3=0,得x=-3。 代入多项式得： (-3)2+m(-3)-15=0 9-3m-15=0 -3m=6→m=-2 (2)若(x3+1)÷(x+1)可化为整式，求化简后的整式。 解： 由立方和公式（或根据第7题规律）： x3+1=x3+13=(x+1)(x2-+1) 所以化简后的整式为：x”-x+1 (3)若(x+2)和(x-3)是多项式…的两个因式，且直线不经 过第二象限，求m的取值范围。 (该题由于图片缺失关键系数，无法精确计算，请提供具体的多 项式表达式。一般思路为先利用两个因式(x+2)和(x一3)求 出多项式系数，从而确定直线解析式中的范围，再利用“不经 过第二象限"即k>0,b≤0列不等式组求解) 9.1因式分解的概念巩固练习 1.下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（　　） A．a3+a+1＝a（a2+1）+1； B．x+2＝x（1）； C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4； D． 2.下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（　　） 甲：4x3（x2+y）＝4x5+4x3y． 乙：4x2﹣8x+4＝4x（x﹣2）+4． A．甲是整式的乘法，乙是因式分解； B．甲是因式分解，乙是整式的乘法； C．甲、乙均为因式分解 ； D．甲、乙均不是因式分解 3.．在因式分解关于的多项式时，其中一个正确的因式为，另一个正确因式为，则=（　　） A． B． C． D． 4．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 5．903﹣90能被（　　）整除． A．86 B．89 C．92 D．93 6．在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求，b的值． 7.观察下列式子因式分解的做法： 。 观察规律，尝试对进行因式分解：          。 观察中的结果，猜想          为正整数。 试求的值。 8.仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得 ． 则． 所以解得 所以另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 9．阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得 ， 解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题． (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式； (3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $