9.1因式分解的概念 导学案 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2026年春八年级数学下册导学案(9-1) 主备人：张二平 班级 学生姓名： 课题：9.1因式分解的概念 学习目标： 1.记住多项式因式分解定义，理解因式分解与整式乘法之间的区别与联系 2.能判断因式分解的正误，会进行简单的因式分解。 3.经历因式分解的过程，发展和培养观察和分析能力。 学习重点：多项式因式分解的意义 学习难点：因式分解与整式乘法之间的区别与联系 自学要求：认真阅读教材P104-105，回答下列问题： 1、 新知体验： 1、 情境引入： 如果n是自然数，那么n2+n是奇数还是偶数? 2、 探索新知： 问题：我们曾经学习过数的整除问题，7+72能被8整除吗?99+992能被100整除吗? 若a是正整数，a+a2能被a+1整除吗? 7+7=7×(1+7)=7×8，所以7+72能被8整除. 99+992=99(1+99)=99×100，所以99十992能被100整除. 根据a(a+1)=a+a2，可得a+a2=a(a+1)，所以a+a2能被a+1整除。 在解决问题时，我们常需要把一个多项式化成几个整式的乘积。 例如，对于多项式ma+mb，x2+3x+2， 根据m(a+b)=ma +mb，(x+1)(x+2)=x2+3x+2, 把上述等式左右换位，可以得到 ma +mb =m(a+b)， x2+3x+2=(x+1)(x+2)。 上述两组等式表达了不同的意义： 第一组等式表示两个整式的乘法运算；第二组等式则是把一个多项式表示成两个整式的乘积形式。 小结： 因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。 因式分解也可称为分解因式. 活动：观察下面图形的剪拼过程，写出相应的等式. 谈谈因式分解与整式乘法有什么联系?请举例说明。 ①因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分， 因式分解的结果只能是整式的积的形式； ②要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止； ③因式分解和整式乘法是互逆的运算，因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算。 试一试： 判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 (1)ab+ac+d=a(b+c)+d； （ ） (2)a2-1=(a+1)(a-1)； （ ） (3)(a+1)(a-1)=a2-1； （ ） (4)(a+b)(c+d)= ac+ad +bc +bd。 （ ） 二、例题讲解 例1.判断下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法，哪些是多项式的因式分解 (1) m(a+2b)=ma +2mb； (2) 15xy +25xy2= 5xy(3+5y)； (3)(y+3)(y-3)=y2-9； (4)a2+4b2+4ab=(a+2b)2. 例2.已知多项式a2+6a+k可以分解为(a+2)与(a+4)的乘积，求k的值。 三、基础强化： 1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是 (　 　) A.8a2b2=2a2·4b2 B.1-a2=(1+a)(1-a) C.(x+2)(x-1)=x2+x-2 D.a2-2a+3=(a-1)2+2 2.在下面式子的左边和右边的括号中各填入一个整式，使这个式子的左边与右边相等. （ ）=( )(2a+1). 3.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x-3),则a= ,b= 。 4.写出两个整式A与B，使得A=B(a+3). 4、 拓展提高： 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为x+n，得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n, ∴解得，∴另一个因式为x-7，m的值为-21. 仿照例题方法解答： (1)若二次三项式x2-9x-22的一个因式为x+2，求另一个因式； (2)若二次三项式2x2+bx-5有一个因式是2x-5，求另一个因式以及b的值. 五、总结反思： 1.因式分解的概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作因式分解(factorization)。 因式分解也可称为分解因式. 2.整式乘法与因式分解有什么关系? 它们是互逆的变形，如x2-1=(x+1)x -1) 因式分解等式的特征： 左边是多项式，右边是几个整式的乘积. 六、达标检测： 1.判断下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些不是。 (1) (x+2)(x-2)= x2-4； (2) x2-4= (x+2)(x-2)； (3) x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x； (4) x2+4x+4=(x+2)2。 2.已知x+y=2,xy=-6,则x2y+xy2的值为　　　　. 解答： 试一试： （1） 不是；（2）是；（3）不是；（4）不是。 二、例题讲解: 例1、 解：(1)(3)是整式乘法，(2)(4)是多项式的因式分解. 例2、 解：∵(a+2)(a+4)=a2+6a+8，∴a2+6a+k= a2+6a+8，∴k=8. 三、基础强化： 1.B 2.4a2-1, 2a-1 3.-2,-3 4.解：若B=a-3,∵ A=B(a+3)，∴A=a2-9. 四、拓展提高： 解：(1)设另一个因式为x+n，得x2-9x-22=(x+2)(x+n),则x2-9x-22=x2+(n+2)x+2n, ∴2n=-22，∴n=-11，另一个因式x-11. (2)设另一个因式为x+n，得2x2+bx-5=(2x-5)(x+n),则2x2+bx-5=2x2+(2n-5)x-5n, ∴b=2n-5，-5n=-5∴n=1，b=-3,另一个因式x+1. 六、达标检测： 1. （1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是。 2.-12 学科网（北京）股份有限公司 $