新疆喀什地区英吉沙县实验中学等校2025-2026学年第二学期学科素养大赛高一数学测试卷

**基本信息** 覆盖三角函数、向量、解三角形等高一核心内容，通过支座受力等科学情境与分层设问，考查抽象能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同的角、向量共线|基础概念辨析，如零向量平行性判断| |多选题|3/18|基底判断、命题正误|综合理解，如单位向量性质辨析| |填空题|3/15|象限判断、向量化简|空间观念，如动点向量最值| |解答题|5/77|解三角形形状、受力分析、函数单调性|科学情境（支座受力）与梯度设问（16题三问），考查推理与应用|

2025–2026学年第二学期学科素养大赛 高一数学 测试卷 (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题) 一、单选题(每题5分，共40分) 1. 在△ABC中,若 则∠C= ( ) A. B. C. D. 2. 在—360° 到0° 内与角 1250°终边相同的角是( ) A. 170° B. 190° C. — 190° D. — 170° 3.已知向量 若B, C, D三点共线,则m=（ ） A. — 16 B. 16 C. D. 4. 以下说法正确的是( ) A. 零向量与任意非零向量平行 B. 若 则 C.若 (λ为实数)，λ则必为零 D. 和都是单位向量，则 5. 已知, 则 （ ） A. B. C. D. 6.已知 则 （ ） A. B. C. D. 7.在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则 A. B. C. D. 第 1 页 共 4页 8.已知tanα=2,则 A. B. C. D. 二、多选题(每题6分，共18分) 9.下列向量组中，能作为同一平面内所有向量的基底的是( ） A. B. C. D. 10.下列命题错误的是( ） A.若A，B，C是平面内的三点，则 B. 若 是两个单位向量，则 C.若 ，是任意两个向量、则 D.向量 可以作为平面内所有向量的一组基底 11.函数. )的部分图像如图所示，则下列选项正确的是( ） A. B. C.该函数图像的对称中心为 D.函数f(x)的图像可由函数y=2sinx先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度得到 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题(每题5分，共15分) 12.设θ是第二象限角,则点 P(sinθ,cosθ)落在第 象限. 第 2 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 13. 化简 14.已知△ABC是边长为2的等边三角形，M为△ABC所在平面内一动点，则 的最小值为 . 四、解答题(共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (15分)在△ABC中,角A, B, C的对边分别为a, b, c,若b(a-ccosB)=a(b-ccosA),判断△ABC的形状。 16.(15分)在△ABC中,AB=2,AC=1,∠BAC=120°,点E,F在BC边上且 (1)若 用 表示 并求线段AE的长；(5 (2)若 求cos∠EAF的值。(5分) (3)若 求 的值。(5分) 17. (16分)如图,支座A受 两个力的作用，已知 与水平线成θ角， 沿水平方向， 与 的合力 的大小为100N。 (1)求cosθ。(8分) (2)求 与 的夹角β的余弦值。(8分) 第 3 页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 18. (16分)已知 是定义在R上的奇函数 (1)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；(8分) (2)若 求实数a的取值范围。(8分) 19. (15分)已知 (1)求 的值；(7分) (2)求α+β的值。(8分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高一数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A C C D A ABC ABC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】利用余弦定理可求答案. 【详解】因为，所以； 因为，所以. 故选：D. 2．C 【详解】与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k·360°，∵－360°<α<0°，∴－<k<－， ∵k∈Z，∴k＝－4，∴α＝－190° 3．A 【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 【详解】由题意得，， 因为B，C，D三点共线， 所以， 则，得. 故选：A. 4．A 【分析】根据向量的性质和定义即可逐一判断. 【详解】解：对于A,零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，时，满足，，但不一定成立，故错误； 对于C,时，或，故错误； 对于D，和都是单位向量，则，但不一定成立，故错误． 故选：A． 5．C 【分析】由两角和的余弦公式展开即可. 【详解】，， 故选：C 6．C 【分析】由已知式求得，然后再由余弦的二倍角公式求值． 【详解】由，得，， ， ∴． 故选：C. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选用什么公式． 7．D 【分析】利用平面向量的加法运算求解. 【详解】解：在平行四边形中，O为对角线的交点， 易知， 所以． 故选：D 8．A 【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 9．ABC 【分析】判断出两向量是否平行，得到其能否作为基底. 【详解】A选项，因为，所以不平行，可以作为基底，A正确； B选项，因为，所以不平行，可以作为基底，B正确； C选项，因为，所以不平行，可以作为基底，C正确； D选项，因为，所以平行，不能作为基底，D错误. 故选：ABC 10．ABC 【分析】对于A，根据向量的减法法则分析判断，对于BC，举例判断，对于D，根据基底的定义分析判断. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，若，则是两个单位向量，而，所以B错误， 对于C，当共线同向时，，所以C错误， 对于D，若共线，则，所以， ，方程组无解，所以不共线， 所以可以作为平面内所有向量的一组基底，所以D正确. 故选：ABC 11．ABD 【分析】利用正弦函数图像的变换判断即可. 【详解】由图可知：，，所以. 故，所以，又因为图像过. 所以，因为，所以. 所以A正确，B正确，所以 令，，显然不是函数图像的对称中心，所以C错误. 函数先将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到，再向右平移个单位长度得到，所以D正确. 故选：ABD 12． 【分析】利用向量的加法运算，即可得到答案； 【详解】， 故答案为： 13． 【详解】以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，，， 则，， 故 ， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：. 14．四 【分析】由是第二象限角，判断，的符号，进而可得结果． 【详解】∵是第二象限角，∴，， ∴点在第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查三角函数的符号，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题. 15．等腰三角形或直角三角形. 【分析】利用余弦定理将已知条件角化边，再根据所得条件求得边关系，即可判断三角形形状. 【详解】因为，则由余弦定理得： ，则， 即，， ∴，∴， ∴，∴或， ∴或 当时，，△为等腰三角形； 当时，△为直角三角形， 故△为等腰三角形或直角三角形. 16．(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）由向量的线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长. （2）利用数量积及模求出向量的夹角的余弦值. （3）利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可. 【详解】（1）在中，令，，则； ，，， 所以. （2）由，，得，， 因此， 又， ， . （3）， ， 则， 即， ，化简得：， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用向量的平行四边形法则表示出，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； （2）利用向量的减法法则，得到，再利用数量积运算，两边同时平方即可求出结果； 【详解】（1）由题知，所以， 得到，解得， 所以. （2）因为，所以， 得到，解得， 所以与的夹角的余弦值为. 18．(1)在上单调递减，证明见解析； (2) 【分析】（1）根据指数型复合函数单调性判断，再利用定义证明单调性的步骤，取值、作差、变形、定号、下结论即可； （2）根据奇函数和单调性原不等式等价于，即可求解. 【详解】（1）解：因为，在上单调递增， 所以在上单调递减，证明如下： 证明： ． 设，则， 所以， 因为，所以， 所以， 所以在上是减函数； （2）解：因为函数是奇函数， 所以成立，等价于成立， 因为在上是减函数， 所以，，即，解得：， 所以实数的取值范围为． 19．（1）；（2） 【分析】（1）由二倍角的余弦公式可得，然后结合同角三角函数的平方关系及二倍角的正弦公式求解即可； （2）由，再结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 则. 故. （2）因为，所以. 因为，所以，， 则 . 因为，所以， 由（1）知，所以， 所以， 故. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，重点考查了两角和的余弦公式及角的拼凑，属中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $