精品解析：陕西安康市2025-2026学年高二下学期阶段性检测数学试题

高二年级阶段性检测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则在内恒成立， 可知在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为. 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】由题意可知，所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即. 3. 已知数列，若，则正整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，，而，且， 由，得正整数的最小值为2. 4. 现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定密钥每一位的选择种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复）， 则密钥第一位有种选择，第二位也有种选择， 第三位要求从、、、中进行选择，有种选择， 由分步乘法计数原理可知，可生成的密钥数量为个. 5. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 6. 记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（ ）． A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的方程，再与椭圆方程联立，转化为求出直线与椭圆交点个数即可. 【详解】椭圆的上顶点，右焦点，， 因此以A为圆心，为半径的圆方程为， 由消去得，而，解得， 直线与椭圆交于两点，所以所求交点个数为2. 7. 记为等比数列的前n项和，若，，，则（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合通项公式列式求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，即， 由，得，则，因此，即， 由，得，即， 而，则，于是，又， 所以. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最小值，即可得出，可得出，化简即可得出答案. 【详解】因为，函数的定义域为， ， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 所以， 因为，则， 故，即的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，利用赋值法可判断ACD选项；利用二项展开式通项可判断B选项. 【详解】令， 对于A选项，，A对； 对于B选项，的展开式通项为， 的展开式通项为， 故，B对； 对于C选项，①， ②， ①②可得，C错； 对于D选项，①②可得，D对. 10. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆过定点 B. 若圆与直线相交，则 C. 若圆与圆相切，则圆的面积为 D. 对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，可知圆过定点，故A正确； 对于B，，由圆与直线相交得， 解得或，故B错误； 对于C，由两圆半径相同，故不可能内切，于是只能外切，而， 故，即，可得圆的面积为，故C正确； 对于D，由题意知，直线的方程为，即， 设与其平行的直线方程为，若其与两圆均相切，则， 整理得， 取时等号成立，故D正确. 11. 对于数列，，若对任意正整数n，恒成立，则称是“有界数列”，若，则称是阶乘数列，则（ ）． A. 对任意等差数列，存在等比数列使得是“有界数列” B. 对任意等比数列，存在等差数列使得是“有界数列” C. 对任意等差数列，存在阶乘数列使得是“有界数列” D. 对任意阶乘数列，存在等比数列使得是“有界数列” 【答案】AC 【解析】 【分析】本题是新定义数列问题．根据定义，判断 能否成为“ 有界数列”，关键是比较 与 的大小．本题可用不等式放缩、构造法和反例法完成． 【详解】对于 A，设任意等差数列 满足 ．取等比数列 ，其中 ．则. 因为对任意正整数 ，有 ，所以.故 A 正确． 对于 B，取等比数列 ．若存在等差数列 ，设 ，则. 取正整数 ，使 ，又 ，于是 ，与题设要求矛盾，故 B 不正确． 对于 C，设任意等差数列 满足 ． 取阶乘数列 ，其中 ．则 ， 且. 因为对任意正整数 ，有 ，且 ， 所以.故 C 正确． 对于 D，取阶乘数列 ．若存在等比数列 ，设 ，则. 当 时，． 取正整数 ，使 ，则 ，与题设要求矛盾． 当 时，令于是有. 取正整数 ，使 ，则当 时，． 于是对任意正整数 ，有. 又因为可以取 足够大，使 ，所以存在正整数 ，使. 即，这也与题设要求矛盾．故 D 不正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 . 13. 记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知、关于轴对称，设点在第一象限，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，即可求出的值. 【详解】直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称， 又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点，则，故，即点， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得. 14. 将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成两个工作小组，然后从组中选择2人干工作，其余2人干工作；从组中选择1人干工作，其余3人干工作，已知甲不能干工作，乙要干工作，丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为___________． 【答案】 【解析】 【详解】由于工作b只在A组，乙必须做工作b，因此乙一定在A组且被分配做b， 工作只在B组，甲不能做，因此若甲在A组则必须做b，若在B组则必须做c， 丙和丁必须分在A、B两个不同小组。其余4人无特殊限制； 分两种情况讨论： 情况1：甲在A组： 此时A组已包含乙和甲，且丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选1人加入A组，有种选法， 故A组的构成方式有种； A组内的工作分配：乙和甲必须做b，其余两人自动做a，仅1种方案； B组：由丙、丁中另一人和剩余3个普通人组成。从中选1人做c，有种方案； 该情况总方案数为：种； 情况2：甲在B组： A组必须包含乙，丙、丁中恰有一人需在A组，有2种选择；再从4个普通人中选2人加入A组，有种选法， 故A组的构成方式有种； A组内的工作分配：乙固定做b，需从其余3人中选1人做b，有种方案，剩余2人做a； B组：甲必须做c，其余3人自动做a，仅1种方案； 该情况总方案数为：种； 综上，所有满足条件的分配方案总数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在公差为d的等差数列中，，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程组求出公差，最后得到通项公式即可. （2）由题意可得，再利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，，所以， 解得，则，可得. 【小问2详解】 设数列的前n项的和为， 因为，则， 所以 . 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导得到切线斜率表达式,利用切点横坐标,代入导数得切线斜率等于2,求出,再把代入原函数,结合切线方程在处的函数值求出. （2）先写出解析式并求导,函数在区间单调递增转化为导函数在区间上恒大于等于0,分离参数后转化为小于等于新构造函数在区间上的最小值,再研究构造函数的单调性求出最小值,即可得到的取值范围. 【小问1详解】 已知，求导得. 曲线在点处的切线方程为，切线斜率，且. 代入计算：，. 故，. 【小问2详解】 由（1）得，则. 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，，求导得. 因为时，，所以，即在上单调递增. 因此. 故，即的取值范围为. 17. 如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． （1）求三棱台的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用台体的体积公式可求得该三棱台的体积； （2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值； （3）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可得出的值，即可得出线段的长. 【小问1详解】 由题意可知，，， 因为侧棱底面，且， 故 . 【小问2详解】 因为底面，且为等边三角形， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴， 平面内过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 易知点、、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， ， 由题意可得， 整理可得，解得，符合题意， 此时. 18. 已知双曲线上有两点，． （1）求E的方程； （2）过点的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若，求的外接圆方程，并判断点A是否在该圆上． 【答案】（1） （2），在圆内. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（ⅰ）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式计算得证；（ⅱ）求出直线的方程，由（ⅰ）中信息求出交点坐标，进而求出圆的方程并判断. 【小问1详解】 由双曲线过点，，得，解得， 所以双曲线E的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，点， 由消去得，， ，直线的斜率，直线的斜率， 因此， 所以直线与的斜率之积为定值. （ⅱ）直线的斜率，由及（ⅰ），得，直线方程为， 由，得，点， 显然点关于轴对称，即的外接圆圆心在轴上，而弦中点为， 弦中垂线方程为，令，得， 因此的外接圆圆心为，半径， 所以的外接圆的方程为，由，得点在该圆内. 19. 已知函数． （1）若为的极值点，求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3） 对任意的，先证明：， 构造函数 ，其中， ， 令可得， 因为，所以存在，使得，即， 由于，且余弦函数在上单调递减，所以， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由可得，则， 所以函数的最小值为 ， 故对任意的，， 当时，由（2）可知，当时，， 由不等式的基本性质可知，当时，对任意的，. 【解析】 【分析】（1）由题意得出可得出的值，再结合函数极值点的定义验证即可； （2）对任意的，可得，分、两种情况讨论，结合参变量分离法可得实数的取值范围； （3）对任意的，先证明：，构造函数 ，其中，利用导数分析该函数的单调性与最值，可证得，再由（2）中的结论和不等式的性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为为的极值点，且， 由题意可得，解得，此时， 由于函数的定义域为， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上为单调递增， 此时为函数的极小值点，符合题意，故. 【小问2详解】 不等式对恒成立，即， 即， 当时，则有，此时， 当时，则有， 因为，则，则，故. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级阶段性检测 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列，若，则正整数的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 现用Python生成随机密钥，该密钥共三位，前两位要求从、、、、、中进行选择（可以重复），第三位要求从、、、中进行选择，则可生成的密钥数量为（ ） A. B. C. D. 5. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 记椭圆的上顶点为A，右焦点为F，则以A为圆心，为半径的圆与E的交点个数为（ ）． A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7. 记为等比数列的前n项和，若，，，则（ ）． A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知函数，，若，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆过定点 B. 若圆与直线相交，则 C. 若圆与圆相切，则圆的面积为 D. 对任意非零实数，两圆存在与直线AB平行的公切线 11. 对于数列，，若对任意正整数n，恒成立，则称是“有界数列”，若，则称是阶乘数列，则（ ）． A. 对任意等差数列，存在等比数列使得是“有界数列” B. 对任意等比数列，存在等差数列使得是“有界数列” C. 对任意等差数列，存在阶乘数列使得是“有界数列” D. 对任意阶乘数列，存在等比数列使得是“有界数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数满足，则______． 13. 记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 14. 将含有甲，乙，丙，丁的8人均分成两个工作小组，然后从组中选择2人干工作，其余2人干工作；从组中选择1人干工作，其余3人干工作，已知甲不能干工作，乙要干工作，丙不与丁一组，则不同的分配方案总数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知在公差为d的等差数列中，，且，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项的和． 16. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 17. 如图，三棱台中，上、下底面均为正三角形，，，侧棱底面，且． （1）求三棱台的体积； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长． 18. 已知双曲线上有两点，． （1）求E的方程； （2）过点的直线l与E交于M，N两点． （ⅰ）证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若，求的外接圆方程，并判断点A是否在该圆上． 19. 已知函数． （1）若为的极值点，求的值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $