精品解析：陕西省安康市2024-2025学年高二下学期期中联考数学试卷

安康市2024-2025学年第二学期高二期中联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 2. “杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 3. 某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 5. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 0 B. 12 C. 16 D. 96 7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ） A. 15种 B. 28种 C. 31种 D. 63种 8. 已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ） A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 10. 设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ） A. 的实轴长为 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则 11. 已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ） A. B. C. 和均为等比数列 D. 除以3的余数为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为_____. 13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为_____，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 （1）在的展开式中，求的系数． （2）的展开式中，求的系数． 16. 设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. （1）求的方程； （2）记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 17. 已知正项数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，. （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角. 19. 记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点. （1）若，求的广义反曲点； （2）已知函数有三个广义反曲点： （ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数； （ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安康市2024-2025学年第二学期高二期中联考 数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设数列的前项积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列的前项积与前项积的关系即可求解. 【详解】数列的前项积，即； 所以. 故选：A 2. “杨辉三角”又称“帕斯卡三角”，是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加，其中杨辉三角的最上方的数字1表示第0行，则第9行第9个数是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据杨辉三角中的数字规律及组合数计算即可求解. 【详解】由杨辉三角知：第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第9行第9个数是. 故选：B. 3. 某高中足球场内有4条同心圆环步道，其长度依次构成公比为3的等比数列，若最长步道与最短步道之差为，则最长步道为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算求解. 【详解】设最长步道为，由题意可得，则. 故选：D. 4. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点 C. 当时， D. 在区间上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的性质即可作出各选项判断. 【详解】 根据上面导函数图象，可知：在区间上大于零，所以在区间上单调递增，故A正确； 由图可知，且在左边附近是大于零，在右边附近是小于零， 即可判断在左边附近是单调递增，在右边附近是单调递减， 所以在时取到极大值，故B正确； 由图可知当时，，故C错误； 由图可判断时，，故在区间上单调递减，故D正确； 故选：C. 5. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 6. 已知函数在处取得极大值，则（ ） A. 0 B. 12 C. 16 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】求导后利用极值点处导数为零求出参数，再验证后计算可得. 【详解】因为， 由题意，所以或， 经检验时，，可知时，取得极小值，不符合题意.所以，因此. 故选：A. 7. 一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（ ） A. 15种 B. 28种 C. 31种 D. 63种 【答案】C 【解析】 【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可. 【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人， 所以满足条件的去法数为种； 若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有种； 故该宿舍同学的去法共有种． 故选：C. 8. 已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出. 参变分离，转化为求的最值即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2025年春节档共上映6部电影全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录.其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座.小数想要观看这6部电影，则（ ） A. 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序 B. 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序 C. 若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式 D. 若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式 【答案】BD 【解析】 【分析】根据捆绑法计算求解A，应用全排列计算B，根据平均分组计算判断C，分类分组计算判断D. 【详解】若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体， 与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序为种，故A错误； 若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中， 《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半， 故共有种观看顺序，故B正确； 若将6部电影每2部一组随机分为3组， 则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况， 故分组方式为，故C错误； 若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5部、2和4部、3和3部电影的三种情况分组， 按1和5，有种分组方式； 按2和4，有种分组方式； 按3和3，有种分组方式， 所以共有31种分组方式，故D正确. 故选：BD. 10. 设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ） A. 的实轴长为 B. C. 若，则直线的斜率为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用即可；B利用对称性得出，再结合双曲线的定义即可；C利用即可求出点坐标，再计算直线的斜率即可；D利用并结合双曲线的定义可得，再利用勾股定理即可. 【详解】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A正确； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知前两项均为1的数列满足，记的前项和为，则（ ） A. B. C. 和均为等比数列 D. 除以3的余数为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据递推公式计算判断A，再应用裂项求和计算求解判断B，根据等比数列定义计算判断C，应用二项式展开式得出整除判断D. 【详解】对于A，令可得，令可得，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 故，故B错误； 对于C，由题意可得，所以数列是首项为、公比为2的等比数列， 所以，①，同理可得， 所以数列是首项为，公比为-1的等比数列，所以，②，故C正确； 对于D，①-②得.所以，， 因为展开后最后一项为-1，其余各项均能被9整除，所以能被3整除，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程为_____. 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率即可写出切线的点斜式方程. 【详解】易得，，故曲线在点处的切线方程为. 故答案为：（或） 13. 已知为首项和公差均为1的等差数列，则满足的的最小值为_____. 【答案】11 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出的表达式，进而得到的表达式，再根据求出的取值范围，最后确定满足条件的的最小值. 【详解】由等差数列的定义可得，则， 所以令，解得，所以满足条件的的最小值为11. 故答案为：11. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，E的离心率为_____，过作斜率为的直线交于A，B两点，则外接圆的半径为____ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由题意可得的离心率，不妨记点在轴上方,再根据过的斜率为，余弦定理求解，求解半径. 【详解】由题意可得的离心率为， 不妨记点在轴上方，则， 由可知，解得，， 故可知点到直线的距离， 设，则，由余弦定理知， 即，解得， 故，所以，故， 设则故， 即，解得， 故，， 在中，利用正弦定理得，代入数据得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求二项展开式中的特定项或指定项的系数 （1）在的展开式中，求的系数． （2）的展开式中，求的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得二项式展开式的通项为，令，求得，代入即可求解. （2）由，得到含有项为，结合，进而求得的系数． 【小问1详解】 解：由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式中的系数为. 【小问2详解】 解：由， 要使得含有项，可得， 其中中含的项为， 所以的系数为． 16. 设抛物线的焦点为，过作直线交于两点.当轴时，. （1）求的方程； （2）记点. （ⅰ）求点到直线距离的最大值； （ⅱ）当时，求的面积. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）当轴时，，与抛物线方程联立可得或，由计算即可求解. （2）（ⅰ）设，再利用点到直线的距离公式即可求解；（ⅱ）设，，联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 显然，当轴时，， 联立，得到，即或， 于是，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ），不妨设，即. 点到的距离，取等条件：， 故点到距离的最大值为. （ⅱ）设，，联立， 有，于是，， ，得到， 故此时点到的距离， 故的面积. 17. 已知正项数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据关系式利用的关系式可证明是常数列，可求得的通项公式； （2）利用错位相减法计算可得结果. 【小问1详解】 对于正项数列，令得，解得， 即可得，， 两式相减得到， 即， 故，于是是常数列， 可得， 故． 【小问2详解】 由（1）可得， 故， ， 两式相减得到 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形.分别为的中点，. （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角. 【答案】（1） 平面平面， ， 平面， 平面， 又平面， ， 又平面 平面， 又平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证得平面，进而求证平面，即可； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，又， ，底面为菱形，为的中点， 是等边三角形， 由（1）知， 所以四棱锥的体积. ， 如图，以为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，， 平面法向量为， 设平面法向量为， 则 令，则 为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 故平面与平面的夹角为 19. 记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点. （1）若，求的广义反曲点； （2）已知函数有三个广义反曲点： （ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数； （ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线. 【答案】（1） （2）（ⅰ）有三个； （ⅱ）证明如下： 由题意可转化为证明，，使得， 即证，，使得是方程的解， 即方程有三个解. 由， 所以， 即， 由解得， 代入成立，所以满足条件， 即的三个广义反曲点共直线. 【解析】 【分析】（1）根据广义反曲点的定义计算即可； （2）（ⅰ）记，，记，设，则，记，根据广义反曲点的定义结合即可判断；（ⅱ）即证明，，使得，即证，，使得是方程的解，即证方程有三个解.由由对应系数相等，列方程求解即可证明. 【小问1详解】 ， 记，则， 所以， 又，所以的广义反曲点是. 【小问2详解】 （ⅰ）， 记，， 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，则是的全部零点. 同理，设，则， 记，若是的广义反曲点的横坐标，则. 由， 所以，，是的全部零点， 所以的广义反曲点有三个. （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $