湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（七）

《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（七）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B B B C A ABD ABC 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】先解出集合，再进行交集运算即可． 【详解】根据题意，解得集合，而集合，所以． 故选：A． 2．C 【详解】因为， 且，故选项C正确. 3．C 【详解】由直线斜率为，得， 由在上的射影点恰为的中点，得，为等边三角形， 由对称性，得为椭圆的上顶点，则， 所以椭圆的离心率为. 4．B 【分析】根据组合和排列的定义，结合分组的不同分类讨论进行求解即可. 【详解】首先将6名志愿者分成4组，再分配到4个社区，可分为2种情况， 第一类：6名志愿者分成1，1，1，3， 分组方式有个； 第二类：6名志愿者分成，分组方式有个， 所以共种选派方案． 5．B 【分析】设至少对折次，纸张厚度超过38万公里，由题意可得关于的不等式，根据指数函数的性质解不等式即可. 【详解】设，则由题意(万公里)， 设至少对折次，纸张厚度超过38万公里， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以， 所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 故选：B. 6．B 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件. 7．C 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为，如图所示： 当弦的长度最大时，为正方形的内切圆的直径，则. ，. 圆的半径长为，由于点为正方形四条边上的动点，则， 所以. 8．A 【分析】先换元将原方程转化为关于的二次方程，求出的解，再结合的单调性、极值分析的根的个数，最终根据总实根为 4 个确定的取值范围. 【详解】令，则方程可化为，即， 解得或，即或. 已知，求导得 ，当时，，单调递增， 当时，；当时，. 对任意，在总有1个根； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得极大值也是在的最大值， 因此在的最小值为，且时，，时，， 所以当时，在上无根； 当时，在上有且仅有1个根； 当时，在上有2个根. 综上，当时，有1个根，当时，有2个根；当时，有3个根. 所以当时，，有且仅有1个根，有且仅有1个根，共有2个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有2个根，共有3个不同的实根，不合题意； 当时，，有且仅有1个根，有3个根，共有4个不同的实根，符合题意； 当时，，有2个根，有3个根，共有5个不同的实根，不合题意； 当时，，有3个根，有3个根，共有6个不同的实根，不合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】本题核心考查利用导数研究函数的单调性与极值，结合换元法、分类讨论思想，通过分析绝对值函数方程的根的个数，求解参数的取值范围，是函数与导数综合应用的经典题型. 9．ABD 【分析】根据线性相关系数的概念可判断A，根据正态分布的概念及性质可判断BC，根据方差的性质可判断D. 【详解】对于A，线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故A错误； 对于B，因为X服从正态分布，所以，故B错误 对于C，因为服从正态分布，则其正态分布曲线的对称轴为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知的方差为， 故所求标准差为，故D错误. 故选：ABD. 10．ABC 【分析】对于AB，由导数法研究函数的极值及最值判断；对于CD，由导数法研究函数的单调性，由数形结合判断交点个数. 【详解】对于AB：已知，则，令，则，解得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以在处有最大值，且1是的极值点，故AB正确. 对于CD：，又，，，. 故当时，的图象与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根. 当时，的图象与的图象无交点，即方程无实根，故C正确，D错误. 11．ABD 【分析】对于A选项，当点为中点时，利用向量证明即可；对于B选项，当点位于点（或棱上）时，体积最大，为；对于C选项，当点位于点时，此时线面角为，大于；对于D选项，先判断出点的轨迹为四段圆弧，然后求出长度即可. 【详解】对于A选项，当点为中点时， 所以，故A正确； 对于C选项，当点位于点时，为直线与平面所成角，故C错误； 对于B选项，当点位于点（或棱上）时，点到平面的距离最远， 此时四面体的体积最大，以点为例，此时 ，故B正确； 对于D选项，若，如图， 在棱上取点，使，在棱上取点使， 在棱上取中点，则，， 则点的轨迹由圆弧，，，构成，且其所在圆的半径依次为， ，，，圆心角依次为，，，， 圆弧，，，的长分别为，，，，故点的轨迹的长为. 12． 【分析】由二项式展开式通项公式即可计算求解. 【详解】由题可得二项式展开式通项公式为， 所以当时得展开式常数项为. 故答案为： 13． 【分析】利用倍角公式化简后换元求值域 【详解】利用，代入原函数：. 令，则原函数转化为：，为开口向上的二次函数，对称轴; 对称轴在区间的右边，即在单调递减. 当(即)时，；当(即)时，， 所以函数的值域为 14． 【分析】作出抛物线的准线l： 设A、B在l上的射影分别是C、D，连接AC、BD，过B作 于E，设 则 可求得直线AB的方程，与抛物线方程联立，设 利用根与系数的关系可求得，结合已知求得，可求周长. 【详解】作出抛物线的准线l： 设A、B在l上的射影分别是C、D， 由抛物线的对称性不妨设点在第一象限，连接AC、BD，过B作 于E， 设 则 直线AB的倾斜角 直线l的方程为： 联立方程组 ，可得 设 则 和 的平分线且相交于P点， 则 所以的周长为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知求得进而求得直线方程，与抛物线方程联立可求得. 15．(1) (2)当时，解集为，当时，解集为. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合直线点斜式求解即可； （2）求导,对分类讨论，进而求解的解集. 【详解】（1）当时，，则，， 所以曲线在处切线的斜率， 所以曲线在处切线的方程为，即. （2）由题意知，， 当时，对恒成立，故解集为， 当时，令，解得或（不符合题意舍去）， 若，则，即； 若，则，即， 故解集为， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案. （2）利用二倍角公式、两角和的余弦公式求得正确答案. （3）利用同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案. 【详解】（1）因为，，所以，所以. . （2）因为，， 所以. （3）因为，，所以， 又，所以， 所以 . 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 18．(1)，与之间高度线性相关 (2) 【分析】（1）先计算样本相关系数，再判断线性相关性； （2）先计算分布列，再求数学期望． 【详解】（1） ， ， ， ， ， 接近1， 变量与高度线性相关． （2）表示抽取的三个数据的最小值，可能取值为， 从5个数据中任取3个，共种， 时，含的组合数为种，故； 时，不含，含的组合数为种，故； 时，不含，不含，含的组合数为种，故； 的分布列为： 数学期望． 19．(1) (2) ①②； 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【详解】（1）当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. （2）①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得 ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令，，得， 将和代入，整理得， 即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ， 令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（七） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则（　　） A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且斜率为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．某市为全面了解社区居民生活需求、完善社区服务体系，选派6名志愿者到甲、乙、丙、丁四个社区开展社区走访调研活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（   ） A．540种 B．1560种 C．2640种 D．4800种 5．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折.借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10281米 珠穆朗玛峰的高度约为8844米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（    ）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. A．41 B．43 C．45 D．47 6．无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知正方形的边长为2，是它的内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点；当弦的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是（    ） A．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱 B．已知随机变量服从正态分布，则其期望 C．已知随机变量服从正态分布，且，则 D．已知一组数据的方差是3，则数据的标准差是12 10．函数，则下列说法正确的是（   ） A．在处有最大值 B．1是的一个极值点 C．当时，方程有两个不同的实根 D．当时，方程有一根 11．如图，在正三棱柱中，，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（    ） A．存在点，使得 B．若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为 C．直线与平面所成的最大角为 D．若，则点的轨迹的长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，常数项为_____（用数字作答）. 13．函数的值域为______. 14．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线分别过点A， B，且与 y轴平行，在直线上分别取点M均在点A， B的上方若和的角平分线相交于P点，则的周长为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知函数（）的导数为. (1)当时，求曲线在处切线的方程； (2)解关于的不等式. 16．已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)若且，求的值. 17．在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 18．近年来某用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该在线用户数（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码 在线用户数（单位：万） (1)求样本相关系数（精确到小数点后两位），并判断变量与之间的线性相关关系的强弱； (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据，记最小的数据为，求的分布列及数学期望． 注：样本相关系数． 19．已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $