湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（三）

《湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A A A D C BD BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】由， 得：的虚部为. 2．C 【分析】根据幂函数的概念求解． 【详解】由题意得且，解得，则， 故选：C． 3．B 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为. 故选：B. 4．A 【分析】根据向量的坐标运算求和，结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为. 5．A 【分析】由奇函数得，解出，根据奇函数的定义验证即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为，所以，所以， 解得．当时，验证得是奇函数． 6．A 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 7．D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 8．C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率. 【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，，    设关于原点对称的点为，则为平行四边形， 由，得三点共线，且，设，则， 在中，，解得，而， 在中，由余弦定理得，，解得，即， 所以椭圆的离心率. 故选：C 9．BD 【分析】A项，空间的基底向量必不共面，易推得结论错误；B项，利用两直线的方向向量垂直判断直线垂直即得；C项，利用直线的方向向量与平面的法向量不共线即可判断线面不垂直；D项，利用平面的法向量与平面内的向量垂直即得参数之间的数量关系. 【详解】对于A选项，因能构成空间的一个基底，故不能平移到同一个平面内，即 A，B，M，N不共面，A项错误； 对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确； 对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，则得：，显然该方程组无解，故C项错误； 对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量， 故解得：则有：，故D项正确. 故选：BD. 10．BCD 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确；    选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11．ACD 【分析】根据给定条件，得到，利用向量运算的坐标表示，结合三角恒等变换逐项求解判断. 【详解】对于A，因为为的重心，所以， ， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点在以原点为圆心，1为半径的圆上，而是等腰直角三角形， 点到直线距离为，点到距离最大值为， 因为为的重心，所以点到的距离为点到的距离的， 故，B错误； 对于C，过或垂直于的直线与直线关于轴或轴对称，该直线与圆相离， 当为直角三角形时，必有⊥， 故， 即，两边平方得， 则 ，C正确； 对于D，令中点为，则， ， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 12．0或 【分析】首先根据直观图的作法，分析得斜率为0时，当斜率不为0时，分类两种情况，斜率大于0和斜率小于0，分别根据题意画出图形，根据列出等式，即可求得线段的斜率． 【详解】根据直观图的作法，①当线段斜率为0时，线段的长度不发生变化，符合题意； ②当线段斜率大于0时，作出简图如图所示，过点作轴于点，设，其中， 在中，， 则线段的直观图，如图所示，过点作轴于点， 则，，， 所以， 在中， ， 因为， 所以，即， 所以线段的斜率为； ③当线段的斜率小于0时，作出简图如图所示，过点作轴于点，设，其中， 在中，， 则线段的直观图，如图所示，过点作轴于点， 则，，， 所以，， 在中，， 因为， 所以，即， 因为， 所以不成立，即线段的斜率小于0时不存在； 综上所述，线段的斜率为0或． 故答案为：0或 13． 【分析】根据已知，应用赋值法求出对应参数、系数和，即可求. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故答案为： 14．2 【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系，由不等式的解集求出. 【详解】因三次函数有一个极大值点， 则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于， 又恰有两个零点，且，因此是的极小值点， 求导得：，即是方程的二根， 有，即， 显然， 则，整理得， 两边平方得：，因成等比数列，即， 于是得，即， 而，有，显然有， ， 因的解集为，则5是方程的根， 即有，整理得：，解得或， 当时，，， 不等式， 解得，符合题意，函数的极大值为， 当时，，， 不等式，解得，不符合题意，舍去， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同. 15．(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）设的公比为，然后根据题意列方程可求出，从而可求出； （2）由（1）可得，从而可证得是以为首项，为公差的等差数列，进而可求出. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，， 由可得，整理化简得， 解得或（舍去），故. （2）由（1）可知，，则． 因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 故． 16．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）带相关系数公式计算即可；（2）（i）记事件，， 计算即可；（ii）根据条件概率计算得 ，再由服从二项分布解决即可. 【详解】（1）样本的相关系数为 （2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”， “随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”， 则，又， 于是 . （ii）在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为： ， 故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为 . 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证为平行四边形，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，可证面ABCD，法一：建立空间直角坐标系，求出线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算即可；法二：根据线面角的定义，找到直线与平面ABCD所成角即为，根据三角函数求值即可. 【详解】（1）连接，设，连接CF， 因为且，则为平行四边形，可得， 且平面，平面，所以平面． （2）因为，可知直线与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角， 连接，因为，则， 设，连接， 因为，且为BD中点，则， 且，平面，则平面， 由平面ABCD，可得平面平面ABCD， 又因为，则，即， 且平面平面，平面，所以面ABCD， 法一：可知MC，MD，两两垂直， 以点M为坐标原点，MC，MD，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，可得， 且平面ABCD的法向量为， 则， 所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为； 法二：过MD中点，连接FN，NC， 因为平面ABCD，，所以面ABCD， 直线CF与平面ABCD所成角即为， 可得，则， 所以直线与平面ABCD所成角的正弦值为. 18．(1)的单调递增区间为；的单调递减区间为. (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求出，根据正弦函数的图像与性质确定导数的正负从而确定函数的单调性； （2）（i）求出并利用辅助角公式化简，根据正弦函数的图像求出的零点从而求得的表达式，由的值为定值可确定为等差数列. （ii）通过化简将证明不等式转化为证明不等式，构造函数，利用导数判断的单调性求出最值从而证明，再利用条件所给不等式即可证明. 【详解】（1）时，， ， 令，得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的单调递增区间为， 的单调递减区间为. （2）（i）因为 ； 其中， 令，则， 所以，则当时，， 所以数列为等差数列. （ii）要证：，即证：， 即证：， 即证：，即证：， 因为，所以，则， 令， 所以，令，解得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以， 所以，不等式得证. 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）分析可知，曲线是以点为焦点的抛物线，可得出方程； （2）（i）设的方程为，联立曲线的方程，根据抛物线的焦点弦的性质求出的值即可求出的方程；（ii）设的方程为，写出直线与直线的方程，得出点的横坐标恒为，即得点在定直线上. 【详解】（1）因为直线和之间的距离为1， 所以点到直线的距离与到点的距离相等， 由抛物线的定义可得动点的轨迹是以点为焦点的抛物线， 设曲线的方程为，得，得， 故曲线的方程为; （2）（i）设，，的方程为， 由，消去得， 所以，. 因为， 所以，即直线的方程为.    （ii）证明：由抛物线的对称性，不妨令点在轴上方， 由（i）知，，， 设的方程为，，，， 由，消去得， 所以，. 直线的斜率，方程为， 直线的斜率，方程为 由，消去得， 整理得 ， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026届高三冲刺仿真训练数学试卷（三） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 2．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．若函数是奇函数，则实数（   ） A． B．1 C． D．2 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题是真命题的有（ ） A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α D．平面α经过三点是平面α的法向量，则 10．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则一定为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，且有两解，则的取值范围是 D．若的平分线交AC于点，则 11．在平面直角坐标系xoy中，满足，其中．O为坐标原点，为的重心，为的外心，下列说法正确的是（    ） A． B．存在，使得 C．当为直角三角形时， D．的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．平面直角坐标系中有线段，对应直观图上的线段是，若，则的斜率为________． 13．若，则______. 14．已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在正项等比数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，证明是等差数列，并求的前项和． 16．某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值： ，. (1)求样本的相关系数（精确到； (2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该药品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为，第2条生产线出现不合格药品的概率为，两条生产线是否出现不合格药品相互独立. （i）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率； （ii）若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率. 附：相关系数. 17．如图，在四棱柱中，底面ABCD是菱形，E为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求直线与平面ABCD所成角的正弦值． 18．已知函数 (1)当时，求f（x）的单调区间； (2)当时，设为的从小到大的第个极值点， （i）证明：数列是等差数列； （ii）若证明： 19．在直角坐标系中，点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)已知经过点的直线与交于，两点，且. （i）求直线的方程； （ii）若经过点的直线（与不重合）与交于，两点，且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $