精品解析：上海市进才中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

上海市进才中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） （2026年4月） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，且为第三象限的角，则__________. 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________ 3. 函数的初始相位为______. 4. 已知向量与向量平行，则的值为______. 5. 已知复数满足（其中为虚数单位），则________ 6. 记等差数列的前项和为，则______. 7. 关于的方程的解为__________． 8. 若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 9. 已知正方体的边长为2，点M满足，则___________． 10. 在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 11. 已知函数在区间上严格增，且在区间上只取得一次最大值，则的最小值是__________. 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 若是向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 15. 已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A. 若，则z为实数 B. 若，则z为纯虚数 C. 若，则 D. 若，则 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（ ） A. （1）错（2）对 B. （1）对（2）错 C. （1）（2）都对 D. （1）（2）都错 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 18. 已知复数（，是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． 19. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 20. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及严格减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 21. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）写出函数的“伴随向量”为，并求； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为.若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市进才中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 （时间120分钟，满分150分） （2026年4月） 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，且为第三象限的角，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由于，且为第三象限的角，故， 故 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可得结果. 【详解】由已知可得，该扇形的面积为. 故答案为：. 3. 函数的初始相位为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】因为函数为，所以初始相位为. 故答案为：. 4. 已知向量与向量平行，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量平行（共线）的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量与向量平行， 即向量与向量共线， 所以， 故答案为：. 5. 已知复数满足（其中为虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【分析】将式子变形再运用复数的运算法则得到，根据复数模的公式求得结果即可. 【详解】复数满足，变形得到 . 故答案为： 6. 记等差数列的前项和为，则______. 【答案】160 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前n项求和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，得， 所以， 所以. 故答案为：160 7. 关于的方程的解为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】已知， ， ， 或， 当时，，解得，不合题意； ，解得，符合题意； 当时，，解得，符合题意； ，解得，不合题意； 或． 8. 若是实系数一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得，即可求出. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，即， 整理得， 所以，解得，则. 故答案为：. 9. 已知正方体的边长为2，点M满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，利用求出M坐标，再按照数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则， 由得，即，可得. 故答案为：. 10. 在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【解析】 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 11. 已知函数在区间上严格增，且在区间上只取得一次最大值，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简函数表达式，进而利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】， 当时，，由于在上只取得一次最大值，因此，解得， 又时，，因此，即且，解得， 综上可得，故最小值为 12. 已知个两两互不相等的复数、、、、、满足，若（其中、；、、、），则正整数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设从而可得即、对应平面内距离为的点，从而利用数形结合求解即可. 【详解】设 因为,所以, 即 化为 故、对应平面内距离为的点，如下图中,    因为, 所以与、对应点的距离为或 即构成了点共个点， 故的最大值为 故答案为： 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16每题5分） 13. 若是向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的定义进行判断即可. 【详解】两个向量相等指的是大小相等且方向相同， 所以是的充分不必要条件。 故选：A. 14. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除D；根据时，由的取值情况排除A，B. 【详解】，其定义域为. 对于任意. 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除D选项； 当时，，所以，则； 当时，，所以，则，故排除B选项； 当时，，所以排除选项A. 故选：C. 15. 已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A. 若，则z为实数 B. 若，则z为纯虚数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】依题意由可知若可得，即A正确；若，可得，，即B正确；由可得，则z的取值有无数个；由可知，或，可得D正确. 【详解】由题意，设复数， 对于A，由，即，解得，所以复数z为实数，所以A正确； 对于B，复数，因为，可得，，所以复数z为纯虚数，所以B正确； 对于C，令，由整理得，则z的取值有无数个，所以C不正确； 对于D，由，可得，即， 解得或，所以，所以D正确. 故选：C. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（ ） A. （1）错（2）对 B. （1）对（2）错 C. （1）（2）都对 D. （1）（2）都错 【答案】B 【解析】 【分析】探索和谐数列的性质，可判断（1）的真假；举例说明（2）不正确. 【详解】数列为和谐数列， 则. 对（1）由，所以数列为和谐数列.故（1）正确； 对（2）设，则，所以等差数列为和谐数列，但不存在最大值.故（2）错误. 故选：B 三､解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，所成角为钝角，则且夹角不能为即可求解； （2）根据可求，再利用投影向量的计算公式求解即可. 【小问1详解】 ，所成角为钝角，， 又时，，此时，所成角为， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 ，， ，， 所以在上的投影向量为. 18. 已知复数（，是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用它在复平面内对应的点落在第二象限，构造不等式求解； （2）根据实系数一元二次方程，虚根共轭成对出现的性质，结合韦达定理求出，进而对分母有理化，最后利用复数模的公式求解． 【小问1详解】 ， ，对应复平面点为， 在复平面内对应的点落在第二象限， ，解得． 【小问2详解】 已知是实系数一元二次方程的一个虚根， 则其共轭也是该方程的一个虚根， 由韦达定理得，解得， ， ， ． 19. 近年来，某区认真践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域内修建矩形水池，矩形一边在上，点在圆弧上，点在边上，且，米，设. （1）若，求的长； （2）若矩形的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1） （2）当时，取得最大值，最大值为平方米. 【解析】 【分析】（1）先在中，利用正弦函数的定义求出，再在中，利用可得； （2）先利用三角恒等变换化简，再由正弦函数的单调性计算可得. 【小问1详解】 因为，在中，（米）， 故（米）， 在中，则（米）. 【小问2详解】 因为四边形是矩形，可得， 所以在中，，， 在中，，则， 于是， 则矩形的面积 ， 所以 由，得， 则当时，即时，， 所以当时，取得最大值，最大值为平方米. 20. 已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及严格减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【小问1详解】 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． 【小问3详解】 由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有3个根，即， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 21. 定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. （1）写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； （2）写出函数的“伴随向量”为，并求； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为.若，求的取值范围. 【答案】（1），的最大值为：. （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“伴随函数”的概念写出，求的最大值. （2）根据“伴随向量”的概念写出的 “伴随向量”，并求向量的模. （3）根据函数的最大值为，求的取值范围. 【小问1详解】 根据“伴随函数”的概念，的“伴随函数”为：，的最大值为：. 【小问2详解】 由， 所以，. 【小问3详解】 设， ， 所以当时，， 所以的伴随函数为，最大值为， 因为，所以. 所以的取值范围是： 【点睛】结论点睛：函数，的值域为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $