2026年九年级数学中考二轮复习圆的综合解答题专题训练

2026年九年级数学中考二轮复习 圆的综合解答题专题训练 1.如图，四边形ABCD的边AB为半圆O的直径，C,D两点均在半圆O上，连接AC,BD ,己知BC=CD,BE平分∠ABD交AC于点E. D E 0 B (I)求证：CD=CE: (2)若AB=10,BD=8,求BE的长 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接AC、BD交于点P,AB=AC,过点A作 AE‖BC交CD的延长线于点E. (I)求证：AE是⊙O的切线； (2)求证：AB2=BD·CE; (3)若AC⊥BD,AD=6,BC=8,求DE的长. 3.如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙0上，点C是半径0B上一点，且满足OC=2BC, 过点C作AB的垂线交AE的延长线于点D,过点E作⊙O的切线交CD于点F. E 试卷第1页，共3页 (I)求证：DF=EF; (2)已知cosA=月，EF=5. ①求⊙0的半径： ②如果点C在OB的延长线上，其它条件不变，则⊙0的半径为 4.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，D是边BC上一点，以CD为直径作 半圆O,与AC交于AC的中点E,连接BE, 2X D (I)求证：BE是半圆0的切线. (2)若BE=2√3，求图中阴影部分的面积.（结果保留） 5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AC为直径作⊙O,交BC于D,点 E是AB中点，连接AD,DE· B E (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若AC=3,AB=4,求BD的长， 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD为△ABC的角平分线，线段AD的垂直平分 线EF与AB相交于点O,以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M D B (I)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AM=4BM,BM=1,求AD的长. 试卷第1页，共3页 7.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的两点，连接AC,AD,且AC平分∠DAB.过 点C作AD的垂线交AD的延长线于点E, B (I)证明：EC是⊙O的切线； (2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F,且∠DAB=70·，求∠BFC的度数. 8.已知AB是⊙O的直径，AD,DE是⊙O的弦. D B B E E 图① 图② (I)如图①，若E为AB的中点，∠DAB=70°，求∠AED和∠DAE的大小： (2)如图②，若DE是⊙0的直径，过点D作⊙0的切线交BA延长线于点C,连接CE BD=DC,CA=2V3,求CE的长， 9.如图，△ABC中，∠B=90°，AM是∠BAC的角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. B M (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA: 3)若CF=2,sinC=,求AE的长. 10.如图，点O在线段AB上，⊙O与线段AB交于点A和E,弦CD垂直平分AB,垂足为F 试卷第1页，共3页 ,连接AC,BC,AD,BD. (I)求证：△ADF≌△BCF; (2)若∠ABC=30°，AB=12 ①求证：BC是⊙O的切线： ②四边形ADBC的面积是 11.已知在⊙0中，点C为AB的中点，连接0C交弦AB于点E,点D在⊙0上，连接 OA,OB,BD,CD. D D E 0 C F 图① 图② (I)如图①，连接AC,若∠D=28°，求∠OBA和∠OAC的度数； (2)如图②，过点A作⊙O的切线交0C延长线于点F,若∠D=30°，OA=3,求AB和 AF的长 12.如图1，已知矩形0ABC,以OA为直径作圆M,N在圆上运动(N不与点0，A重合)， 连接NO,NA,NB,NC,其中OA=6,AB=4. 试卷第1页，共3页 15.已知：△ABC内接于⊙O,∠C=90°，点D在圆上，弧DA=弧DB,连接AD, A A H E E B B B 图① 图② 图③ (①)如图①，求证：AB=2AD (2)如图②，点E在AB上，点G在CB延长线上，连接AG,EG,作EH⊥AG, ∠ABC=3∠EGB,∠BEG=∠AGB,求证：∠HEA=∠HEG; (3)如图③，在②的条件下，作EF⊥AE交AD延长线于点F,连接FG,四边形AEGF的面 积为，AD=3V5,求AC的长 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)证明见解析 (2)2V10 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形 外角定理，勾股定理等知识点 (1)根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠CDB,根据角平分线的定义得到 ∠ABE=∠DBE,根据圆周角定理得到∠BAC=∠CDB,以及根据三角形外角定理，得 证∠CBE=∠BEC,得证BC=CE,继而证明CD=CE. (2)连接OC交BD于点F,根据垂径定理得到OC垂直平分BD,进而得到BF和OB的长度， 进而根据勾股定理得到OF以及CF的长度，再根据勾股定理得到BC的长度，进而得到BE的 长度， 【详解】(1)证明：：BC=CD, ·∠CBD=∠CDB, :BE平分∠ABD, :∠ABE=∠DBE, :∠BAC=∠CDB, ·∠BAC=∠CBD, :∠BEC=∠BAC十∠ABE,∠CBE=∠CBD十∠DBE, :∠CBE=∠BEC, :BC=CE, BC=CD, CD =CE; (2)解：如图，连接OC交BD于点F, D E B.:BC=CD, :OC垂直平分BD, :BD=8, 答案第1页，共2页 ·BF=号BD=4, :AB=10, 0C=0B=AB=5, 在Rt△OBF中，OF=VOB2-BF2=3, ÷CF=0C-0F=2, A在Rt△CBF中，BC=VCF2+BF=2W5, :BC=CE=25, :∠ACB=90°， :在Rt△CBE中，BE=VBC2+CE2=2W10. 2.(1)证明见解析 (2)证明见解析 g215 【分析】(1)连接AO并延长交BC于点F,由AB=AC可知，点A为BC的中点，根据垂 径定理的推论可知AF⊥BC,结合AE‖BC可得，AF⊥AE,因此命题得证； (2)由AE‖BC可得∠ACB=∠CAE,由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=∠CAE, ∠ACB=∠ABD,从而证明△ACB~△DBA,则骺=器，结合AB=AC即可证明命 题 (3)容易证明△BCP△ADP,则器=器=器=是.设BP=4x,则AP=3x, 由勾股定理可得AB=AC=5x,从而求出CP=2x,DP=x,在Rt△ADP中，使用 勾股定理构造方程，求出x=怎，进而得到CP=5,DP=5,AB=45, BD=2S.先利用《2)的结论计算出CB,再使用勾股定理计算出CD,最后作差出 DE. 【详解】(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于点F, 答案第1页，共2页 D AB=AC, ·AB=AC,即点A为BC的中点， AF⊥BC, AE‖BC, ∴AF⊥AE, AE是⊙O的切线： (2)证明：“AE‖BC, ∠ACB=∠CAE, AB=AB ∠ACB=∠ADB, .∠ADB=∠CAE, AD=AD ∴.∠ACE=∠ABD, .△ACEM△DBA, :骺=器，即AB·AC=BD·CE, AB=AC :AB2=BD.CE: (3)解：：CD=CD, .∠CAD=∠CBD, 又：∠BPC=∠APD, .△BCP△ADP, 部=咒=器=骨=， :.AP=BP,DP=CP, 设BP=4x,则AP=3x, 答案第1页，共2页 :AC⊥BD, ∠APD=∠APB=∠CPD=90°， 在Rt△ABP中，AB=VAP2+BP2=V(3x)2+(4x)2=5x, AB=AC, ..AC=5x, :.CP=AC-AP=2x,DP=CP=x. 在Rt△ADP中，AP2+DP2=AD2, (3x)2+(3x)2=62, 解得x=5, CP-2x-DP-x.AB-5x-4V5.BD-BP+DP-x 由(2)可知，AB2=BD·CE, :CB=器==405 11, 在Rt△cDP中，cD=bP+cP=5)+(5)=25, :DE=CE-CD= 185 111 3.(1)见解析 (2)①，②8 【分析】(1)根据切线的性质以及DC⊥AB得出∠FED+∠AEO=90°， ∠OAE十∠D=90°根据∠OAE=∠AE0,即可得出∠FED=∠D,再根据等角对等边， 即可得证； (2)①连接BE交CD于点G,设AD=5k,则AC=3k,得出tanD=器=，根据 OC=2BC表示出BC,AB,再根据tan∠B=tan∠D得出CG,证明FE=FG=5,可得 DG=10,即可得出k=咒： ②根据①的方法求解，即可。 【详解】(1)证明：如图，连接0E, 答案第1页，共2页 E B “EF是⊙0的切线， ∠0EF=90°， ∠FED+∠AE0=90°， 又：DC⊥AB, ∴∠0AE+∠D=90°， 0A=0E, .∠0AE=∠AE0, ∠FED=∠D, :DF=EF; (2)解：如图，连接BE交CD于点G, E B CD L AB,cosA== 设AD=5k,则AC=3k, ∴DC=VAF2-AD=4k,则tanD=s=, 又：0C=2BC, .A0=0B=3BC, .AC=A0+0C=3BC+2BC=5BC=3k, :BC=k,AB=3k+k=号k 答案第1页，共2页 :AB为⊙0直径， ∠AEB=∠DEB=90°， :∠A+∠D=90°，∠A+∠B=90°， ∠B=∠D, tan∠B=tan∠D,即器=寻， :CG=BC=×k=品k, ·DG=DC-CG=4k-品k=8k, :∠FED=∠D,∠FED十∠FEG=90°，∠D+∠FGE=90°， .∠FEG=∠FGE, .FE=FG=5, :.DG=DF+FG=2FG=10, 0k=10, 解得：k=, AB=号k=号×咒=界， :⊙0的半径为架 ②如图，当C在AB的延长线上时，连接EB交CD的延长线于点G, E B :0C=2BC, :AO=OB=BC, :AC=A0+0C=BC+2BC=3BC=3k, 答案第1页，共2页 :BC=k,AB=2k :AB为⊙0直径， ∠AEB=∠DEB=90°， :∠A+∠D=90°，∠A+∠B=90°， ∠B=∠D, tan∠CBG=tan∠D,即号=， CG=BC=k :DG=DC+CG=4k+k=翠k, :∠FED=∠D,∠FED十∠FEG=90°，∠D十∠FGE=90°， ,∠FEG=∠FGE, FE=FG=5, DG=DF+FG=2FG=10, :号k=10, 解得：k=器， :AB=2k,则0A=k=8, 即⊙0的半径为器. 4.(1)见解析 225-3m 【分析】(I)连接OE,DE,根据直角三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论. (2)根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可. 【详解】(1)证明：如图，连接OE,DE, D ∠ABC=90°，∠A=60°，E是AC的中点， BE=AE=CE=AC,∠C=30°， 答案第1页，共2页 ∠A=∠ABE=60°， :0E=0C, .∠0EC=∠C=30°， :∠AEB=180°-60°-60°=60°， :∠BE0=180°-∠AEB-∠0EC=90°， OE⊥BE, :0E是⊙0的半径， BE是⊙O的切线： (2)解：由(1)知∠D0E=∠0EC+∠C=60°，∠BE0=90°， ÷∠0BE=30°， ÷0B=20E, 设半圆O的半径为R, R2+(2N5)2=(2R)2 解得R=2(负值不合题意，舍去)， 阴影部分的面积=S△0BE-S角形0DE=支×23×2-器=2V3-号π. 5.(1)见解析 29 【分析】(1)连接0D,由直径所对的圆周角等于90度得出∠ADC=∠ADB=90°，由 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出AE=BE=DE,由等边对等角得出 ∠EAD=∠EDA,∠OAD=∠ODA,由角的和差关系进而可得出 ∠ODE=∠0AE=90°，即0D⊥DE. (2)证明△BDA~△BAC,由相似三角形的性质得出器=器，由勾股定理求出BC, 进而可求出BD· 【详解】(1)证明：连接OD. 答案第1页，共2页 :AC为⊙0的直径， ∴∠ADC=∠ADB=90o, ∴△ADB为直角三角形， E是AB中点， ∴AE=BE=DE, ∴∠EAD=∠EDA. 0A=0D, .∠OAD=∠ODA, ∴∠OAD+∠EAD=∠ODA十∠EDA. :∠BAC=90°， .∠0DE=∠0AE=90°， OD⊥DE DE是⊙O的切线： (2)解：：∠B=∠B,∠BDA=∠BAC=90°， .△BDA△BAC :器-器 :在Rt△ABC中，AC=3,AB=4, :BC=V32+42=5, 婴=， BD=曾， 6.(1)见详解 2@ 【分析】(1)连接OD,根据EF是AD的垂直平分线，得出OA=OD,则 答案第1页，共2页 ∠OAD=∠ODA,结合AD为△ABC的角平分线证明ODIAC,证出OD⊥BC,即可证 明BC是⊙O的切线. (2)由题意得：BM=1,AM=4BM=4，在Rt△BOD中勾股定理求出BD,证明 △BOD△BAC,求出AC.连接DM,证明△ACD△ADM,得出 AD2=AC·AM=号，即可求解. 【详解】(1)解：连接0D, B :EF是AD的垂直平分线，O在EF上， ÷0A=0D, ÷∠OAD=∠ODA, :AD是△ABC的角平分线， :∠OAD=∠CAD, .∠ODA=∠CAD, :OD AC, :∠C=90°， ÷AC⊥BC, ÷OD⊥BC, 又：0D是⊙O的半径， :BC是⊙O的切线. (2)解：由题意得：BM=1,AM=4BM=4, :AM在⊙0上，且圆心O在AB上， :AM是⊙0的直径， ⊙0半径r=0D=OA=0M=2,AB=BM+AM=5,0B=BM十0M=3, :OD⊥BC, 在Rt△B0D中：BD=V0B2-0D2=V32-2=5, 答案第1页，共2页 OD LAC, .△BOD△BAC, 器=器， 即品=， 解得AC=罗 连接DM, :AM是直径， ÷∠ADM=90°=∠C, 又∠CAD=∠DAM, :△ACD△ADM, “指=品， 即AD2=ACAM=号×4=9， A0=厚=2@ 3 7.(1)见解析 (2)110° 【分析】(1)连接OC,根据角平分线的定义和等边对等角证明∠DAC=∠OCA,则 AE‖OC,再证明OC⊥EF,据此可证明结论； (2)根据平行线的性质得到∠BOC的度数，再由切线的性质得到∠OCF,∠OBF的度数， 再根据四边形的内角和为360度可得到答案 【详解】(1)证明：如图所示，连接0C, 答案第1页，共2页 AC平分∠DAB, ∠DAC=∠BAC: :0A=0C, .∠OAC=∠0CA, ∠DAC=∠OCA, AEl OC, :AE⊥EF, OC⊥EF, :0C是⊙0的半径， EF是⊙O的切线， (2)解：由(1)得AE‖OC,EF是⊙0的切线 :∠DAB=70°， ∴.∠BOC=∠DAB=70°， 由切线的性质可得∠0CF=∠0BF=90°， .∠BFC=360°-∠B0C-∠0CF-∠0BF=110°. 8.(1)∠AED=20°，∠DAE=115° 22W21 【分析】(1)根据直径所对圆周角为直角和圆周角定理得到∠AED=∠B,再根据E为 AB的中点，得到∠BAE=∠ABE=专∠AEB=45·,即可求解： (2)根据切线的性质结合圆周角定理推出∠D0C+∠DCB=3∠DCB=90°，求出 ∠DCB=30°，利用含30度角直角三角形的特征得到0D=2V5,0C=4V3,利用勾股 定理求出DC=VOC2-OD2=6,再利用勾股定理即可求解. 【详解】(1)解：如图，连接BE, 答案第1页，共2页 D A B E 图① :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，∠DAB=70°， ∠B=90°-70°=20°， :∠AED与∠B都是AD所对的圆周角， ∠AED=∠B=20°， :E为AB的中点， AE=BE :∠BAE=∠ABE, :AB是⊙O的直径， .∠AEB=90°， :∠BAE=1809C=45°， 2 ∠DAE=∠DAB+∠BAE=70°+45°=115°. (2)解：：CD是⊙O的切线，DE是直径， DE⊥CD,即∠CDE=90°， BD=DC, ∠DCB=∠B, OB=OD, ∠D0C=2∠B, .∠DOC=2∠DCB, ∴.∠D0C+∠DCB=3∠DCB=90°， ∠DCB=30°， 在Rt△DC0中，∠DCB=30°， 答案第1页，共2页 0D=0C, OD=0A, :0A=专0C, ∴0A=CA=2W3, .0D=2V5,0c=45, 在Rt△DC0中，DC=VOC2-OD2=6, :DE=20D=4V3,∠CDE=90, 在Rt△CDE中，CE=VCD2+DE2=2W21 9.(1)相切，见解析 (2)见解析 3号 【分析】(1)连接OM,由角平分线的性质及等腰三角形的性质得OM‖AB,再由 ∠B=90°即可得OM⊥BC,从而得BC与⊙O的位置关系是相切； (2)连接FM,证明△CFM∽△CMA即可； (3)连接0M,EF,在Rt△0MC中，由sinC=,设0M=0F=3a,则0C=5a, 从而CF=2a=2,求得a的值，则可得AF,再由正弦函数关系即可求得AE的值. 【详解】(1)解：BC与⊙O的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接OM, :AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, 0A=OM, ∠0MA=∠0AM, ∠OMA=∠BAM, OM‖AB, ∠B=90°， .∠0MC=∠B=90o, 答案第1页，共2页 即OM⊥BC, :OM为圆的半径， ∴.BC与⊙O的位置关系是相切， B (2)证明：如图，连接FM, :AF是圆的直径， ∴∠AMF=90°=∠B, :AM是∠BAC的平分线， .∠BAM=∠OAM, ∴∠AMB=90°-∠BAM=90°-∠0AM=∠AFM, .∠AMC=180°-∠AMB=180°-∠AFM=∠MFC, .△CFM∽△CMA, 器=器， 即CM2=CF.CA: B M (3)解：如图，连接OM,EF, 由(1)知∠0MC=90°， 在Rt△OMC中，sinC=光=号， 设0M=0F=3a,则0C=5a, .CF=0C-0F=2a=2, 解得a=1, .0F=3,AF=20F=6, 答案第1页，共2页 :AF为圆的直径， ∠AEF=90°， ∠B=∠AEF=90o, :EFI BC, .∠AFE=∠C, :sin∠APE=5=手， AE=寻AF=号. B M 10.(1)证明见解析 (2)①证明见解析：②245 【分析】(1)由垂直平分线的性质可得AF=BF,CD⊥AB,由垂径定理可得CF=DF ,进而证明△ADF≌△BCF(SAS); (2)①连接OC,由垂直平分线的性质可得AC=BC,则∠ABC=∠BAC=30·,从而 得到∠ACB=120·,.由0A=0C可得∠0CA=∠BAC=30°，则∠0CB=90°，因 此BC是⊙O的切线： ②容易证明四边形ADBC是菱形，则AF=专AB=6,CD=2CF,利用三角函数计算出 CF=2y3,则CD=4V3,使用菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】(1)证明：：弦CD垂直平分AB, AF=BF,CD⊥AB, 由题意可知，AE为⊙O的直径， :CF=DF, 在△ADF和△BCF中， AF-BF ∠AFD=∠BFC DF=CF 答案第1页，共2页 △ADF≌△BCF(SAS): (2)解：①证明：如图，连接0C, F B E D :弦CD垂直平分AB, AC=BC, ∠ABC=∠BAC=30°， ∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=120°， :0A=0C, ∴∠0CA=∠BAC=30°， ∴∠OCB=∠ACB-∠0CA=90°，即0C⊥BC, .BC是⊙O的切线： ②：AF=BF,CF=DF, .四边形ADBC是平行四边形， 又：CD⊥AB, .四边形ADBC是菱形， .AF=专AB=6,CD=2CF, 在Rt△ACF中，CF=AF,tan∠BAC=6×tan30°=2W5, CD=2CF=43, S装形ADBc=吉AB·CD=克×12×4V3=243 11.(1)∠0BA=34°.∠0AC=62° (23V5,35 【分析】(1)根据题意得，∠B0C=∠A0C=2∠D=56°，再根据等腰三角形的定义可 得∠0AC=∠0CA=180-C04=620. 2 (2)由圆周角定理得∠A0E=60°，可求出AE,AF的长，进而可求出AB的长. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：“C为AB的中点， D C “BC=AC OC⊥AB. :∠BDC=28°， ∠B0C=∠C0A=2∠D=56°. ∴∠0BA=90°-∠B0C=34°. ∵0C=0A, ∠0AC=∠0CA=180-04=620. 2 (2)解：由(1)知∠C0A=2∠D,OC⊥BA. D C F ∠D=30°，0A=3, .∠A0E=60°， ∴AE=0Asin60°= 3 2, C为AB的中点， AB=2AE=33, :AF切⊙O于点A, .OA⊥AF,即∠OAF=90°， 又∠A0F=60°， :.AF=OAtan60=33. 答案第1页，共2页 12.V10 (2①（器，器）；②t<-13 【分析】(1)根据△NBC的面积得到，当NE最小时，S△wBc的值最小，利用“圆上一点 到直线BC的距离最小”得到，当N在线段ME上时，NE最小，根据矩形的性质证明四边形 ABFM为矩形，进而求出BF、NF的长，最后利用勾股定理求解即可： (2)①连接MN,BM,过点N作ND⊥OA交于点D,根据圆周角定理得到 ∠ONA=90°，易证得△OND∽△NAD,进而得到DN2=OD·AD,根据切线的性 质得到BM垂直平分AN,证明△AND△BMA,进而得到DN=Dy,据此列出 AB 等式，求出n的值，进而得到点N的坐标； ②过点N作NP⊥OC,NQ⊥AB,垂足分别为点P,Q,则NP=n,NQ=6-n,用含 n的代数式表示出各个三角形的面积，进而得到y关于n的表达式，利用二次函数的性质求 出y的最大值，从而解决不等式恒成立问题 【详解】(I)解：如图，过点N作NE⊥BC于点E,连接MN, y 图1 :SANBC-=BC×NE=专×6×NE=3NE, :当NE最小时，S△NBc的值最小， 当N在线段ME上时，NE最小，如图， E(F) B P :四边形OABC为矩形， 答案第1页，共2页 :∠0AB=∠ABC=90°， :MF⊥BC, ·∠MFB=90o, :四边形ABFM为矩形， :MF=AB=4,BF-AM=3, :0A=6, ÷MN=0A=3, :NF=MF-MN=4-3=1, 在Rt△BNF中，BN=√BF2+NF2=V9+1=V10; (2)①连接MN,BM,过点N作ND⊥OA交于点D, B ·∠NDO=∠NDA=90°， .∠N0D+∠OND=90°， :AO是圆M的直径， :∠ONA=90°，即∠0ND+∠DNA=90°， .∠NOD=∠DNA, :∠ODN=∠NDA=90°， ÷△OND△NAD, …器-器， DN2=0D:AD=n(6-n)=6n-n2, :线段BN,BA分别与圆M相切于点N,A, :BN=AB=4, 又：MA=MN, 答案第1页，共2页 ·BM垂直平分AN, :BMON, :∠BMA=∠DON=∠DNA, :∠NDA=∠BAM=90°， ·△AND△BMA, …器=器， =学，即DN=型， 4 又：DN2=6n-n2, a6n-n2=62, 整理得25n2-204n+324=0, 解得n=碧或n=6(舍)， ADN=型-器 4 :点N坐标为（第，器）： ②如图，过点N作NP⊥OC,NQ⊥AB,垂足分别为点P,Q, 则NP=n,NQ=6-n, S1=0Y-9=2,S3=4N9-69=2(6-), C B D S1S3=2n·2(6-n)=24n-4n2, 由①知，DN2=6n-n2, s号=(9)2=(g4)2=9DN2=9(6m-n2), ∴y=S2-2S1S3=9(6n-n2)-2(24n-4n2)=-(n-3)2+9, :-1<0, 答案第1页，共2页 “y有最大值， 当n=3时，ymax=9, :对任意满足条件的实数y都满足y<芳恒成立， :岁>9， .t<-13 【点晴】本题考查矩形的性质、圆的切线性质、勾股定理、平面直角坐标系中点的坐标表示、 三角形面积、二次函数的性质、一元二次不等式恒成立问题，熟练掌握相关性质定理，数形 结合的思想方法的运用是解题的关键. 13.(1)见解析 2AC=6,GD=45 【分析】(1)根据CG=AG得到∠CAG=∠ACG,再根据圆周角定理得出 ∠AFD=∠ACD,进而得到∠AFD=∠CAG,即可求证： (2)由题意可得OD=OA=AB=6,DF=12,证明△ACE兰△ODE(ASA), 得到AC=0D=6,AE=0E=号0A=3,进而得到CD=6V3,再证明 △ACGM△DFG,推出DG=2CG,则DG=号DC=4V3. 【详解】(1)解：：CG=AG, .∠CAG=∠ACG, :∠AFD=∠ACD, .∠AFD=∠CAG, :ACIID F: (2)解：AB=12, .0D=0A=AB=6,DF=12, 由折叠的性质CD⊥AB, :.CE=DE, ACIDF, ·.∠ACE=∠ODE, 在△ACE和△ODE中， 答案第1页，共2页 ∠ACE=∠ODE CE=DE (∠AEC=∠0ED=90。' △ACE≌△ODE(ASA), AC=0D=6,AE=0E=0A=3, 根据勾股定理可得：CE=VAC2-AE2=35, 则CD=65, :∠ACG=∠GFD,∠CAG=∠GDF, .△ACG△DFG, 骺-骺=品=， CG=AG, :%=克，即DG=2CG, :GD=号DC=45. 14.(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】(1)首先求出半径，然后列式求解； (2)用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2 分米的长方形的面积，然后计算即可。 【详解】(1)解：由题意得：半径为4+1=5（分米）， 20×2+2×3.14×5 =40+31.4 =71.4(分米)； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； (2)解：3.14×(4+2)2-3,14×42+2×20×2 =113.04-50.24+80 =142.8(平方分米)； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米. 15.(1)见解析 答案第1页，共2页 (2)见解析 ③)AC=聘 【分析】(1)连接BD,根据题意得DA=DB,∠D=90·,再利用勾股定理求解即可求 证结论： (2)设∠EGB=a,根据题意证EA=EG,再结合EH⊥AG即可求证结论； (3)作FM⊥EH交EH延长线于点M,作FN⊥AG于点N,证 △AHE≌△EMF(AAS),得AH=EM,四边形MHNF为矩形，根据 :S四边形AEGF=S△4GE+S△AGF,求出AG=13,设AG交⊙0于点K,在KA上截取 KR=KG,根据角的关系求得AR=RB,设RK=KG=x,根据 BK2=AB2-AK2=RB2-RK2列方程求解得KG=4,BK=3,BG=5, sin∠AGC==寻，求出AB可解答. 【详解】(1)证明：连接BD B 图① "∠C=90° ·.AB为⊙O的直径 ÷∠D=90°， :弧DA=弧DB :DA=DB 在Rt△ADB中AB=VDA2+DB2=V2DA=V2AD (2)证明：设∠EGB=a 答案第1页，共2页 H B G 图② :∠ABC=3∠EGB, ·∠ABC=3, :∠ABC=∠BEG+∠EGB, .∠BEG=2a, :∠BEG=∠AGB, ÷∠AGB=2a, ·∠AGE=∠AGB-∠EGB=, :∠ABC=∠BAG+∠AGB, ÷∠BAG=, ·∠BAG=∠AGE, ÷EA=EG, :EH⊥AG, :∠HEA=∠HEG; (3)解：作FM⊥EH交EH延长线于点M,作FN⊥AG于点N, A M D E B 图③ :EH⊥AG, ÷∠1=90°，HA=HG=AG, :∠2+∠3=90°， :EA⊥EF, ·∠AEF=90o, .∠4十∠3=90°， ∠2=∠4， 答案第1页，共2页 :FM⊥EH, ∠M=90°， :∠M=∠1，tan∠BAD=器=1， :∠EAF=∠EFA=45°， :EA=EF, 又：∠1=∠M, ·△AHE≌△EMF(AAS) :AH=EM EM=专AG, :FN⊥AG, ·∠6=90 '∠5=∠6=∠M=90°， :四边形MHNF为矩形 :MH=FN, ·AH=EM=EH+MH=EH+FN :S四边形AEGR=SAAGE+S△AGR,S四边M形EGR=华2 aS△4E十SA4AGR=g9, ∴克AG·FN+AG·EH=, AG(FN+EH)=299, :吉AG·EM=四 AG·AH=9, ·AG·AG=, :AG2=9 ÷AG=13, :AD=35, :coS∠BAD=0 答案第1页，共2页 :AB=3y10 如图设AG交⊙O于点K,在KA上截取KR=KG R K E B G 图③ :AB为⊙O的直径， ∠BKA=90°， ·BK⊥AG, ÷RB=BG, ·∠7=∠BGR=2a, :∠8=∠7-∠BAG=, AR=RB, 设RK=KG=x, AR=13-2x=RB,AK=13-x,BK2=AB2-AK2=RB2-RK2 :(310)-(13-x)2=(13-2x)2-x2, 4X=4, RK=KG=4,RB=BG=13-2x=5,BK=V52-42=3, asin∠AGC=骼=， sin∠AGC=a%=, …鳄= 答案第1页，共2页