上海同济大学附属澄衷中学等学校2025-2026学年下学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷

**基本信息** 七年级数学期中卷以健康骑行、快递分拣等现实情境为载体，融合不等式、三角形、平行线等核心知识，通过基础题与综合探究题的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/12|不等式解集、三角形三边关系（第3题）|结合几何直观（第5题骑行示意图）| |填空|12/24|不等式应用（第12题登山分矿泉水）、命题真假（第10题）|融入平衡积木游戏（第15题）| |解答|3/21|平行线证明（第23题快递分拣模型）、反证法（第25题）|强调逻辑推理过程| |综合|2/19|方程与不等式综合（第26题跑鞋购买方案）、平行线性质探究（第27题）|体现模型意识与创新应用|

2025学年第二学期期中诊断练习 七年级数学学科斌卷（答案） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分)（每题只有一个选项正确） 1.c 2.D3.B4.B5.A6.C 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 74-3)20 8.a<0 9.0<x≤2 10.真11.m≥212.513.45° 14.8 15.3 16.106° 17.112° 18.2或20 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19.解：4-3(8-x)≤5(x-2) 4-24+3x≤5x-10…(2分) 3x-5x≤-10+24-4 -2x≤10…（1分) x≥-5；…（1分) 所以，原不等式的解集是x≥-5.…(1分) 解集在数轴上表示如下：青白方之。十士寸才…(1分) 20.解：2-19x+2<1 3 6 2(2x-1)-(9x+2)<6…（1分) 4x-2-9x-2<6…（1分) -5x<10…（1分) x>-2;…(1分) 解集在数轴上表示如下：方-43二2-01之34…（1分) 所以，不等式的负整数解为x=-1. 5x≤x-14+a① 21.解： 3-2x≥5-2x② 06 4 由①得，x≤a-14…(1分) 4 由②得，X≥9…(1分) 根据题意得， a-149 …（1分) 42 2a-28=36…（1分) a=32.…（1分) 5x≤x-14+a 所以.当a=32时，关于x的不等式组3-2x之5-2x恰有一个解…(1分） 64 22. D 解：(1)解：∴如图，AD即为所求.…(2分) 点A到BC的距离是线段AD的长.…(1分) (2)解：如图，CE,CF即为所求.…(2分) (3)解：与△CEF面积相等的三角形是△CEA.…(1分) 缺垂直符号扣1分，缺字母扣1分，缺总结语句总共就扣1分： 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23.证明：，AB∥CD（已知)， ∴.AOC=∠OCD(两直线平行，内错角相等)…(2分) OB平分∠AOC(已知)， ∠B0C=∠40C(角平分线的定义)，…(1分) 2 同理，∠0CF=】∠0CD,…(1分) 2 ∴.∠EOC=∠OCF(等量代换) .OE∥CF(内错角相等，两直线平行)…(2分) .∠EOF+∠OFC=180°（两直线平行，同旁内角互补）…(1分) 24.证明：如图，延长EF交CD于点P, .AB∥CD(已知)， ∴.∠AEF=∠EPD（两直线平行，内错角相等)…(2分) 又'∠AEF=∠GHD（已知)， ∠EPD=∠GHD(等量代换)，…(1分) ∴.EP∥GH(同位角相等，两直线平行)，…(1分) ∴.∠EFN+∠FNG=180°（两直线平行，同旁内角互补），·(1分) 又，∵MG∥FN(已知)， .∠NG+∠G=180°（两直线平行，同旁内角互补），…(1分) ∴.∠EFN=∠G.…（1分) 25.证明假设所求证的结论不成立，即α∥b,…（1分) 则1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补)…(2分) 这与已知条件(4+∠2≠180°)矛盾，故假设（α∥b)不成立.…(2分） 所以，直线a与b不平行.…(1分) 上述证明过程的证明方式是反证法.…（1分) 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分） 26.解：任务一：设B型运动跑鞋的单价为x元，则A型运动跑鞋的单价为(x+20)元， 根据素材二得2(x+20)+3x=640,…（1分) 解得x=120,…(1分) 则x+20=140, 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元；…（1分) 任务二：设A型运动跑鞋买(M<30)双，则B型运动跑鞋买(50-m双， 根据素材三得50-加≤m,…(1分) 解得≥20；…（1分) 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：140×15+140x(-15)×0.75=105m+525(元)， 购买B型运动跑鞋的费用为：120×20+120×(50-m-20)×0.8=-96+5280（元)：…（1分) 根据素材五得，105m+525-96m+5280≤6000，…（1分) 部钓加g 综上所述，20≤m≤195 9 所以有以下两种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；…(1分) 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双.…(1分) 27.解：(1).∠AEP=∠EPN ,AB∥CD ∴.MN∥CD(在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)(1分) ∴∠CFP=∠FPN.…(1分) ∴.∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP(等量代换) ∴.∠EPF=∠AEP+∠CFP. (2)解：猜想∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°，理由如下： 同理可得∠EPF=∠BEP+∠DFP,·(1分) .∠AEP+∠BEP=180°，∠CFP+∠DFP=180°， ∴.∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°，…(1分) .∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°：…(1分) (3)解：①同理可得∠AEP+∠CFP+∠BPF=360°， .∠EPF=108°， .∠AEP+∠CFP=252°，…(1分) '∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q, ∠AB0An∠C0-C即，1分) :∠ABG=∠ABQ,∠CPG=∠CRO, 3 3 ∠ABG=∠ABP,∠CG=∠CP,.(1分) 6 6 &2G=2ABG+∠CFG-ARP+ZCBP=ABD+∠CP42:…1分 6 6 ②∠G=360°-.…（1分) 2m2025学年第二学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷 (满分100分，考试时间90分钟) 2026.4 题号 二 三 四 五 总分 得分 考生注意： 舒 1.本试卷含五个大题，共27题.答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、练习卷上答题一律无效 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤： 福 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1.不等式2x-1≤3的解集在数轴上表示正确的是( A. -10123→； B D 10 2.下列不等式是一元一次不等式的是( 北 O A.x2+x+9≥0；B.x+1=0: C.x+y>0: D.-9x≥7x-6. 3.已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm,若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三 角形，那么a的取值可以是( A.2; B.6: C.8; D.9 4. 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是( 叔 A.∠3=∠A: B.∠1=∠2； C.∠D=∠DCE: D.∠D+∠ACD=180° 5.健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中AB∥CD,AE∥BD, 若∠CDB=∠ACD=70°，则∠EAC的度数为( A.40°； B.50°； C.60°： D.30° 第4题图 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，己知点D,E,分别是边BC,AD的中点，且Sc=4cm2,则SAB2 等于( 1 A. B. 2cm2 C.lcm2; D.2cm2. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 用不等式表示：“4减去y的倍的差是一个非负数 8.根据不等式的基本性质，若“6>b”可变形为“6<ab”,则a的取值范围为▲ 9.不等式组 x>0的解集是▲ x≤2 10 “如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是▲（填“真”或“假）命题， 11.关于x的不等式组∫x<m+1无解，m应满足的条件▲一。 x>2-1 12.登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人 带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶.则登山有▲一人· 13.小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板AB绕中心O上下转动.当小强从A运动到A'的 位置时，∠AOA=45°，则∠BOB'的度数为▲一· ① ② ③ B 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，点B,C在直线I上，且BC=2cm,△ABC的面积8cm2.若P是直线I上任意一 点，连接AP,则线段AP的最小长度为▲cm. 15.小明在玩“平衡积木挑战”游戏，如图，他用若干块长度为1、材质均匀且质量相等 的长方体积木整齐叠放（每块积木重心均在其中心），沿水平方向依次向外延伸，保证积木 在不倾倒的前提下尽可能伸远：保持积木①、②的相对位置不变，将它们作为一个整体向外 推出，这个组合最多能比积木③的右边缘伸出▲的长度. 16.有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，PQ为直径，一单色光线AP从 点P射入，折射光线PB从点B射出，出射光线BC∥P2.若AP与QP延长线的夹角 ∠APD=74°，则入射光线AP所在直线与出射光线BC所在直线相交形成的∠BEP的度数为 E D M B 第16题图 第17题图 第18题图 I7.如图，在等宽纸带ABCD中，AD∥BC.将该纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在C', D的位置.若AED'=44°，则∠EFC'=▲°. 18.如图，在直线上AB取一点O,向上作一条射线OC,使∠BOC=50°，将一直角三角 板顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中 ∠OMN=30°.将图中的三角板绕点O按每秒10°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的 过程中第▲秒时，边MN所在直线恰好与射线OC平行. 2 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19.解不等式：4-3(8-x)≤5(x-2),并在数轴上表示出它的解集 -5-4-3-2-H01234 20.求不等式2x-1_9x+2<1的负整数解 3 6 5x≤x-14+a 21.当a为何值时，关于x的不等式组 3-2x、5-2x 恰有一个解？ 06 4 22.如图，已知△ABC,根据下列要求画图并回答问题： (I)过点A画AD⊥BC,垂足为D;点A到BC的距离是线段▲的长； (2)过点C画CE∥AB,交AD于点E;再画CF⊥AC,交AB于点F: (3)连接EF,图中与△CEF面积相等的三角形是▲一· 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23.科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线.如 图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图.如图②，AB∥CD,OE平分 ∠AOC,CF平分∠OCD.求证：∠EOF+∠OFC=180°.阅读下面的解答过程，并填空. 图① 图② 证明：AB∥CD(已知)， ∴.∠AOC= ,OE平分∠AOC(已知)， :▲一=号∠A0c(角平分线的定义)， 2 同理，∠0CF月 ∴.∠EOC=∠OCF(等量代换) ∴.OE∥ ▲.( .∴.∠EOF+∠OFC=180°( 24.问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互字 如图2是由图1抽象的几何图形，其中AB∥CD,MG∥FN,点E,M,F在同一直线上， 点G,N,H在同一直线上，且∠AEF=∠GHD 求证：∠EFN=∠G 证明：如图，延长EF交CD于点P, .AB∥CD(已知)， .∠AEF=▲( 图2 (请完成后面的证明过程) 25.证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题. 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ①根据题意画出示意图，如图1： ②根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”： 即：已知：如图，直线4，b被直线c所截，A+∠2≠180°. 求证：直线a与b不平行. ③写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a▲ b 则4+∠2▲180°( 这与▲矛盾，故▲不成立. 所以 上述证明过程的证明方式是 图1 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分） 26.请你根据下列素材，完成有关任务。 背 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外 活动使用 素 材 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 二 素材 该班委会通过班级调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑 霜 三 鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的 2 素 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过 材 15双后，超过的部分每双按单价打七五折：一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优 毁 心 惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折， 素 材 购买A型和B型跑鞋的总费用不超过6000元. 蕾 五 请完成下列任务： 任 A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ 任 务 有哪几种购买方案？ 二 27.在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角” 图是研究平行线性质的基本图形. A B A B M--- D 图1 图2 图3 (1)阅读理解：如图1，AB∥CD,点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行 线间一点，猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由.阅读并补充下面推理 过程： 解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 过点P作MN∥AB, .∠AEP=∠EPN ,AB∥CD ∴.MN∥CD ( .∠CFP= ∴.∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP(等量代换) ∴.∠EPF=∠AEP+∠CFP. (2)方法运用：如图2，AB∥CD,猜想∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理 由： (3)深化拓展：如图3，AB∥CD,∠AEP、∠CFP的角平分线相交于点Q, ①过点E,F作射线BG、G交于点G,若∠AG-片A0CRG}CP0BPF-108 舶 3 求∠G的度数： ②若∠ABG=1∠ABQ,∠CRG=1∠CFQ,∠BPF=P,请直接写出∠G的度数△ (用含m、n的代数式表示)Sheet2 2025学年第二学期期中七年级数学双向细目表 考查知识点 题号 分值 易 中 难 考查的主要知识与数学思想、方法 第十五章一元一次不等式 不等式的定义 7 2 √ 列不等式 不等式的性质 8 2 √ 不等式的性质 一元一次不等式的定义 2 2 √ 一元一次不等式的定义 不等式的解和解集 1 2 √ 不等式的解集 19 6 √ 解一元一次不等式，不等式的解集和数轴 20 6 √ 解一元一次不等式，不等式的整数解 一元一次不等式的应用 12 2 √ 用一元一次不等式解决实际问题 26 9 √ （3分）√ 用一元一次不等式解决实际问题 一元一次不等式组 9 2 √ 不等式组的解集 解一元一次不等式组 11 2 √ 解一元一次不等式组的参数问题 21 6 √ 解一元一次不等式组，解一元一次方程 第十六章相交线与平行线 对顶角 13 2 √ 对顶角相等，邻角互补 垂线 14 2 √ 垂线段最短 平行公理 27（1） 1 √ 平行的传递性 平行线的判定与性质 4 2 √ 平行四边形的判定 5 2 √ 两直线平行，同旁内角互补 16 2 √ 对顶角相等，两直线平行同旁内角互补 17 2 √ 图形的翻折与平行线的性质 18 2 √ 图形的旋转与平行线的性质 23 7 √ 平行四边形的判定与性质 27（1） 1 √ 两直线平行，内错角相等 27（2） 3 √ 平行线的判定与性质、角平分线的定义 27（3） 5 √ 平行线的判定与性质、角平分线的定义 反证法 25 7 √ 命题 10 2 √ 判断逆命题是否为假命题 证明 24 7 √ 利用平行四边形的判定与性质证明 三角不等式 3 2 √ 三角不等式的实际应用 三角形的高、中线、角平分线 6 2 √ 三角形的中线、同高三角形的面积比 22 6 √ 画三角形的高、点到直线的距离、作平行线、等高同底的三角形面积关系、尺规作图 综合与实践 积木可以叠多远 15 2 √ 100 79 11 10 $ 2025学年第二学期期中诊断练习 七年级数学学科试卷（答案） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）（每题只有一个选项正确） 1. C 2．D 3．B 4. B 5．A 6. C 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 8． 9． 10．真 11． 12. 5 13． 14．8 15． 16． 17． 18．2或20 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19．解： ………（2分） ………（1分） ；………（1分） 所以，原不等式的解集是.………（1分） 解集在数轴上表示如下：………（1分） 20．解： ………（1分） ………（1分） ………（1分） ；………（1分） 解集在数轴上表示如下：………（1分） 所以，不等式的负整数解为. 21．解： 由①得，.………（1分） 由②得，.………（1分） 根据题意得，.………（1分） ………（1分） .………（1分） 所以，当时，关于的不等式组 恰有一个解.………（1分） 22． 解：（1）解：∴如图，即为所求．………（2分） 点A到的距离是线段的长．………（1分） （2）解：∴如图，即为所求．………（2分） （3）解：与面积相等的三角形是．………（1分） 缺垂直符号扣1分，缺字母扣1分，缺总结语句总共就扣1分； 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23. 证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）………（2分） ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义），………（1分） 同理，，………（1分） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）………（2分） ∴（两直线平行，同旁内角互补）………（1分） 24．证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）………（2分） 又∵（已知）， ∴（等量代换），………（1分） ∴（同位角相等，两直线平行），………（1分） ∴（两直线平行，同旁内角互补），………（1分） 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补），………（1分） ∴．………（1分） 25. 证明：假设所求证的结论不成立，即a∥，………（1分） 则＝（两直线平行，同旁内角互补）………（2分） 这与已知条件（≠）矛盾，故假设（a∥b）不成立．………（2分） 所以，直线与不平行．………（1分） 上述证明过程的证明方式是反证法．………（1分） 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分） 26. 解：任务一：设B型运动跑鞋的单价为元，则A型运动跑鞋的单价为元， 根据素材二得，………（1分） 解得，………（1分） 则， 答：A型、B型运动跑鞋的单价分别是140元、120元；………（1分） 任务二：设A型运动跑鞋买双，则B型运动跑鞋买双， 根据素材三得，………（1分） 解得；………（1分） 根据素材四得， 购买A型运动跑鞋的费用为：（元）， 购买B型运动跑鞋的费用为：（元）；………（1分） 根据素材五得，，………（1分） 解得 综上所述，． 所以有以下两种方案： 方案一：购买A型运动跑鞋20双，购买B型运动跑鞋30双；………（1分） 方案二：购买A型运动跑鞋21双，购买B型运动跑鞋29双．………（1分） 27. 解：（1）∴ ∵ ∴（在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）（1分） ∴………（1分） ∴（等量代换） ∴． （2）解：猜想，理由如下： 同理可得，………（1分） ∵， ∴，………（1分） ∴；………（1分） （3）解：①同理可得， ∵， ∴，………（1分） ∵与的角平分线相交于点Q， ∴，………（1分） ∵，， ∴，，………（1分） ∴；………（1分） ②………（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中诊断练习学校_____________________ 班级__________ 姓名_________ 学号_____________座位号_____________ ……………………………………密○………………………………………封○………………………………线……………………………… 七年级数学学科试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 2026.4 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 考生注意： 1．本试卷含五个大题，共27题.答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、练习卷上答题一律无效. 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须写出解题的主要步骤； 1、 选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）. A．； B．； C．； D．. 2．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）. A．； B．； C．； D．. 3．已知三条线段的长分别为、、，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么的取值可以是（ ）. A．2； B．6； C．8； D．9. 4．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）. A． ； B．； C．； D．. 5．健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中，，若，则的度数为（ ）. A. ； B. ； C. ； D. . 第4题图 第5题图 第6题图 6．如图，在中，已知点，，分别是边，的中点，且，则等于（ ）. A．； B．； C．； D．. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 用不等式表示：“4减去的倍的差是一个非负数” ▲ ． 8. 根据不等式的基本性质，若“”可变形为“”，则的取值范围为 ▲ ． 9. 不等式组的解集是 ▲ ． 10. “如果两个角相等，那么它们是对顶角”的逆命题是 ▲ （填“真”或“假”）命题． 11. 关于的不等式组无解，应满足的条件 ▲ ． 12.登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．则登山有 ▲ 人． 13. 小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板AB绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为 ▲ ． 第13题图 第14题图 第15题图 14. 如图，点B，C在直线上，且，的面积．若P是直线上任意一点，连接，则线段的最小长度为 ▲ cm． 15. 小明在玩 “平衡积木挑战” 游戏，如图，他用若干块长度为、材质均匀且质量相等的长方体积木整齐叠放（每块积木重心均在其中心）．沿水平方向依次向外延伸，保证积木在不倾倒的前提下尽可能伸远：保持积木①、②的相对位置不变，将它们作为一个整体向外推出，这个组合最多能比积木③的右边缘伸出 ▲ 的长度． 16. 有一个质量均匀的透明水晶球，过球心的截面如图所示，为直径，一单色光线从点P射入，折射光线从点B射出，出射光线．若与延长线的夹角，则入射光线所在直线与出射光线所在直线相交形成的的度数为 ▲ ． 第16题图 第17题图 第18题图 17.如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则 ▲ ． 18. 如图，在直线上取一点，向上作一条射线，使，将一直角三角板顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．将图中的三角板绕点按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中第 ▲ 秒时，边所在直线恰好与射线平行． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19.解不等式：，并在数轴上表示出它的解集. 20. 求不等式的负整数解. 21.当 为何值时，关于的不等式组 恰有一个解？ 22. 如图，已知，根据下列要求画图并回答问题： （1）过点A画，垂足为D；点A到的距离是线段 ▲ 的长； （2）过点C画，交于点E；再画，交于点F； （3）连接，图中与面积相等的三角形是 ▲ ． 四、解答题（本大题共3题，每题7分，满分21分） 23.科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图②，，平分，平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空． 证明：∵（已知）， ∴ ▲ （ ▲ ） ∵平分（已知）， ∴ ▲ （角平分线的定义）， 同理， ▲ ， ∴（等量代换） ∴ ▲ （ ▲ ） ∴（ ▲ ） 24.问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字． 如图2是由图1抽象的几何图形，其中，，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图，延长交于点P，……………………………………密○………………………………………封○………………………………………线……………………………… ∵（已知）， ∴ ▲ （ ▲ ）. （请完成后面的证明过程） 25.证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”是真命题． 首先要证明一个命题是真命题，通常步骤是： ① 根据题意画出示意图，如图1； ② 根据条件和结论，参照示意图写出“已知”和“求证”； 即：已知：如图，直线被直线所截，≠． 求证：直线a与不平行． ③ 写出由条件推出结论的完整过程（根据以下证明过程完成填空） 证明：假设所求证的结论不成立，即a ▲ ， 则 ▲ （ ▲ ） 这与 ▲ 矛盾，故 ▲ 不成立． 所以 ▲ ． 上述证明过程的证明方式是 ▲ ． 图1学校_____________________ 班级__________ 座位号_________ 姓名_____________ 五、综合题（本大题共2题，第26题9分，第27题10分，满分19分）学校_____________________ 班级__________ 姓名_________ 学号_____________座位号_____________ ……………………………………密○………………………………………封○………………………………线……………………………… 26.请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某班班委会决定组织同学统一到体育用品专卖店购买体育运动跑鞋，以供同学们课外活动使用． 素材一 A型运动跑鞋比B型运动跑鞋每双的单价多20元； 素材二 购买2双A型与3双B型运动跑鞋共需费用640元； 素材三 该班委会通过班级调研确定A型和B型运动跑鞋共需购买50双，且购买A型运动跑鞋的数量少于30双，购买B型运动跑鞋的数量不超过购买A型运动跑鞋的． 素材四 体育用品专卖店给出了优惠活动：一次购买A型运动跑鞋不超过15双不优惠，超过15双后，超过的部分每双按单价打七五折；一次购买B型运动跑鞋不超过20双不优惠，超过20双后，超过的部分每双按单价打八折． 素材五 购买A型和B型跑鞋的总费用不超过6000元． 请完成下列任务： 任务一 A型、B型运动跑鞋的单价分别是多少元？ 任务二 有哪几种购买方案？ 学校_____________________ 班级__________ 座位号_________ 姓名_____________ 27.在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”．……………………………………密○………………………………………封○………………………………………线……………………………… （1）阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴ ∵ ∴（ ▲ ） ∴ ▲ ∴（等量代换） ∴． （2）方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： （3）深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ▲ ． （用含、的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $