北京市第五十五中学2025-2026学年度第二学期高二数学期中考试试卷

北京市第五十五中学2025-2026学年度第二学期 期中调研试卷 高二数学 本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1. 已知函数的导函数，则函数可以是（ ） A. B. C. D. 2. 从标有数字1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回），则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（） A. 1 B. 16 C. D. 81 4. 投资甲、乙两种股票，每股收益（单位：元）分别如下表： 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 0 1 收益 0 1 概率 0.4 0.6 概率 0.6 0.4 则下列说法正确的是（ ） A. 投资甲种股票期望收益大，投资乙种股票的风险更高 B. 投资乙种股票期望收益大，投资甲种股票的风险更高 C. 投资甲种股票期望收益大，投资两种股票的风险一样高 D. 投资乙种股票期望收益大，投资两种股票的风险一样高 5. 已知函数 ，则下列说法错误的是（ ） A. 有三个零点 B. 在上单调递减 C. 点是曲线的对称中心 D. 有两个极值点 6. 中国古典乐器按“八音”分类.“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pào）、竹”八音.其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则“两音”来自两种不同类型乐器的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知且该多项式展开式的二项式系数和为64，则（ ） A. 21 B. 64 C. 78 D. 156 9. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 10. 从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上） 11. 已知函数，，那么______. 12. 若离散型随机变量，则______，______. 13. 将4名志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目只培训一人，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有___________种 （用数字作答） 14. 若的展开式中存在常数项，则正整数的一个取值是_________，且此时常数项等于_________.（用数字作答） 15. 已知函数与的图像如下图所示，设函数.给出下列四个结论 ①函数在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②函数在区间和上是增函数，在区间上是减函数； ③函数有三个极值点； ④函数有两个零点. 其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积. 条件①：边上中线的长为； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，F，G，H分别为，，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的大小 18. 为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知分别从A，B两家公司的调查问卷中随机选取120份和80份，统计数据如下： 快递公司 A快递公司 B快递公司 项目 份数 评价分数 配送时效 服务满意度 配送时效 服务满意度 29 24 16 12 47 56 40 48 44 40 24 20 假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率. （1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率： （2）分别从该地区A和B快递公司的调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望： （3）记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级，假设：小王从该地区A，B两家快递公司中随机选一家快递公司，再从该公司的调查问卷中随机抽取1份，抽到的问卷配送时效评价为“优秀”的概率为，抽到的问卷配送时效评价为“一般”的概率为，判断与的大小（结论不要求证明） 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 20. 设椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为2，E是椭圆C上一点，. （1）求椭圆C的方程和离心率； （2）是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），，直线交x轴于点P，求的值. 21. 对于一个函数和一个点，令，若在时取得最小值的点，则称是的“最近点”. （1）对于函数，求证：对于点，存在点，使得点是的“最近点”； （2）对于函数，，请判断是否存在一个点，使它是的“最近点”，且直线与曲线在点处的切线垂直？ （3）已知函数可导，函数在上恒成立，对于点与点，若对任意实数，均存在点同时为点与点的“最近点”，说明的单调性. 北京市第五十五中学2025-2026学年度第二学期 期中调研试卷 高二数学 本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上） 【11题答案】 【答案】0 【12题答案】 【答案】 ①. 2 ②. 4 【13题答案】 【答案】18 【14题答案】 【答案】 ①. 3（答案不唯一） ②. 12（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】②③ 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 选条件①：.选条件③，或；选条件②，不存在这样的. 【17题答案】 【答案】（1） ，分别为，的中点，. 又平面，平面，平面. 又因四边形是正方形，所以，所以可得， 而平面，且平面，所以可得平面， 又，平面，所以平面平面， 而平面，所以可得平面. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） X 0 1 2 P （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【20题答案】 【答案】（1） （2）3 【21题答案】 【答案】（1） 证明：当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）存在， （3）严格单调递减 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $