精品解析：河北冀州中学2025-2026学年下学期高一期中质量检测数学

2025~2026学年度下学期高一期中质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合的所有元素，再将集合的元素与集合的元素对比，筛选出公共元素. 【详解】已知，所以， 已知，和的公共元素为，因此. 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算复数，进而得，利用复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意知，，则， 故复数在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第一象限． 3. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”，因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即“”，可知必要性成立． 因此“”是“”的必要不充分条件，故选B． 4. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该球半径为r，则，解得，则该球的表面积为． 5. 已知，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又，， 则 . 6. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，再利用“乘1法”结合基本不等式求的最小值. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或． 因为在上单调递减，所以，则， 所以，则，且，， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为4． 7. 在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线定理和向量的平行四边形定则求解即可. 【详解】 . 因为，，三点共线，根据向量共线定理可知， ，解得. 8. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 【答案】A 【解析】 【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值. 【详解】设， 在中，有题意知，则， 在中，有题意知，则， 在中， ，， 由余弦定理可得：， 即，解得，即. 故选：A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则c边的长可能为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】CD 【解析】 【详解】因为，，， 由余弦定理，即， 即，解得或．故选CD． 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，再根据正弦函数性质逐项判断. 【详解】， 所以最小正周期，A正确； 的最大值为，B错误； 令， 所以函数的单调递增区间， 当时，单调递增区间是 所以在区间上单调递增，C正确； 当时，即，则， 所以， 则，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；利用基本不等式求解D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，令，由，得到， 当且仅当，即时取等号，所以D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 由模长公式得. 13. 已知向量，，，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 又，且， 所以，解得． 14. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】通过整体代换的方法及正弦函数的单调递增区间可得不等式组，解不等式组可得. 【详解】因为，，因此： ， 又因为函数在区间上严格增， 所以且,得且, 所以当时，,得；当时，由,所以不等式组无解； 当时，由,不等式组无解； 综上所述，，故的取值范围为. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求与的夹角； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积公式与运算律化简求解即可； （2）根据化简求解即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，且， 所以． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由同角三角函数基本关系、正弦定理结合两角和的正弦公式可得，再由三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由，结合正弦定理， 得， 即，即， 因为，所以，即． 【小问2详解】 ． 利用正弦定理得． 而， 故的面积． 17. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形OABC的面积； （2）若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【答案】（1）12 （2）体积为，表面积为． 【解析】 【分析】（1）把直观图还原为原平面图形，得四边形OABC是直角梯形，由此求出平面四边形的面积即可； （2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体，计算其表面积和体积即可求出答案. 【小问1详解】 把直观图还原为原平面图形，则四边形OABC是直角梯形， 其中，，， 如图所示： 所以平面四边形OABC的面积为． 【小问2详解】 四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，旋转形成的几何体是圆柱与圆锥的组合体， 其中圆柱的底面半径，高，圆锥的底面半径为，高， 母线长， 则旋转体的体积为， 表面积为． 18. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间； （3）求函数的对称中心及对称轴方程. 【答案】（1） （2） （3）对称轴为 对称中心为 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，求得和，得到，再由图象过点，得到，结合，求得，即可求解； （2）利用三角函数的图象变换，求得，结合正弦型函数的性质，即可求解； （3）由（1）知，结合正弦型函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数图象，可得，且， 所以，所以， 又因为图象过点，可得，即， 可得，解得， 因为，所以，所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：将的图象纵坐标缩短到原来的倍，可得， 再向左平移个单位后，得到， 令，解得， 所以函数递减区间为. 【小问3详解】 解：由（1）知：， 令，解得， 所以函数的对称中心为； 令，解得， 所以函数的对称轴的方程为. 19. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案； （2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案； 法二：延长中线至点，使得，解可得答案； 法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案； 法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理得 又由余弦定理：， 故：. 【小问2详解】 法一：由（1），又， 故， 而， 得， 即，与联立，解得. 故. 法二：由（1），又， 故， 延长中线至点，使得，又，， 所以，所以，，， 在中，， 由余弦定理得， 即，与联立，解得. 故. 法三：由余弦定理， 即. 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即. 与联立，解得. 故. 法四：由余弦定理， 即. 由， 利用余弦定理得， 即，即. 与联立，解得. 故. 20. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间上的“和值”为. （1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； （2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； （3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 【答案】（1）函数在上的“和值”不为0，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）举反例，令即可； （2）求出的值域，转化为集合之间的包含关系求解； （3）根据求出， 再分、、三种情况讨论即可. 【小问1详解】 函数在上的“和值”不为0，理由如下： 若函数在上的“和值”为0， 由于，不妨令，此时无解，矛盾， 从而函数在上的“和值”不为0； 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为函数在区间上的“和值”为， 所以使得，即， 则， 则，得， 故实数的取值范围为； 【小问3详解】 ，则， 则由题意可知，， 则，得， 因为有唯一“和值”，所以，即； ①若，则在单调递增，则， 则，则，不符合题意； ②若，则在单调递减，故， 则，则，不符合题意； ③若，则在单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 则， 则， 若，即，则，符合题意； 若，即， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期高一期中质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 体积为的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 已知幂函数在上单调递减，若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 7. 在平行四边形中，与交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ） A. 414m B. C. D. 207m 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则c边的长可能为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间上单调递增 D. 当时， 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是偶函数，则 B. 若是奇函数，则 C. 若，则a的取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数，则___________． 13. 已知向量，，，若，则______． 14. 已知，函数在区间上严格增，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，，且． （1）求与的夹角； （2）求的值． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，． （1）求平面四边形OABC的面积； （2）若四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 18. 已知函数的部分图象，如图所示. （1）求函数的解析式； （2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数的单调减区间； （3）求函数的对称中心及对称轴方程. 19. 在中，内角，，的对边分别为a，b，c，且 （1）求角； （2）若，且边上的中线，求的面积. 20. 设函数在区间上有定义，若对任意，都存在，使得，则称函数在区间上的“和值”为. （1）判断函数在上的“和值”是否为0，并说明理由； （2）若函数在区间上的“和值”为，求实数的取值范围； （3）若，且函数在区间上有唯一“和值”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $