精品解析：陕西咸阳市实验中学2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2025—2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限. 2. 已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式求解即可. 【详解】如下图所示： 由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为. 3. 有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直观图中过点作，垂足为点，即可求出，再将直观图还原为原图，再计算可得. 【详解】在直观图中，过点作，垂足为点， 则在中，，，所以， 而四边形为矩形，，所以， 所以. 由此可还原原图形如图所示.在原图形中，，，， 且，， 所以这块菜地的面积为. 4. 设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，若，且，则与平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，且，则与平行或相交，B错； 对于C选项，若，，由面面平行的性质可知，C对； 对于D选项，若，，且，，则与平行或相交，D错. 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】向量，， 则在上的投影向量为. 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 7. 棱长均为2的四面体的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上， 连接， 设外接球半径为，则，已知，则 ， ， 在中，，即， 解得， ． 8. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【详解】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的实部为1 C. D. 若，则的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】由复数模长公式可判断A，由复数的乘法、除法运算可判断BC，由复数的几何意义可判断D. 【详解】由，得，A正确； ，实部为，B错误；  ，C正确； 由条件得：， 平方得：  ， 该式表示：点在以为圆心、为半径的圆上， 是点到原点的距离的平方： 原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为， 故的最大值为 ，D正确. 10. 如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的表面积为 C. 的面积的最大值是 D. 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】由圆锥的底面半径和高，求出母线长，对于AB，代圆锥的体积公式和表面积公式计算可得；对于C，先求出轴截面的顶角，再代三角形面积公式计算；对于D，根据侧面展开图计算可得. 【详解】圆锥的底面半径，高，所以母线长为2； 对于A.圆锥的体积为，所以A正确； 对于B.圆锥的表面积为，所以B正确； 对于C. 由轴截面为等腰三角形，且顶角为， 当等腰的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以C错误； 对于D. 圆锥的底面圆周长为，所以侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图中圆弧，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段，且，所以D错误； 故选：AB. 11. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，，，则有两解 D. 若，则是等腰直角三角形 【答案】BD 【解析】 【详解】中，大角对大边，若，则， 由正弦定理，则， ，即，故A正确； 正三角形中，夹角为， ，故B错误； 已知，，， 所以，故有两解，故C正确； 由正弦定理得，则可化为 ，即，有两种情况： ，即，为等腰三角形； 或，即，为直角三角形； 所以不一定是等腰直角三角形，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据等角定理可求角的值. 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 13. 已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体结构确定平面截该正方体所得截面为对角面，即可求解. 【详解】 如图，因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面截该正方体所得截面即为正方体对角面， 易知， 所以平面截该正方体所得截面的周长为. 14. 如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得t的最小值. 【详解】由题意，又共线，则， ，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，． （1）若z是实数，求m的值． （2）若z是纯虚数，求m的值． （3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围； 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由复数的概念可得，解出即可得到结果； （2）由复数的概念可得，解出即可得到结果； （3）根据复数的几何意义，可得，解出不等式组即可得到结果. 【小问1详解】 因为为实数， 所以，解得或. 【小问2详解】 因为是纯虚数，所以有，解得. 【小问3详解】 因为对应复平面上的点在第四象限，所以有， 解得. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 (1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果； (2) 以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A. 【详解】（1）由平面向量的线性运算可知， . （2）由题意，因为EF⊥EG，所以 ，解得， 所以，则可化简上式为，解得，又，故. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模. （2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解. 【小问1详解】 由向量，得，且， 由与的夹角为，得，解得，则 ， 于是，所以. 【小问2详解】 由（1）知向量， 则， 由与的夹角为锐角，得且与不共线， 由，解得且， 所以实数的取值范围为. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算即可求解； （2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解； （3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以当时，周长有最小值为； 【小问3详解】 由正弦定理可得，所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，有，即， 所以，，， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 19. 如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用中位线可证，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用中位线可证,结合空间平行关系的转化可证面面平行； （3）①利用线面平行推出线线平行；②根据已知条件推出底面及高的比，再根据四面体体积公式计算求解． 【小问1详解】 证明：连接EC， ，， ，， 四边形是平行四边形， O为的中点， 又F是的中点， ， 又平面，平面， 平面BEF． 【小问2详解】 证明：F，H分别是的中点， ， 又平面PAD，平面PAD， 平面PAD， 又O是的中点，H是的中点， ，平面，平面， 平面， 又在平面内相交于点H， 平面平面． 【小问3详解】 ①证明：，平面，平面， 平面， 又平面，平面平面直线l， ． ②且， ， 又E，H分别为的中点， ，且三棱锥与三棱锥高之比为， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2025—2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（ ） A. B. C. D. 3. 有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 5. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 棱长均为2的四面体的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的实部为1 C. D. 若，则的最大值为8 10. 如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的表面积为 C. 的面积的最大值是 D. 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为 11. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若是边长为1的正三角形，则 C. 若，，，则有两解 D. 若，则是等腰直角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知空间两个角与，若，，，则______. 13. 已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________. 14. 如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，． （1）若z是实数，求m的值． （2）若z是纯虚数，求m的值． （3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围； 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 17. 已知向量，且与的夹角为. （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 在中，角的对边分别为，满足. （1）求角的大小； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）设平面交平面于直线l． ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $