精品解析：天津市耀华中学2025-2026学年第二学期期中学情调研高二年级数学学科试卷

天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期中学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一.选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中各项的二项式系数和为64，则展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 6. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 7. 已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二.填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上. 11. 函数在上的最小值为______． 12. 若，则______. 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 15. 从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数______个.（用数字作答） 16. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 三.解答题:本大题共3小题，共42分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量． （1）求第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点、，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2025-2026学年度第二学期期中学情调研 高二年级数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一.选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上. 1. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 2. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【详解】得 ，所以 ， 所以 ，所以 . 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为为常数，可得，所以A错误； 对于B，由基本初等函数的导数公式，可得，所以B错误； 对于C，由基本初等函数的导数公式，可得，所以C错误； 对于D，由基本初等函数的导数公式，可得，所以D正确． 4. 若的展开式中各项的二项式系数和为64，则展开式中含项的系数为（ ） A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据求出值，再利用二项式展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】因为二项式系数之和为64，则，则. 则二项展开式通项为， 令，解得，则含的项的系数为. 5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ） A. 在上为增函数 B. 的最小值为 C. 的极大值为，极小值为 D. 的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 6. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 7. 已知函数，若函数在上存在最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用导数研究函数的单调性和极小值，由题可得即可解出． 【详解】因为，故可得的根或， 令，解得，令，解得， 所以在，递增，在递减，故在时取得极小值. 又因为， 令，则或， 要使函数在上存在最小值，只需， 解得. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究三次方函数的单调性及最值，三次方程解的计算，属于中档题. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，分析该函数的定义域与奇偶性，利用导数分析出函数在上为增函数，从而可知该函数在上为减函数，综合可得出原不等式的解集. 【详解】令，则函数的定义域为， 且，则函数为偶函数， 所以，， 当时，，所以，函数在上为增函数， 故函数在上为减函数， 由等价于或： 当时，由可得； 当时，由可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 9. 若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 10. 若存在使得方程有解，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的指数移项构造一个相同自变量，再根据相同函数类型建立自变量等式，最后分参构造函数，求导分析函数区间内的值域，即可求解. 【详解】先移项， 因为， 所以， 构造函数令，，所以在定义域内单调递增， 所以对于任意一个函数值，都有唯一一个对应， 所以， 令，， 令， 当，，在区间内单调递减， 当，，在区间内单调递增， 最后求端点值确定函数值域，，，， 因为， 所以， 条件为有解，即函数与有交点，所以. 第Ⅱ卷（非选择题 共60分） 二.填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡上. 11. 函数在上的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数的导数，判断函数的单调区间和极值点，从而求出的最小值. 【详解】根据题意可得，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以是区间上的极小值点，也是最小值点， 则. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 令，得， 令，得， 则. 13. 已知某外卖骑手每次在规定时间内将餐品送达的概率为，该骑手某次工作中共配送3单，若三次配送结果互不影响，记三次配送中准时送达的次数为，则的数学期望_________，若已知该骑手没有全部准时送达，则他恰好准时送达两次的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由二项分布求第一空；由条件概率公式求第二空. 【详解】由题意可得， 所以； 记事件为“该骑手没有全部准时送达”，事件为“恰好准时送达两次”， 则, 所以. 14. 若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后根据参变分离，将问题转化为图象交点问题，利用导数的性质分析函数的单调性，进而确定极值点的情况，从而求出实数a的取值范围. 【详解】因为只有1个极值点，所以，， 由，得， 则直线与的图象仅存在一个交点（变号零点）， 设，则， 由，得；由，得或； 则在和上单调递减，在上单调递增， 又，，当时，，当时，， 故其函数图象如图： 当时，直线与的图象仅在有1个交点，符合题意； 当时，直线与的图象在上以及处各有1个交点， 但仅在上存在1个变号零点，符合题意； 当时，直线与的图象有3个交点，不符合题意； 当时，直线与的图象无交点，不符合题意， 所以当时有唯一极值点， 综上，实数的取值范围是. 15. 从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，能组成无重复数字的四位偶数______个.（用数字作答） 【答案】1120 【解析】 【分析】分情况①所取的数字含有0，②所取的数字不含0进行讨论，利用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】由于0不能放在首位，因此根据所取的数字中是否含0分成两类情况讨论. ①所取的数字含有0，那么从余下的四个偶数中取一个，有种；从五个奇数中取两个，有种.若0在个位，则有种； 若0不在个位，则个位是另一个偶数，0在中间的位置选择一个，两个奇数全排列， 有种.因此，共有种. ②所取的数字不含0，那么从余下的四个偶数中取两个，有种；从五个奇数中取两个，有种个位数字从两个偶数中选择一个，有种； 余下的三个数字全排列.因此共有种. 由分类加法计数原理可知共有个符合条件的偶数. 故答案为：1120 16. 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】法一：分离参数，由，令函数，用导数法求解； 法二：构造差函数 由，取对数得方程在区间内有两个解，构造函数，用导数法求解； 法三：分离法：一曲一直取对数得，即，转化为与有且仅有两个交点求解； 法四：直接法 由曲线与直线有且仅有两个交点，利用导数法，由得，分和求解. 【详解】法一：分离参数 ，设函数， 则，令，得， 在内，单调递增； 在上，单调递减； ， 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是， 这即是， 所以的取值范围是． 法二：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知， 即在区间内有两个解， 取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数， 求导数得． 当时，在区间内单调递增， 所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，； 当时，； 所以函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即， 由函数在内有两个零点知， 所以，即． 构造函数，则， 所以的递减区间为，递增区间为，所以， 当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． 法三：分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价于在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价于与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足： 时，与有且仅有两个交点． 记， 令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减； 时，最大值为， 所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． 法四：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即， 即，两边取对数，得， 即． 令，则，令，则， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为． 三.解答题:本大题共3小题，共42分，将解题过程及答案填写在答题卡上. 17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球．现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量． （1）求第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率； （2）求的分布列和期望． 【答案】（1）； （2） 3 4 5 ． 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可； （2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件“第一次取出的是黑球”，事件“第二次取出的是红球”， 所以， 事件“第一次取出的是黑球且第二次取出的是红球”， 故， 所以第一次取出的是黑球的情况下第二次取出的是红球的概率为： ； 【小问2详解】 根据题意可得可能的取值为3，4，5， 当时，前三次分别取出1个红球、1个黑球和1个白球， ， 当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球， ， 当时，， 所以的分布列为： 3 4 5 所以． 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值为0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． 【小问2详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点、，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）求得，利用导数分析函数的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （ii）分析可知，，将所证不等式转化为证明，分、两种情况讨论，在时，利用不等式的基本性质可证得结论成立，在时，通过构造函数，并利用导数分析函数的单调性，结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 解：当时，，则， 所以，，， 因此，在处的切线方程为. 【小问2详解】 解：（i），令，则， 令，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增， 因为，当时，，即， 当时，，即， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为有两个极值点、，则，解得. （ii）令， ，， 由（i）可知，， 只需证，即证：， 当时，，得证； 当时，先证：，令，，， 当时，，当时，， 则在上递增，在上递减，所以，得证， 令，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 则， 记与的交点横坐标分别为，， 则，，则， 又，， 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $