精品解析：2026年江苏省常州市天宁区常州市实验初级中学 九年级教学情况调研测试 数学试题

九年级教学情况调研测试 数学试题 一、选择题（共8题，每题2分，共16分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列的值，能使有意义的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 点在第二象限，距离轴4个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，刘师傅为了检验门框是否垂直于水平地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 8. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10题，每题2分，共20分） 9. 16的平方根是______． 10. 分解因式：______． 11. 计算：______． 12. 一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 15. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 16. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 17. 在矩形中，点是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的值是______． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 三、解答题（共10题，共84分，第19题6分，20～25题各8分，26～28题10分） 19. 先化简，再求值：(x+2)2﹣2(2x﹣1)，其中x＝． 20. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 21. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 22. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； （1）求证：． （2）若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 24. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 25. 如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 26. 在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： （1）如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； （2）老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； （3）在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． （1）如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； （2）如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学情况调研测试 数学试题 一、选择题（共8题，每题2分，共16分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列的值，能使有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此列出式子解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． ∴选项中只有D选项的满足条件， 故选：D． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用积的乘方与幂的乘方法则计算结果，选出正确选项 【详解】解：∵ 积的乘方法则为，幂的乘方法则为 ∴ 4. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 5. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米）．则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 6. 点在第二象限，距离轴4个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，写出直角坐标系中点的坐标，已知点所在的象限求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据象限确定横纵坐标的符号，再结合点到坐标轴的距离求出横纵坐标的具体值． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴4个单位长度， ∴点M的纵坐标的绝对值为4，即纵坐标为4， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标的绝对值为2，即横坐标为， ∴点M的坐标为， 故选：C． 7. 如图所示，刘师傅为了检验门框是否垂直于水平地面，在门框的上端处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据铅垂线垂直于地面，若门框也垂直于地面，利用垂线的性质“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可判断． 【详解】∵ 铅垂线  垂直于水平地面，门框 垂直于水平地面，  ∴ 过点 有直线和 都垂直于地面， 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，  ∴ 直线 与重合，  ∴ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 8. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象与性质，若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取为中点，则，若连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可得到答案．分析出的几何意义是解答问题的关键． 【详解】解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，为中点，则， 连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，如图所示： 由过原点的直线的倾斜程度和直线与正半轴夹角大小有关， ， 关于，，大小关系是， 故选：B． 二、填空题（共10题，每题2分，共20分） 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】解：， 的平方根是． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 12. 一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 13. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， ∵，，， ∴ ，整理得， 解得． 14. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则侧面展开图扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，明确圆锥侧面展开图的性质，即扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，根据圆锥侧面积计算即可． 【详解】解：． 15. 小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法. 首先根据图形确定方砖的总数量，然后确定阴影方砖的数量，最后利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知，地板被平均分成了块方砖，其中阴影方砖有3块. 因为方砖的形状和大小都是一样的，所以小球停留在每块方砖上的可能性相同. 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 16. 如图，以点O为中心的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，如果点D在量角器上对应的刻度为，连接．那么__________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，先确定点D在该量角器所在的圆上，再根据量角器得到，然后根据圆周角定理得到即可求解． 【详解】解：连接，则， ∵量角器的直径与直角三角板的斜边重合，， ∴点D在该量角器所在的圆上， ∴， 故答案为：55． 17. 在矩形中，点是边上的三等分点，连接相交于点，连接．若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由，是边上的三等分点可得，进而求出，证明，利用相似三角形对应边成比例求出的值，过点作于点，可证，利用相似比求出和的长，进而求出的长，最后在中利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，，，，  ，是边上的三等分点，  ，  ，  ，即，  ，  ，  ， 过点作于点，如图， ，  ， ，  ，  ，，  ， 在中，． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理先判断出点P的轨迹是线段，再根据矩形的性质及已知条件判断是直角三角形，从而得出点D到线段上各点的连线中，最小，最大． 【详解】解：如图所示： 当点F与点C重合时，点P在点处，，当点F与点E重合时，点P在点处，， ∴且， 当点F在EC上除点C、E的位置时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：且， ∴点P的运动轨迹是线段， ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵， ∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴， ∴DP的长最小，最大， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题． 三、解答题（共10题，共84分，第19题6分，20～25题各8分，26～28题10分） 19. 先化简，再求值：(x+2)2﹣2(2x﹣1)，其中x＝． 【答案】x2+6；9 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】原式= 当x= 时， 原式=3+6=9． 【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握整式的运算法则以及完全平公式等是解题关键． 20. 解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 在数轴上表示其解集如下： 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为． 21. 2026年中央电视台春节联欢晚会首次启用了虚拟主持人和全息投影技术，大大增强了节目的互动性．为了解七年级学生对今年春晚节目类型的喜爱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，要求每位学生从以下四个类型中选择一个最喜爱的（单选）：A．歌舞类，B．语言类（小品、相声），C．魔术杂技类，D．互动类．调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）： 请你根据以上信息解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为________，A类所对应的扇形圆心角的度数是________； （2）将条形统计图补充完整（画图后请标注相应的数据）； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数． 【答案】（1）100， （2） 补全条形图为： （3）280人 【解析】 【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出样本容量．用乘以A类所占的比例，即可求出对应的扇形圆心角． （2）将样本容量减去A、B、C类的人数，得到D类的人数，即可补全条形统计图； （3）将学生总数800乘以样本中最喜爱“互动类”节目的比例，即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， A类所对应的扇形圆心角的度数是． 【小问2详解】 解：D类的人数为， 【小问3详解】 解：（人） 估计该校七年级最喜爱“互动类”节目的学生人数为280人． 22. 某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在A位置的概率为          ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）用树状图法列出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再结合概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲共有4个等可能选择的车位，停放在A位置的情况只有1种， 因此甲停放在A位置的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图列举所有情况如下： 综上，共有种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的结果有种， 因此甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； （1）求证：． （2）若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 24. 如图，平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴交于、两点，与反比例函数的图像交于点．已知点的坐标，点的坐标． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）点是的中点，将向右平移，使点落在反比例函数的图像上，此时点的坐标为______． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设将向右平移m个单位，使点在落在反比例函数的图像上，此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为，把点代入，求出m的值，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为， 将点和点分别代入，得∶ 解得 ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴点， ∵点是的中点， ∴点， 设将向右平移m个单位，使点落在反比例函数的图像上， 此时平移后点D的坐标为，点A的坐标为， 把点代入，得：， 解得：， ∴点A的坐标为． 25. 如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】（1），乙的速度是 （2）4分钟或7分钟 【解析】 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 【小问2详解】 解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 26. 在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： （1）如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； （2）老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； （3）在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 【答案】（1）平行四边形 （2）菱形，24 （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查平行四边形性质和折叠性质，平行线性质和判定．利用两组对边平行的四边形来证明四边形的形状是平行四边形． （2）本题考查菱形的判定及面积求法．利用第一问的条件可轻松得出四条边均相等，从而判断四边形的形状是菱形．利用菱形的对角线互相垂直且平分的性质可求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而求出菱形的面积． （3）本题重点考查了相似三角形和锐角三角函数的应用．过点作的高，构造出两个直角三角形，利用建立方程，从而求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， 又折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， ， 同理，折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， 可得：， ， 由可得：， , , 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：①由（1）可得，， 是等腰三角形，， 同理可得：． 又， ， 四边形的形状是菱形． ②连接交于点，如图： 四边形的形状是菱形，，， ，， ， ． 【小问3详解】 作交于点， ， 由（2）得，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 平移的距离为． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2，是等腰直角三角形，，对于点和，给出如下定义：若存在点在内（包含圆周），则称是的关联三角形． （1）如图1，若点， ①已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； 已知点，则______的关联三角形（填“是”或“不是”）； ②是轴上的动点，且为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______； （2）如图2，若点，直线上存在点使得为的关联三角形，则点横坐标的取值范围是______． 【答案】（1）①是，不是；② （2） 【解析】 【分析】（1）①Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的，根据旋转性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质，可分别求出、的坐标，计算与圆心的距离可确定是否在圆内；②P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在内，求出Q点坐标，利用来求出m的范围； （2）求出对应的Q点的坐标，然后利用勾股定理计算出与圆心的距离，让这个距离小于等于2即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴Q点是由P点绕着A点顺时针或者逆时针旋转所得到的， ①∵在x轴上， ∴， ∴点的坐标为， ∵圆心为O的坐标为，圆的半径为2， ∴小于半径， ∴在的内部，符合关联三角形的定义， 即是的关联三角形； 如图所示，过A作直线轴，过作于点B，过作于点C，过A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴在的外部，不符合关联三角形的定义， ∴不是的关联三角形； ②如图所示：P是x轴上的动点只有逆时针旋转Q点才会出现在⊙O内（包含圆周） ∵P是x轴上的动点，点P横坐标m， ∴， 由①得， ∴，， ∵， ∴点Q的横坐标为0，纵坐标为， ∴Q点坐标为， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即，即在数轴上m到的距离小于等于2， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得：P点坐标为， 如图，过点A作轴，过P，Q作，垂足分别为点E，F， 同理（1）得， ∴，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴Q点坐标为， 由勾股定理的， ∵Q点在⊙O内（包含圆周）， ∴， 即， 解得：； 28. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l，点M为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点M在直线l右侧，且点M的纵坐标大于﹣3，连接，过点M作交直线l于点N，若，求点M的坐标． （3）如图2，连接，，若M点在抛物线上B，C两点之间，过点M作的平行线交于点P，求最大值及此时M点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，证明，得，设点M的坐标为，由，有，即可解得点M的坐标； （3）过点M作轴交于点H，作于点G，求出，，得，设点M的坐标为,可得，，故，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点M的坐标为,， 在中，令得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（此时点M的纵坐标大于﹣3，舍去），， ∴点M坐标为； 【小问3详解】 过点M作 轴交于点H，作 于点G，如图： ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ，得， ∴PMPG， ∴， ∴， 设点， 由得直线解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $