湖北省十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学

十堰市第一中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数 学 考试时间：120分钟 满分150分 ☆热烈欢迎同学们报考一中！ ☆请同学们沉着、冷静、细心、守纪；预祝同学们考试顺利！ 初中学校： 考号： 姓名： 一、单项选择题（共10小题，每小题5分，共50分) 1.小明同学利用计算机软件绘制函数y=一 x (a,b为常数)的图像如图所示，由 (x+b)2 学习函数的经验，可以推断常数α，b的值满足() A.a>0,b>0, B.a>0,b<0, 3 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0, 5432231 2、方程+x+x =1的解是x=( -2 82448 2022×2024 2023 A B 4048 C2024 D1012 1010 1011 1011 4045 3、某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方 差分别为( 年龄 19 20 21 22 24 26 人数 1 1 y 2 1 A.22,3 B.22,4 C.21,3 D.21,4 4、如图，一个边长分别是6,8,10的直角三角形的一个顶点与正方形 的点A重合，另两个顶点在正方形的两边BC,CD上，则正方形的面积 10 是() 8 B. 152 172 32 B C. D. 25 16 16 17 5、已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b的值为() A.0 B.4 C.2 D.-2 6.如图，扇形OAB中，∠AOB=110°，OA=18,C是OB的中点，CD⊥OB交AB于 点D,以OC为半径的CE交OA于点E,则图中阴影部分的面积是() A.12π+18V3 81V3+2元） 2 812W5+元) D.6π+36V3 4 7.在平面直角坐标系Oy中，对于点P(x,y),我们把P(y-1,-x-1)叫做点P的友好点， 已知点A的友好点为A,点A的友好点为A,点A,的友好点为A,这样依次得到各点.若 A2的坐标为(1，-2)，设A（x,y),则x+y的值是（) A-5 B.-1 C.3 D.5 8.若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、W都在函数y的图象上②M、N关于原点对 称，则称点对(M,N)是函数y的一个“共生点对”（点对(M,N)与(N,M)看作同一个 [2x2+4x+1(x≤0) “共生点对”)，已知函数y= 1 ,则函数y的“共生点对”有()个. (x>0) A.0 B.1 C.2 D.3 9.如图，点D在半圆上，直径AB=10,AD=4,点C在弧BD上移动，连结AC,作 DH⊥AC于H,连结BH,点C在移动的过程中，BH D 的最小值是() A.221 B.2W21-2 B C.222 D.2W22-2 10.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6,AC=8,点P是△ABC所在平面内一点，则 PA+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（ A.点P是△ABC三条中线的交点 B.点P是△ABC三条内角平分线的交点 C.点P是△ABC三条高的交点 D.点P是△ABC三边垂直平分线的交点 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 12 11、定义新运算： C名=aabc，例如 =1×4-2×3=-2.已知实数x满足 34 2x-2x1 则x的最大值是 3 4 12.在△4BC中，∠C=90°，4bc分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2=ac,则sinA 的值为 13.设m=51,则-16m-10m+28㎡+4= 14.两个等腰直角三角板如图放置，点F为BC的中点，AG=1,BG=4,则GH的长 为 14题图 15题图 15、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E,F分别在边AB,BC上，将菱形ABCD 沿EF所在直线折叠，点B的对应点M恰好落在边CD上，且点M为边CD的三等分点， 则器的值为 16.我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x],又把x-[x]称为x的 小数部分，记作{x,则有x=[x]+{x}.如：[2.4=2，{2.4=0.4,2.4=[2.4+{2.4： [-2.4]=-3,{-2.4}=0.6,-2.4=[-2.4]+{-2.4,则下列说法正确的是一（填序 号) ①1-5=-2： ②如m--2,则实复m的取位流国是6≤m54: ③若1<x<2且{x}=V2-1,则x=士2： ④方程5[x]+2={x}+4x的实数解有4个. 三、解答题（共6小题，共70分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17.(10分)已知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，(a-b月=a-3ab+3ab2-b3 a+b=(a+b)(a2-ab+b2),a-b3=(a-b)a'+ab+b2) (1)因式分解：x3-2x2-5x+6. (2)解方程组 [（(x+y)y=6 x3+y2=-19 18.(12分)如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山 高AB=120m,楼高CD=99m,某天上午9时太阳光 45 线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在点A处测得 60 点E的俯角∠EAM=45°，上午10时太阳光线从山顶 99m 点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角 40m 120m ∠AM=60°，已知每层楼的高度为3m,EF=40m, 问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化， 至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？ (√3≈1.73) 19.(12分)若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上 的“中线三角形”.在直角坐标系中，正方形ABCO的两直角边分别在坐标轴上，点B的坐 标是(2,2). (1)在正方形ABCO的边上找一点P,使得△POC是OC边上的“中线三角形”，求点P的坐 标 (2)直线y=-x+b与正方形ABCO的两边的交点为E,F,AOEF 能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能， 试说明理由. 20.(12分)如图1，已知△ABC,∠CAB=45°，AB=7,AC=3N2,CD⊥AB于点D.E 是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O,交BC于F,交AB于点G,连结DF,FG. (I)求证：∠BCD=∠FDB. (2)当点E在线段BF上，且△DFG为等腰三角形时，求DG的长， (3)如图2，O0与CD的另一个交点为P.若射线AP经过点，求4P的值. DE D G B 图1 图2 21.(12分)【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P,使它到三角形的三个顶点 的距离之和最小（如图1）.这个问题是有着“业余数学家之王"美誉的法国律师费马在 1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方 法如下：如图2，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到。APC'(点P,C的对应点分别为 点P',C),连接PP',则∠PAP'=60°，PC=PC. B 图1 图2 图3 图4 .,△APP为等边三角形，.AP=PP, .PA+PB+PC=PP'+PB+P'C, .当B,P,P,C四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费 马点”. (1)横线处填写的条件是 (2)当点P是△ABC的“费马点"时，∠APB=∠BPC=∠APC= (3)如图3，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E,F为BC上的点，且∠EAF=45°， 判断BE,EF,FC之间的数量关系并写出证明过程； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A,B,C为公园的出入口，∠A=7°， AB=3√km,AC=6km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P,使该凉亭到三个出入口 的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是 1 22.(12分)若关于x的函数”当1-2x≤1+与时，函数y的最大值为M,最小值为N, 令函数h,心，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数 (1)①若函数y=4044x,当t=1时，求函数y的"共同体函数"h的值： ②若函数y=kx+b（k≠0，k,b为常数)，求函数y的“共同体函数”h的解析式： (2)若函数y=2(x≥11≥)，求函数y的“共同体函数"h的最大值： （3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同 体函数"h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.十堰市第中学2024年学科特长生自主招生考试试题 数学参考答案 1、C2、B3、D4、D5、A6、C7、C8、C9、D10、A 11、412、5-1 14、17 2 13、10 15、 ,16、① 16.我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x],又把x-[x]称为x的小数部分， 记作{x},则有x=[x]+{x}.如：[2.4=2，{2.4=0.4,2.4=[2.4+{2.4：[-2.4纠=-3，{-2.4=0.6， -2.4=[-2.4纠+{-2.4，则下列说法正确的是 (填序号). ①1-5=-2： 3加m-}-2,圆装数n的敢雀范是-65m≤-4， ③若1<x<2且{x}=V2-1,则x=士V2: ④方程5[]+2={x}+4x的实数解有4个. 三、解答题（共6小题，共70分) 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形 17.己知(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a-b}=am2-3a2b+3ab2-b3 d3+b=(a+b)-ab+b2）,d3-b3=(a-b)(ad2+ab+b2） (1)因式分解：x3-2x2-5+6. [(x+y)y=6 (2)解方程组 x2+y=-19 【解答】解：x3-2x2-5x+6 =x3-3x2+(x2-5x+6) =x2(x-3)+(x-3)(x-2) =(x-3)(x2+x-2) =(x-3)(x+2)(x-1).…5 (x+y)xy=6① 【解答】解： x3+y3-19@ ②+3×①，得x3+3x3y+3y2+y3=-19+18. .(x+y)3=-1. .x+y=-1. 由x+y=-1得x=-1-y③ 把③代入①，得-(-1-y)×y=6. y24y-6=0. 解这个方程得y1=-3,y2=2. 把y1=-3,y2=2代入③，得x1=2,2=-3. ×1=2 x2=-3 原方程组的解为 …10(少一个扣2分) y1=-3y2=2 18.如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m,楼高CD=99,某天上 午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外.在点A处测得点E的俯角∠EAM =45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯 角∠FAM=60°，已知每层楼的高度为3m,EF=40m,问：以当天测量数据为依据， 不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到 该层楼的外墙？（√3≈1.73） 解：根据题意可知： 459 四边形ABDM是矩形， 60 .∴.AB=MD=120, 在Rt△AME中，MR=AMan45°=AM, 99m :40m 120m 在Rt△AMF中，MF=AMan60°=√3AM, .EF=MF-ME=40mL, D ..V3AM-AM=40, .AM≈54.8(m), .MF≈54.8X1.73≈94.80(1m), ∴.DF=120-94.80=25.2(m), 25.2÷3≈8.4， ∴.至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙。 答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙. 19.若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线 三角形”.在直角坐标系中，正方形ABCO的两直角边分别在坐标轴上，点B的坐标是(2,2). (1)在正方形ABCO的边上找一点P,使得△POC是OC边上的“中线三角形"，求点P的坐 标 (2)直线y=-x+b与正方形ABCO的两边的交点为E,F,△OEF能否是“中线三角形”？ 若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由. 【详解】(1)解：，四边形ABC0是正方形，点B的坐标是(2,2)， ∴.C(2,0),A(0,2), .OC中点D的坐标为(1,0)， 如图所示，当点P在AB上时，设P(2): △POC是OC边上的“中线三角形”， ∴.PD=OC=2, ∴.(m-1)2+(2-0)2=22, 解得m=1, ∴.点P的坐标为(1,2)： B D 如图所示，当点P在BC上时，设P(2,n); .△POC是OC边上的“中线三角形”， ∴.P3D=OC=2, ∴.(n-0)2+(2-1)2=22, 解得m=√（负值舍去)， 点P的坐标为(23)： 夕 P 如图所示，当点P在OA上时，设P(0,s): ,△POC是OC边上的“中线三角形”， ∴.PD=OC=2, ∴.(s-0)+(0-1)=22, 解得s=√3（负值舍去）， .点P的坐标为()： 综上所述，点P的坐标为(12)或(2，V3)或(0W3;…4 P (2)解：在y=-x+b中，当x=0时，y=b,当y=0时，x=b, ∴.直线y=-x+b与x轴，y轴的交点到原点的距离相同， ∴.直线y=-x+b与x轴，y轴的夹角（锐角）都为45°， .当y=-x+b与OA,OC有交点时，一定不满足△OEF能否是“中线三角形”： 当当y=-x+b与AB,BC交于E、F时，则∠BEF=∠BFE=45°， .BE=BF, 由正方形的性质可得AB=BC=OC=OA,∠OAB=∠OCB=90°， .AE=CF, ∴.△OAE≌AOCF(SAS), ∴.OE=OF; 如图所示，当中线OG=EF时， ,BE=BF,G为EF的中点， ∴EF=2BG,BG⊥EF, 同理OG⊥EF, ∴.O、B、G三点共线， ∴.OG+BG=OB, +8r=E+2-25, EF=42 3 BE=5gR= 4 8 ∴.直线EF解析式为y=-x+ 3, …8 如图所示，当中线EG=OF时，过点E作EH⊥OF于H,设OE=OF=EG=4,点T 点， ∴.OH=HG=mOG=GF=2, ∴.FH=3, 在Rt△EHG中，由勾股定理得EH?=EG2-GH, 在Rt△EH中，由勾股定理得EH=EF2-FH, ∴.EF2-(（3m2=(4m)2-m2, .EF=2√6m, .∴.TF=√6， ∴.OT=VOF2-TF2=V10, 同理可得0T+B7=OT+号P=OB, ∴.V10m+√6m=25, ∴.m=√5-√3， ·BE-5gr-2N5m=25-6, 2 .E(8-2W152), ∴.-8+2V15+b=2, ∴.b=10-215 ∴.直线EF解析式为y=-x+10-2W15;…12 P 综上所述，直线EF解析式为y=-x+。或y=-x+10-25. B 20.(12分)如图1，已知△4BC,∠CAB=45°，AB=7,AC=3√2，CDLAB于点D.E 是边BC上的动点，以DE为直径作⊙O,交BC于F,交AB于点G,连结DF,FG. 为EF中 (1)求证：∠BCD=∠FDB, (2)当点E在线段BF上，且△DFG为等腰三角形时，求DG的长， (3)如图2，O0与CD的另一个交点为P.若射线AP经过点万，求AP的值. DE E P E D B D G 图1 图2 【解答】(1)证明：，CD⊥AB, ∴.∠BCD+∠B=90 ,DE为⊙O的直径， ∠DFB=90°， .∠FDB+∠B=90°， ∴∠BCD=∠FDB;…2 (2)解：CD⊥AB,∠CAB=45°， AD-CD-VC. 2 :AC=3V2, ..AD=CD=3, ∴.BD=AB-AD=7-3=4. ∴BC=√CD2+BD2=V32+42=5. 由(1)知：DF⊥BC, ”5ac号×mB0-×8c0, .CDBD=BCDE, Dr=12 5 若△DFG为等腰三角形时， ①当DF=DG时，DG=DF=12 …………4 5 ②当DF=FG时， 连接FO并延长交DG于点H,如图， E B G .DF=FG, ..DF-FG, ∴FH⊥BD, :.DH=HG=LDG. 2 ,CD⊥AB, ∴CD∥FH △BFH∽△BCD, :阻F CD BC BF-VBD2-DF2-16 6 ..FH 5 3-5 H=48 25 DH-VDF2-FH2-36 5 ∴DG=2DH= 72 ……7 25 ③当DG=FG时， DE为⊙O的直径， .∠DFB=90° ∴∠DFG+∠BFG=90°. .DG=FG, ∴∠FDG=∠GFD, ∠FDG+∠GFB=90°. ,∠B+∠FDG=90°， .∠B=∠GFB ∴.GF=GB, :.DG=FG=GB=1BD=1X4=2. 2 2 综上，DG的长为2或72或2： 525 C P E D D G B 图1 图2 (3),四边形DPFE为圆的内接四边形， ∴∠APD=∠FED. DE为⊙O的直径， ∠DFB=90°， ∴.∠FDE叶∠FED=90°. ,CD⊥AB, ∴.∠PAD叶∠APD=90°， ..∠PAD=∠FDE, ∴.△PAD∽△EDF ..AP AD-3-5 ·DEDF124 …………12 5 21.【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之 和最小（如图1）.这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前 后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下： 如图2，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△APC(点P,C的对应点分别为点P,C'), 连接PP',则∠PAP=60°，P'C=PC. C 图1 图2 图3 图4 ,∴.△APP为等边三角形，∴.AP=PP', .'PA+PB+PC=PP'+PB+P'C', ∴.当B,P,P',C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费 马点”. (1)横线处填写的条件是： (2)当点P是△ABC的“费马点"时，∠APB=∠BPC=∠APC= ； (3)如图3，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E,F为BC上的点，且∠EAF=45°，判 断BE,EF,FC之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A,B,C为公园的出入口，∠A=75°， AB=3√2kam,AC=6km,工人师傅准备在公园内修建一凉亭P,使该凉亭到三个出入口 的距离最小，则PA+PB+PC的最小值是 【详解】解：问题背景：(1)如图2，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△APC(点P, C的对应点分别为点P',C'),连接PP',则∠PAP=60°，PC=PC .AP=AP, ∴.△APP为等边三角形， .AP=PP', .PA+PB+PC=PP'+PB+P'C", ∴.当B,P,P,C四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小，即点P是△ABC的“费 马点” …2 (2)如图2所示，设PP,AC交于O, 由(1)可得当B,P,P',C四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小， 由旋转的性质可得∠CAC'=60°，∠C'=∠ACP, 又.∠AOC=∠POC, ∴.∠CPO=∠CAC"=60 ,△APP为等边三角形， ∴.∠APP=60°， .∠AP'C'=180°-∠APP=120°，∠APC=120° .∠BPC=360°-∠ABP-∠APC=120°， ∴.∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 故答案为：120°；…4 C D B 图2 (3)EF2=BE2+CF2,理由如下： .AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠B=∠ACB=45°， 如图所示，将△BAE绕点A逆时针旋转90°，得到△CAD,连接DF, 则：∠BAE=∠DAC,∠ACD=∠B=45°，AD=AE,BE=CD ∴.∠DCF=∠ACB+∠DCA=90°， .DF=CF2+CD=CF2+BE2, ∠EAF=45°， ∴.∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC-∠EAF=45°， ∴.∠DAF=∠EAF=45°， 又，AF=FA,AD=AE, .△AFE2△AFD, ∴.EF=DF, .EF2=CF2+BE2:… …9（结果1分) 实际应用：如图所示，将aCAP绕点A逆时针旋转6O°得到△CAP',连接PP', 由问题背景(1)可得当B,P,P',C四点在同一直线上时，PA+PB+PC的值最小， 最小值为BC, 过点C'作CD⊥BA交BA延长线于D, 由旋转的性质可得∠CAC'=60°，AC'=AC=4km, .∠BAC=75°， .∠CAD=180°-∠CAC-∠BAC=45°， ∴.△CDA是等腰直角三角形， AD-cD= 2AC=22km D 、 .'BD=AB+AD=4v2km, C .'BC'=C'D+BD:=3v10km, ∴.PA+PB+PC得最小值为3W10km, 故答案为：3W1okm. …12 B 2.若关于x的函数，当1xs1+时，函数y的最大值为话，最小值为心令函 数h-“,,我们不纺把函数力称之为函数y的“失同体函数。 (1)①若函数y=4044x,当t=1时，求函数y的“共同体函数"h的值： ②若函数y=c+b（k≠0，k,b为常数)，求函数y的“共同体函数”h的解析式： (2)若函数y=2(x≥11≥，求函数y的共同体函数”h的最大值： (3)若函数y=-x2+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同 体函数"的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由 【详解】(1)解：①当1=1时，则1x1+片，即x≤， y=4044x,k=4044>0,y随x的增大而增大， h-M-V_4044404x 1 2 2=2022’ 2 2 ②若函数y=+的，当k>0时，t?x51+行》 M=+}®N=-》o, .h=M-N k 2 2 当<0时，则--6n-〔+引b ..h=M-N k 22’ 综上所述，>0时，h:专k0时，h= 2 0…3 (2)解：对于函数y=2(x≥)， 1 2>0,x≥1，函数在第一象限内，y随x的增大而减小， 11,解得号 当1 s≤1+号时， 1-2w-2=4 M=2=4 i+ 12t+1, 2 2 :h=M-N144）=22+1)-22-1) 4 4 221-121+12t-1)1)e1-12141,4 :当t≥多时，4-1随t的增大而增大， 当=时，4-1取得最小值，此时取得最大值， 4 41 最大值为h=(2r-1)(2r+2x42: 0…5 （3)对于函数y=-x2+4x+k=-(x-2)+4+k, a=-1<0,抛物线开口向下， x<2时，y随x的增大而增大， x>2时，y随x的增大而减小， 当x=2时，函数y的最大值等于4+k,…6 在s1+时， @当+2时，即时，N=+分，+4*， -+〔引-4- 的最小值为号（当=时）， 若号=4+k, 7 解得k=2 但<，放k=子不合腿意，放舍去：…7 ②当分2时，t时，-4--，N=-+- “h=M- =t-2, A的最小值为（当：时）， 若3=4+k, 解得=子 但t,故k=不合题意，故舍去…8 2 @当：号21+时，即子时，M4 2 0当2〔》2时，即≤≤2时 -+- 2 对称轴为1，分0，抛物线开口向上，在1s2上。 当12时，有最小值始 日4 解得k31 ………10 刊当2--》》2时，即2<1≤时，M=4+, N=-+4》, 2 2 ~对称轴为-，0，抛物线开口向上，在2<1≤上， 2’2 当1=2时，有最小值后， :2<2 “在2<1≤上h无最小值， 综上所述，t=2时，存在k= 8