精品解析：重庆市第十一中学2025-2026学年下学期七年级期中数学试题

重庆十一中教育集团初 2025级七下半期质量监测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 2. 下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（　 　） A. 1cm，2cm，4cm B. 8cm，6cm，4cm C. 12cm，5cm，6cm D. 1cm，3cm，4cm 3. 下列图形中，由能得到的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 7. 下列说法： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②同位角相等； ③平行于同一条直线的两条直线一定平行； ④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（　　） A. ③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③ 8. 为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 9. 已知，则下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在答题卡中对应的位置． 11. 现在人们越来越关注健康，每千克某食品中添加剂的安全含量应不超过克，用科学记数法表示这个数为___________． 12. 一个角是它余角的2倍，则这个角的度数是______________． 13. 袋子里有3个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样．小明从袋子里面摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则袋子里的白球有___________个． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 摸到红球的频率 0.25 0.22 0.22 0.21 0.19 0.20 14. 若多项式是完全平方式，则的值为___________． 15. 如图，在中，平分于点，已知阴影部分的面积为，则点到所在直线的最短距离为___________． 16. 一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“数”．如：6278，满足，则6278是“140数”，则5298是“___________数”；若一个四位数（其中，且均为整数）为“150数”，记，且是完全平方数，则满足条件的的最小值是___________． 三、解答题（本大题共86分，其中17题8分，18题8分其余每题10分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的位置． 17. 计算： （1） （2） 18. 利用整式乘法公式计算： （1）； （2）． 19. 如图，点在上，且于点． （1）尺规作图，过点，作交延长线于点（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作图形基础上，若，求证：．请填空．证明： （___________） 又 （___________）． 又（已知） ___________（___________） （___________） 20. 我校开展垃圾分类网上知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分A、B、C、D四个等级），其中获得A等级和C等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了___________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数； （3）A等级中有4名女生，B等级中有11名女生，学校计划从等级为A或B的学生中抽取1名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？ 21. 如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 先化简，再求值：，其中满足． 23. 如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为的长方形． （1）取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：___________； （2）如果用若干张三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； （3）取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，若，求出大正方形的面积． （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙不重叠地放在长方形框架内，图中两个阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为．设，当的长度变化时，要使的值始终保持不变，则之间应满足怎样的数量关系？请说明理由． 25. 解答下列问题： （1）如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． （2）如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． （3）在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中教育集团初 2025级七下半期质量监测 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案对应的方框涂黑． 1. “随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 2. 下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（　 　） A. 1cm，2cm，4cm B. 8cm，6cm，4cm C. 12cm，5cm，6cm D. 1cm，3cm，4cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴A.1cm，2cm，4cm，∵1+2＜4，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意； B.8cm，6cm，4cm，∵4+6＞8，∴能围成三角形，选项正确，符合题意； C.12cm，5cm，6cm，∵5+6＜12，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意； D.1cm，3cm，4cm，∵1+3=4，∴无法围成三角形，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3. 下列图形中，由能得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：A、∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）； B、D、由无法证得，故错误； C、∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又（对顶角相等）， 本选项正确. 4. 下列不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】解：A．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； C．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 下列运算结果是的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法逐项排查即可． 【详解】解：A.，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.，故C不符合题意； D.，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关算法是解答本题的关键． 6. 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴依据是， 故选B． 7. 下列说法： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②同位角相等； ③平行于同一条直线的两条直线一定平行； ④连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．其中正确的是（　　） A. ③④ B. ①② C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【详解】解：① 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①正确； ② 同位角相等的前提是两直线平行，题目未给出该条件，故②错误； ③ 根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线一定平行，故③正确； ④ 根据垂线段的性质，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，故④正确； 因此正确的是①③④． 8. 为了丰富数学学习方法，老师带领学生们在综合实践活动课上学习了问题解决策略：特殊化．内容为：点是等边三角形内的任意一点，过点向等边三角形作垂线，垂足分别为．其中，已知长度为2，请同学们从特殊情形入手，探索的长度为（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则，由三线合一定理和等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 当点P是的三边的垂直平分线的交点时，则， 又∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 9. 已知，则下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，代入，， ，A错误； B、，代入已知得，等式成立，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，下列说法： （1）若，则整式的值是3； （2）若，则； （3）若，则满足条件的整式共有5个． 其中正确的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】（1）可求出，用整体代入法求代数式的值判断正误，（2）当时，，把代入可判断正误；（3）根据条件分类讨论计数，判断说法正误． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，原说法错误； （2）∵， ∴当时， ∵， ∴当时， ∴，原说法正确； （3）∵，且为自然数，为正整数， ∴当时，或或， 当时，或 当时，， ∴符合条件的整式A共有 个，原说法错误； ∴正确的只有（2）． 二、填空题：（本题共6个小题，每小题4分，共24分）请把下列各题的正确答案直接填写在答题卡中对应的位置． 11. 现在人们越来越关注健康，每千克某食品中添加剂的安全含量应不超过克，用科学记数法表示这个数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 12. 一个角是它余角的2倍，则这个角的度数是______________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】先设这个角的度数为x，表示出余角，根据题意列出方程，再求出解即可． 【详解】设这个角的度数为x，则余角是，根据题意，得 ， 解得， 所以这个角的度数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角，根据等量关系列出方程是解题的关键． 13. 袋子里有3个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样．小明从袋子里面摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则袋子里的白球有___________个． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 摸到红球的频率 0.25 0.22 0.22 0.21 0.19 0.20 【答案】12 【解析】 【分析】观察表格发现，随着试验总次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在0.20附近，那么从中摸出1个球是红球的概率的估计是0.20，再用概率公式求解． 【详解】解：观察表格发现，随着试验总次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在0.20附近， ∴从中摸出1个球是红球的概率的估计是0.20， 设袋子里的白球有个， 由题意得，， 解得， 经检验：得是方程的解， ∴袋子里的白球有个． 14. 若多项式是完全平方式，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：完全平方式的结构为， 多项式中，首项，末项， 因此中间项满足， 整理得， 解得． 15. 如图，在中，平分于点，已知阴影部分的面积为，则点到所在直线的最短距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点E，证明，利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式求得的长即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积， 解得， 又， ∴， 点A到所在直线的最短距离． 16. 一个各个数位上数字互不相同且均不为零的四位自然数，若它的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数之和为，则称这个数为“数”．如：6278，满足，则6278是“140数”，则5298是“___________数”；若一个四位数（其中，且均为整数）为“150数”，记，且是完全平方数，则满足条件的的最小值是___________． 【答案】 ①. 150 ②. 【解析】 【分析】对于第一空计算出的结果即可；对于第二空，根据定义可得，则可推出，进而得到即是的整数倍，根据b、d的取值范围可推出，则可求出；可证明，则可证明；根据是完全平方数，一定是11的整数倍，则可得到，据此讨论a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴5298是“150数”； ∵为“150数”， ∴， ∴， ∴， ∵和150都能被10整除， ∴能被10整除，即是的整数倍， ∵，，，，且，，，均为整数，且各个数位上数字互不相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵，且，均为整数，且各个数位上数字互不相同， ∴， ∵是完全平方数， ∴一定是11与一个完全平方数的乘积，即一定是11的整数倍， ∴， ∴， ∴或或或或， 当时，，，此时； 当时，，（，舍）； 当时，，（，舍）； 当时，，，此时； 当时，，，； ∵， ∴满足条件的M的最小值是． 三、解答题（本大题共86分，其中17题8分，18题8分其余每题10分）请把下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的位置． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 利用整式乘法公式计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，解题的关键是： （1）利用完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，点在上，且于点． （1）尺规作图，过点，作交延长线于点（要求：不写作法，不下结论，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作图形基础上，若，求证：．请填空．证明： （___________） 又 （___________）． 又（已知） ___________（___________） （___________） 【答案】（1）见解析 （2）两直线平行，同位角相等；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】（1）按照尺规作一个角等于已知角的步骤作出即可得到； （2）根据平行线的判定与性质证明即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明： （两直线平行，同位角相等） 又 ． 又（已知） （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行） 20. 我校开展垃圾分类网上知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分A、B、C、D四个等级），其中获得A等级和C等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽取了___________名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数； （3）A等级中有4名女生，B等级中有11名女生，学校计划从等级为A或B的学生中抽取1名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？ 【答案】（1）40 （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）用A等级的人数除以其人数占比可得答案； （2）求出D等级的人数，可补全统计图，再用360度乘以B等级的人数占比可求出对应的圆心角度数； （3）用A等级和B等级的女生人数之和除以A等级和B等级的人数之和即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， ∴共抽取了40名学生； 【小问2详解】 解：D等级的人数为人， 补全统计图如下： 扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：， ∴抽到女生的概率是． 21. 如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出，结合，利用，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵上的高线与上的高线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 22. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 23. 如图，已知，且，点在的延长线上，且平分． （1）求证：； （2）写出之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，得出，即可得到结论； （2）过点作，得到，根据平行线的性质即可得到结论； （3）先求出，过点作，得到，，进而求出，再根据平分，得到，再求出，根据平行线的性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 如图，过点作， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图，A型卡片是边长为的正方形，B型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为的长方形． （1）取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，可拼成如图2所示的大正方形，通过用不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可得到等式：___________； （2）如果用若干张三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图； （3）取出一张A型卡片，一张B型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图3所示，图中型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，若，求出大正方形的面积． （4）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式无缝隙不重叠地放在长方形框架内，图中两个阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分，其面积分别表示为．设，当的长度变化时，要使的值始终保持不变，则之间应满足怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1） （2）图见解析 （3）88 （4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据阴影部分的面积的两种表示方法求解即可； （2）画一个长方形的两个邻边分别为和即可； （3）先计算出，，，然后整体代入即可求解； （4）设，结合图形，计算的值得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关即可求解． 【小问1详解】 解：由图可知，，， 阴影部分面积可表示为：或； ∴可得到等式为： 【小问2详解】 解：如图： 【小问3详解】 解：由图可知，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴大正方形的面积88． 【小问4详解】 解：． 理由如下： 设，由图可知，，， ∴ ， ∵当的长度变化时，的值始终保持不变，即的值与无关， ∴， ∴． 25. 解答下列问题： （1）如图1，在中，点在线段上，且与的面积相等．已知，并且的长度是一个正整数．过点作，与的延长线交于点．请求出线段的长度． （2）如图2，在四边形中，与均为等腰直角三角形，其中，且．判断与的面积是否相等，并写出推理过程． （3）在（2）的条件下，已知，并且的面积为．如图3，现计划架设一条笔直的输水管道，点在边上，且的延长线经过线段的中点．若管道的造价为每米300元，求架设该管道的总造价． 【答案】（1）6 （2）与的面积相等，推理过程见解析 （3）18000元 【解析】 【分析】（1）根据与的面积相等，可得，则可证明，得到，根据三角形三边的关系确定的取值范围，进而确定的值即可得到答案； （2）取的中点O，过点B作，交的延长线于点F，同理可证明，则，证明，得到，则可证明； （3）过点作，交的延长线于，证明，得到，则可证明，证明，得到，则可证明．由（2）得与的面积相等，根据三角形的面积公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵与的面积相等， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵的长度是一个正整数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：与的面积相等，推理过程如下： 如图所示，取的中点O，过点B作，交的延长线于点F， 同理可证明， ∴， ∵， ∴ ∵与均为等腰直角三角形，其中， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：过点作，交的延长线于， ∴， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， ． 由（2）得：与的面积相等， ， 又∵， ， ∴架设该管道的总造价为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $