第八章四边形--- 专题几何特训 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以中考真题为载体，系统整合四边形性质与动态几何问题，通过"性质应用-模型构建-最值探究"三阶训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |课前热身|15题|中点构造中位线、垂线段最短求最值、平行四边形存在性分类讨论|从三角形中位线拓展到四边形中点问题，逐步构建"已知中点想中位线"的解题思维| |典型例题|10题|菱形对角线性质证明、矩形折叠动态分析、正方形旋转全等模型|以特殊四边形性质为核心，通过变式训练强化"图形性质-辅助线添加-代数计算"的逻辑链条| |巩固练习|16题|翻折变换中对应边相等、动点轨迹分析、几何最值代数化|综合应用四边形性质与变换，突出"静态性质+动态变化"的中考命题趋势，培养空间观念与模型意识|

八下数学《专题几何特训》 【课前热身】 1．（2025春•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE，点F在DE上，连结FB，FC，若FB⊥FC，BC＝6，DF＝1，则AC的长为　 　 ． 2．（2025秋•淄川区期末）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　 　 ． 3．（2026春•同步）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边BC上一点，E为边AB上的动点，F，G分别为CD，DE的中点，则FG的最小值为　 　 ． 4．（2024春•包河区期末）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 　 　 ． 5．（2024春•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　 　 ． 6．（2026春•南京校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，E、F、G分别是BO、CO、AD的中点，连接EF、GE、GF，BD＝2AB，BC＝7，AC＝8，则△EFG的周长为 　 　 ． 7．（2026春•南京期中）如图，△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝6，点D在AB边上，以AD，CD为邻边作▱AECD，则DE长度的最小值是　 　 ． 8．（2023•福田区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，在边AB上取点D使∠ACD＝30°，点M为射线CD上任意一点，以AB，BM为邻边做▱ABMN，则线段BN的最小值为 　 　 ． 9．（2021春•建邺区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　 　 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 10．（2024春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），O（0，0）．若以A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，那么点C的坐标是　 　 ． 11．（2025春•无锡期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A． B．或 C． D．或 12．（2017春•鼓楼区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 　 　 次． 14．（2025春•南京期中）如图，已知AB＝10，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为 　 　 ． 15．（2024春•玄武区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　 　 ． 13．（2025•建邺区校级模拟）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【典型例题】 1．（2025春•鼓楼区期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在AO，CO上，且OE＝OF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形ABCD和菱形BEDF的面积分别为14，6，则的值为　 　 ． 2．（2025春•建邺区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 　 　 ． 3．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 4．（2025春•南京校级月考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点． （1）求证：四边形DEFG为矩形； （2）若AB＝20，EF＝8，求CG的长． 5．（2025春•玄武区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BE∥AD，AE⊥AD． （1）求证：四边形ADBE是矩形； （2）作EF⊥AB于F，若BC＝4，AD＝3，求EF的长． 6．（2023春•建邺区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　 　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 7．（2017春•鼓楼区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，设落点为E，折痕MN与DE相交于Q． （1）若E是BC的中点，求DN的长； （2）比较线段DE与MN的大小，并说明理由； （3）若点G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，请直接写出△GQE周长的最小值． 8．（2025春•南京期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． （1）如图①，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E在边AB上，延长EO交CD于点G． （Ⅰ）求证：OE＝OG； （Ⅱ）将OE绕点O旋转，使点E落在BC上的F处，延长FO交AD于点H，请画出四边形EFGH，并证明四边形EFGH是矩形． （2）如图②，在菱形ABCD中，正方形EFGH的顶点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG．F，H两点在菱形ABCD的内部（包括边界）． （Ⅰ）在图③中用直尺和圆规作面积最小的正方形EFGH（保留作图痕迹，不写作法）； （Ⅱ）若AC＝4，BD＝12，则正方形EFGH面积的最大值为 　 　 ． 9．（2025春•建湖县期中）【问题初探】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？直接判断：AE　 　 BF（填“＝”或“≠”）； 【问题迁移】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 【问题延伸】 （3）如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN； 【问题拓展】 （4）如图4，在边长为4的正方形ABCD中，F是CD的中点．M是BF上的动点，过点M作EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E．直接写出（EF+BG）2的最小值为　 ． 10．（2025春•鼓楼区期中）正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上． （1）如图1，若AE＝BF，则线段AF、DE的位置关系是　 　 ． （2）如图2，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE相交于点G，连接CG．求证：CG＝CB． （3）如图3，过点C作AF的垂线，垂足为P，连接PB．若∠APB＝45°，直接写出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系　 　 ． （4）若P是直线BC下方一点，O是正方形ABCD的对称中心，且OP＝OB，连接PA、PB、PC．线段PA、PB、PC之间的数量关系是否发生变化？请补全图4并说明理由． 【巩固练习】 1．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC，连接PA，则∠PAD＝　 　 °． 2．（2025春•南京期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，过点B作BG⊥EF交CD于点G，连接FG．若BE＝2CG，下列结论：①BG＝EF；②∠EFG＝2∠CBG；③∠CBG+∠EFG＝45°．其中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 3．（2022•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6，AB＝4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则t的值为　 　 ． 4．（2025春•建邺区校级期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若AD＝10，AB＝11，则a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）如图1，若长方形ABCD的面积为56，其中阴影部分的面积为26，a＞b，求a﹣b的值． （3）如图2，若AD的长度为6，AB的长度为n． ①当m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 时，a，b的值有无数组； ②当m　 　 ，n　 　 时，a，b的值不存在． 4．（2016春•玄武区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，在下列四个图形中，阴影部分的面积与其他三个阴影部分面积不相等的是（　　） A．B． C． D． 6．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　 　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【答案】1.2． 【解答】解：如图，连接CE， ∵点F，G分别为CD，DE的中点， ∴FGCE， 当CE⊥AB时，CE的值最小，此时FG的值也最小， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5． ∵S△ABCAB•CEAC•BC， ∴CE， ∴FGCE＝1.2， 故答案为：1.2． 4．（2024春•包河区期末）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝11，点D是AC的中点，DE∥BC，若∠AEB＝90°，则DE长的为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图，延长AE，交BC于点F， ∵点D是AC的中点，DE∥BC， ∴AE＝EF， 在△AEB和△AEF中， ， ∴△AEB≌△AEF（SAS）， ∴BF＝AB＝7， ∴FC＝BC﹣BF＝11﹣7＝4， ∵AD＝DC，AE＝EF， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEFC＝2， 故答案为：2． 二．平行四边形的性质（共4小题） 5．（2024春•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　　 ． 【答案】 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′， ∴则PQ的最小值为2OP′， 故答案为：． 6．（2026春•南京校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，E、F、G分别是BO、CO、AD的中点，连接EF、GE、GF，BD＝2AB，BC＝7，AC＝8，则△EFG的周长为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：连接DF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OCAC＝4， ∵BD＝2AB， ∴AB＝OD， ∴DO＝DC， ∵点F是OC的中点， ∴OFOC＝2，DF⊥OC， ∴AF＝OA+OF＝6， 在Rt△AFD中，DF， ∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°， ∴DG＝FGAD＝3.5， ∵点E，点F分别是OB，OC的中点， ∴EF是△OBC的中位线， ∴EFBC＝3.5，EF∥BC， ∴EF＝DG，EF∥AD， ∴四边形GEFD是平行四边形， ∴GE＝DF， ∴△EFG的周长＝GE+GF+EF3.5+3.5＝7， 故答案为：7． 7．（2026春•南京期中）如图，△ABC中∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝6，点D在AB边上，以AD，CD为邻边作▱AECD，则DE长度的最小值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：过D作DM⊥AB于点M， 在▱AECD中，DE＝2DF，AC＝2AF， ∴要求DE最小值，则可求DF最小值， 根据垂线段最短可知DF⊥AB时最小，此时点D与点M重合， ∵∠B＝60°，AB＝6， ∴AC＝3，AF， 在Rt△AFM中，∠A＝30°， ∴FM， 此时DE＝2DF＝2DM； 故答案为：． 8．（2023•福田区校级三模）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，BC＝10，在边AB上取点D使∠ACD＝30°，点M为射线CD上任意一点，以AB，BM为邻边做▱ABMN，则线段BN的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接BN，AM，BN与AM交于点O，取AC的中点E，AD的中点F，作射线EF，过点B作BH⊥EF，垂足为H，如图所示： 在平行四边形ABMN中，OB＝ON，AO＝MO， ∵点M为射线CD上任意一点， ∴点O在射线EF上， 当OB取得最小值时，BN取得最小值， 即当点O与点H重合时，BN取得最小值， 此时BN＝2BH， ∵∠ACD＝30°，∠BAC＝90°，AC＝6， 设AD＝x， 则CD＝2x， 根据勾股定理，得x2+62＝（2x）2， 解得x， ∴AD， ∵E为AC的中点，F为AD的中点， ∴EF为△ADC的中位线，AF， ∴EF∥CD， ∴∠AEF＝∠ACD＝30°， ∴∠AFE＝60°， ∴∠BFH＝∠AFE＝60°， ∵∠BHF＝90°， ∴∠HBF＝30°， ∵AC＝6，BC＝10，∠BAC＝90°， 根据勾股定理，得AB8， ∴BF＝8， ∴FH， 在Rt△FHB中，根据勾股定理，得BH， ∴BN的最小值为2， 故答案为：． 三．平行四边形的判定（共3小题） 9．（2021春•建邺区校级期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　4s或s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4s或s 【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝4﹣2t，解得t， ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4，解得t＝4， 综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：4s或s． 10．（2024春•鼓楼区校级期中）在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），O（0，0）．若以A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，那么点C的坐标是　（0，2）或（0，﹣2）或（﹣4，0）　 ． 【答案】（0，2）或（0，﹣2）或（﹣4，0） 【解答】解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB＝OC， ∵A（﹣2，1），B（﹣2，﹣1），O（0，0）． ∴C（0，2）或（0，﹣2）． ②当AB为该平行四边形的对角线时，C（﹣4，0）． 综上所述，点C的坐标是（0，2）或（0，﹣2）或（﹣4，0）． 故答案为：（0，2）或（0，﹣2）或（﹣4，0）． 11．（2025春•无锡期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段DA上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解答】解：由题意可知，AD∥BC，QD＝t，BP＝3t， 分两种情况： ①如图1，点P在BC上，当QD＝CP时，四边形CDQP是平行四边形， 由题意得：CP＝BC﹣BP＝21﹣3t， ∴t＝21﹣3t， 解得：t； ②如图2，点P在BC的延长线上，当QD＝CP时，四边形CQDP是平行四边形， 由题意得：CP＝BP﹣BC＝3t﹣21， ∴t＝3t﹣21， 解得：t； 综上所述：当t的值为或时，以P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形， 故选：B． 四．平行四边形的判定与性质（共2小题） 12．（2017春•鼓楼区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有 　3　 次． 【答案】3 【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t， 此时方程t＝0，此时不符合题意； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t， 解得：t＝9.6； ∴共3次． 故答案为：3． 13．（2025•建邺区校级模拟）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解答】证明：（1）如图1，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝CH， ∴OA﹣AG＝OC﹣CH， 即OG＝OH， ∴四边形BHDG是平行四边形； （2）如图2，连接BD交AC于点O，连接BG，BH， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝GH， ∵E是AB的中点， ∴EG是△ABH的中位线， ∴EG∥BH， 同理BG∥DH， ∴四边形BHDG是平行四边形， ∴BO＝OD，GO＝OH， 又∵AG＝HC， ∴AG+GO＝HC+OH， 即AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 五．菱形的性质（共2小题） 14．（2025春•南京期中）如图，已知AB＝10，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为 　　 ． 【答案】 【解答】解：连接DP，连接PF，连接DF， ∵MA＝CM，EN＝BN， ∴点M在线段PD上，点N在线段PF上， ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形， ∴点M是DP中点，点N是PF中点， ∴MN是△PDF的中位线， ∴MNDF， 当DF最小时，MN最小， DF的最小值为DF垂直BF时， ∵∠DAB＝60°， ∴DF的最小值为5 ∴MN的最小值为 故答案为：． 15．（2024春•玄武区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（5，4）　 ． 【答案】（5，4） 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB＝AO+OB＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴DO4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 六．菱形的判定与性质（共1小题） 16．（2025春•鼓楼区期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别在AO，CO上，且OE＝OF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若菱形ABCD和菱形BEDF的面积分别为14，6，则的值为　　 ． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC，OA＝OB，AC⊥BD， ∵OE＝OF， ∴四边形DEBF为平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形DEBF为菱形； （2）解：∵菱形ABCD和菱形BEDF的面积分别为14，6， ∴，6， ∴， ∴， 设AC＝7x，则EF＝3x， ∵OA＝OC，， ∴AE＝OA﹣OE＝2x， ∴． 七．矩形的性质（共1小题） 17．（2025春•建邺区校级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，连接AF，CE． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 　　 ． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴CF∥AE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB∥CD， ∵AB＝3，BC， ∴AC， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴CF＝AE， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为． 故答案为：． 八．矩形的判定（共1小题） 18．（2026•鼓楼区一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若AB＝BO，当∠ABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CDF， ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中， 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，∠ADB＝90°， ∵BE∥AD，AE⊥AD， ∴∠DBE＝90°，∠DAE＝90°， ∴四边形ADBE是矩形； （2）解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝4，AD＝3， ∴． 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：． ∵四边形ADBE是矩形， ∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝2． ∵， ∴． 21．（2023春•建邺区校级期中）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． （1）若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？ 答：　四边形EGFH是平行四边形　 ；（直接填空，不用说理） （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形EGFH是平行四边形，理由如下： 由题意得：AE＝CF＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC中点， ∴AGAD，CHBC， ∴AG＝CH， ∴△AEG≌△CFH（SAS）， ∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH， ∴∠FEG＝∠EFH， ∴EG∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形； 故答案为：四边形EGFH是平行四边形； （2）如图1，连接GH， 由（1）得AG＝BH，AG∥BH，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， ∴EF＝GH＝6， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10﹣2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， ∵EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t﹣10＝2t﹣10＝6， ∴t＝8； 综上，四边形EGFH为矩形时t＝2或t＝8； （3）如图3，M和N分别是AD和BC的中点，连接AH，CG，GH，AC与GH交于O， ∵四边形EGFH为菱形， ∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF， ∴OA＝OC，AG＝AH， ∴四边形AGCH为菱形， ∴AG＝CG， 设AG＝CG＝x，则DG＝8﹣x， 由勾股定理可得：CD2+DG2＝CG2， 即：62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴MG4，即t， ∴当t时，四边形EGFH为菱形． 十．正方形的性质（共3小题） 22．（2026•南京一模）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边△PBC，连接PA，则∠PAD＝　15　 °． 【答案】15°． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形， ∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝∠DAB＝90°，∠PBC＝60°， ∴∠ABP＝30°， ∴， ∴∠PAD＝90°﹣75°＝15°； 故答案为：15°． 23．（2025春•南京期中）如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，过点B作BG⊥EF交CD于点G，连接FG．若BE＝2CG，下列结论：①BG＝EF；②∠EFG＝2∠CBG；③∠CBG+∠EFG＝45°．其中，所有正确结论的序号是 　①③　 ． 【答案】①③ 【解答】解：①过点A作AH∥EF，交BC于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DAB＝90°，AD∥BC， ∴四边形AHEF是平行四边形， ∴AF＝HE，AH＝EF， ∵AH∥EF，BG⊥EF， ∴AH⊥BG， ∴∠BAH+∠ABG＝90°， 又∵∠ABG+∠CBG＝∠ABC＝90°， ∴∠BAH＝∠CBG， 在△BAH和△CBG中， ， ∴△BAH≌△CBG（SAS）， ∴AH＝BG， ∵AH＝EF， ∴BG＝EF， 故结论①正确； ②∵△BAH≌△CBG， ∴BH＝CG， ∵BE＝2CG， ∴BH+HE＝2CG， ∴CG+HE＝2CG， ∴HE＝CG， ∵AF＝HE， ∴CG＝AF， ∵CD＝AD， ∴CD﹣CG＝AD﹣AF， ∴DG＝DF， ∵∠D＝90°， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∴∠DFG＝45°， 假设∠EFG＝2∠CBG， 设∠CBG＝α，则∠EFG＝2α， ∴∠BAH＝∠CBG＝α， ∴∠DFE＝∠DFG+∠EFG＝45°+2α， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DAH＝∠DAB﹣∠BAH＝90°﹣α， ∵AH∥EF， ∴∠DFE＝∠DAH， ∴45°+2α＝90°﹣α， ∴α＝15°， ∴∠CBG＝α＝15°， 根据已知条件无法确定∠CBG＝15°， 故结论②不正确； ∵∠DAH＝∠DAB﹣∠BAH，∠BAH＝∠CBG， ∴∠DAH＝90°﹣∠CBG， ∵∠DFG＝45°， ∴∠DFE＝∠DFG+∠EFG＝45°+∠EFG， ∵∠DFE＝∠DAH， ∴90°﹣∠CBG＝45°+∠EFG， ∴∠CBG+∠EFG＝45°， 综上所述：正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 24．（2025春•建邺区校级期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若AD＝10，AB＝11，则a＝ 　3　 ，b＝ 　4　 ． （2）如图1，若长方形ABCD的面积为56，其中阴影部分的面积为26，a＞b，求a﹣b的值． （3）如图2，若AD的长度为6，AB的长度为n． ①当m＝ 　4　 ，n＝ 　12　 时，a，b的值有无数组； ②当m　＝4　 ，n　≠12　 时，a，b的值不存在． 【答案】（1）a＝4，b＝3； （2）a﹣b＝1； （3）①4，12； ②＝4，≠12． 【解答】解：（1）∵AD＝10，AB＝11， ∴， ∴a＝4，b＝3， 故答案为：3，4； （2）方法1：由图可知：2a2+2b2＝26，5ab＝56﹣26＝30， ∴a2+b2＝13，ab＝6， ∵（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1， ∴a﹣b＝1（负值舍去）； （3）①， ∵a，b的值有无数组； ∴，， ∴m＝4，n＝12； ②， a，b的值不存在． ∴，6， ∴m＝4，n≠12； 故答案为4，12；＝4，≠12． 十一．正方形的判定与性质（共1小题） 25．（2024春•鼓楼区校级期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45　 °（直接写出结果不写解答过程）； （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝3，求DF的长． 【答案】（1）45； （2）①见解答；②2． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFEDFE，∠AEFBEF， ∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝3， ∴BC＝6， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝6， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝6， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即32+（6﹣x）2＝（x+3）2， 解得：x＝2， ∴DF的长为2． 十二．中点四边形（共1小题） 26．（2016春•玄武区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，在下列四个图形中，阴影部分的面积与其他三个阴影部分面积不相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得，A、C、D三选项中的阴影部分的面积均为平行四边形ABCD面积的一半， 只有B选项中阴影部分的面积与其他选项不等， 故选：B． 十三．四边形综合题（共3小题） 27．（2025春•南京期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． （1）如图①，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，点E在边AB上，延长EO交CD于点G． （Ⅰ）求证：OE＝OG； （Ⅱ）将OE绕点O旋转，使点E落在BC上的F处，延长FO交AD于点H，请画出四边形EFGH，并证明四边形EFGH是矩形． （2）如图②，在菱形ABCD中，正方形EFGH的顶点E，G分别在边AB，CD上，且AE＝CG．F，H两点在菱形ABCD的内部（包括边界）． （Ⅰ）在图③中用直尺和圆规作面积最小的正方形EFGH（保留作图痕迹，不写作法）； （Ⅱ）若AC＝4，BD＝12，则正方形EFGH面积的最大值为 　9　 ． 【答案】（1）（I）见解析；（II）见解析； （2）（I）见解析；（II）9． 【解答】（1）（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCG， 在△AOE和△COG中， ， ∴△AOE≌△COG（ASA）， ∴OE＝OG； （Ⅱ）解：画出四边形EFGH如图所示： 由（Ⅰ）知OE＝OG， 同理可得OF＝OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵OE+OG＝OF+OH，即EG＝FH， ∴四边形EFGH是矩形； （2）（Ⅰ）解：画出面积最小的正方形EFGH如图所示： （Ⅱ）解：由（I）知正方形EFGH的面积随OE的增大而增大，如图，当点H，F分别落在AD，BC上时，正方形EFGH的面积最大，设EH，AC交于点Q，EF，BD交于点P， ∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC＝4，BD＝12， ∴∠AOB＝90°，， 设正方形边长为x，则，， ∴S菱形ABCD＝2S△EHA+2S△BEF+S正方形EFGH， 则， 整理得：24＝8x， 解得：x＝3， ∴正方形EFGH的面积最大为32＝9， 故答案为：9． 28．（2025春•建湖县期中）【问题初探】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？直接判断：AE　＝　 BF（填“＝”或“≠”）； 【问题迁移】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论； 【问题延伸】 （3）如图3，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN； 【问题拓展】 （4）如图4，在边长为4的正方形ABCD中，F是CD的中点．M是BF上的动点，过点M作EG⊥BF，分别交AD，BC于点G，E．直接写出（EF+BG）2的最小值为　40　 ． 【答案】（1）＝； （2）GE＝BF，理由见解析； （3）见解析； （4）40． 【解答】（1）解：AE＝BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC， ∴∠ABM+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AMB＝90°， ∴∠BAE+∠ABM＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， 故答案为：＝； （2）解：GE＝BF， 理由：如图2， 作AH∥EG，交BC于H， ∵EG⊥BF， ∴AH⊥BF， 由（1）知：AH＝BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴四边形AHEG是平行四边形， ∴GE＝AH， ∴GE＝BF； （3）证明：如图3，连接FA，FP，FC ∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点， ∴FA＝FC， 又∵FE垂直平分AP， ∴FA＝FP， ∴FP＝FC， ∴∠FPC＝∠FCP， ∵∠FAB＝∠FCP， ∴∠FAB＝∠FPC， ∴∠FAB+∠FPB＝180°， ∴∠ABC+∠AFP＝180°， ∴∠AFP＝90°， ∴FEAP， 由（1）知，AP＝MN， ∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF， ∴EF＝ME+FN； （4）解：过点F作FK∥EG，过点G作GK∥EF， ∴四边形EFKG是平行四边形， ∴GK＝EF，FK＝EG， ∴EF+BG＝GK+BG， ∵BG+GK≥KK， ∴当B，G，K三点共线时，BG+KG的值最小， 由（2）可知EG＝BF， ∴FK＝BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CFDC＝2， ∴BF2， ∵BF⊥EG，FK∥EG， ∴FK⊥BF， ∴BK2， ∴EF+BG的最小值为2， ∴（EF+BG）2的最小值为40， 故答案为：40． 29．（2025春•鼓楼区期中）正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上． （1）如图1，若AE＝BF，则线段AF、DE的位置关系是AF⊥DE ． （2）如图2，E、F分别是AB、BC的中点，AF与DE相交于点G，连接CG．求证：CG＝CB． （3）如图3，过点C作AF的垂线，垂足为P，连接PB．若∠APB＝45°，直接写出三条线段PA、PB、PC之间的数量关系PA﹣PCPB ． （4）若P是直线BC下方一点，O是正方形ABCD的对称中心，且OP＝OB，连接PA、PB、PC．线段PA、PB、PC之间的数量关系是否发生变化？请补全图4并说明理由． 【答案】（1）AF⊥DE； （2）证明见解析； （3）PA﹣PCPB； （4）线段PA、PB、PC之间的数量关系不发生变化，理由见解析． 【解答】（1）解：在正方形ABCD中，则AB＝AD，∠B＝∠BAD＝90°， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（SAS）， ∴AF＝DE，∠BAF＝∠ADE， ∵∠BAF+∠DAF＝90°， ∴∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠AGD＝90°， ∴AF⊥DE， 故答案为：AF⊥DE； （2）证明：取AD中点H，连接CH交GD于点I， 同理可证△CDH≌△DAE（SAS）， ∴CH＝DE，CH⊥DE， ∴CH∥AF， ∵H为AD中点， ∴I是DG中点， ∵CI⊥DG， ∴CG＝CD， ∴CG＝CB； （3）过B作BM⊥CP于点P，MN⊥AP于点N，则∠ANB＝∠CMB＝90°， ∵CP⊥AF， ∴∠APC＝90°＝∠ABC， ∵∠AFB＝∠CFP， ∴∠BAN＝∠BCM， 在△ABN和△CBM中， ， ∴△ABN≌△CBM（AAS）， ∴AN＝CM， ∴PA﹣PN＝PC+PM， ∵∠MPN＝∠BNP＝∠M＝90°， ∴四边形BMPN是矩形， ∵∠APB＝45°， ∴四边形BMPN是正方形， ∴PM＝PNPB， ∴PAPB＝PCPB， ∴PA﹣PCPB； 故答案为：PA﹣PCPB； （4）补全图形如图所示， 线段PA、PB、PC之间的数量关系不发生变化，理由如下： 由题可知OP＝OB＝OC＝OA， ∴∠OAP＝∠OPA，∠OPC＝∠OCP， ∵∠OAP+∠OPA，+∠OPC+∠OCP＝180°， ∴∠OPA+∠OPC＝90°，即∠APC＝90°， ∴AP⊥CP， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPC＝∠OCP， 在四边形OBPC中，135°， ∴∠APB＝∠BPC﹣∠APC＝45°， 由（3）知PA﹣PCPB， 故线段PA、PB、PC之间的数量关系不发生变化． 十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 30．（2022•南京模拟）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝6，AB＝4，点E为线段BC的中点，动点F从点B出发，沿B→A→D的方向在BA，AD上运动，以每秒1个单位的速度从点B出发，设运动时间为t，将矩形沿EF折叠，点B的对应点为B′，当点B′恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则t的值为　2或　 ． 【答案】2或 【解答】解：连接BB'，如图 由翻折可得B'E＝BE， ∵点E为BC中点， ∴B'E＝BE＝EC， ∴∠BB'C＝90°， 又∵BB'⊥EF， ∴EF∥AC， ∴F为AB中点， ∴BFAB＝2， ∴t＝2． 如图，当EF⊥BD时，作FG⊥BE于点G， ∵BD所在直线斜率为， ∴EF所在直线斜率为，即， ∵BG＝AF＝t﹣4，BEBC＝3， ∴GE＝BE﹣BG＝7﹣t， 又∵FG＝AB＝4， ∴， 解得t． 故答案为：2或 31．（2017春•鼓楼区期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点M、N分别在AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，设落点为E，折痕MN与DE相交于Q． （1）若E是BC的中点，求DN的长； （2）比较线段DE与MN的大小，并说明理由； （3）若点G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，请直接写出△GQE周长的最小值． 第3页（共35页） 学科网（北京）股份有限公司 $