第八章四边形专题复习--正方形中的常见模型2025--2026学年苏科版数学八年级下册

第八章四边形专题复习--正方形中常见的模型 1．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED，过点C作ED的垂线交对角线BD于点M，垂足为F，若，则DM的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一动点（不与端点重合），AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE交BC于点H，过点H作HG⊥BD于点G，连接AH，HE．给出下列结论：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．数学活动：探究正方形中的“十字”． （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：　 　 ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明；如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的中点E处，点C落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为　 　 ． 4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE与DA的延长线交于点M，OF与AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：AM＝BN； （2）若正方形ABCD的边长为2，E为OM的中点，求MN的长． 5．探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE+BF＝EF． 感悟解题方法，并完成下列填空 证明：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABG＝∠D＝90°， ∴△ADE≌△ABG． ∴AG＝AE，∠1＝∠2； ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°． ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝45°． 即∠GAF＝∠　 　 ． 又AG＝AE，AF＝AF， ∴△GAF≌　 　 ． ∴FG＝EF， ∵FG＝FB+BG， 又BG＝DE， ∴DE+BF＝EF． 变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 　 　 ； （2）方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：　 　 ． 6．四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点（不与点A、C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）填空：AC的长为　 　 ，∠ACB＝　 　 度； （2）如图，当点F在线段BC的延长线上时： ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若，求正方形DEFG的边长； （3）取CD的中点O，连接OG，当OG最小时，线段AE的值为　 　 （请直接写出答案）． 7．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD边上的点，连接DE，GF，若DE⊥GF，判断DE与GF之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将GF沿AD方向平移到DH，连接CH．根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE＝DH，继而得到DE＝GF． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A＝60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M．若∠EMG＝60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由； 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，且AD＝CE，AD与CE交于点O，∠AOE＝60°，判断AE+CD与AD的大小关系，并说明理由； 拓展探究： （3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG．若AB＝6，CE＝2BE，请直接写出AG+EF的最小值． 参考答案与试题解析 1．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，连接ED，过点C作ED的垂线交对角线BD于点M，垂足为F，若，则DM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质、勾股定理得到OC＝OD＝1，进而求出OE，证明△COM≌△DOE，根据全等三角形的性质得到OM＝OE＝﹣1，计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，OC⊥OD， ∵CD＝， ∴OC＝OD＝1， ∵CE＝， ∴OE＝CE﹣OC＝﹣1， ∵OC⊥OD，CF⊥DE， ∴∠COM＝∠DFM＝90°， ∵∠OMC＝∠DMF， ∴∠OCM＝∠ODE， 在△COM和△DOE中， ， ∴△COM≌△DOE（ASA）， ∴OM＝OE＝﹣1， ∴DM＝OD﹣OM＝1﹣（﹣1）＝2﹣， 故选：A． 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 2．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，E为边CD上一动点（不与端点重合），AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE交BC于点H，过点H作HG⊥BD于点G，连接AH，HE．给出下列结论：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①作辅助线，延长HF交AD于点L，连接CF，通过证明△ADF≌△CDF，可得：AF＝CF，故需证明FC＝FH，可证：AF＝FH；AF＜EH，据此得证； ②由FH⊥AE，AF＝FH，可得：∠HAE＝45°，据此得证； ③利用条件证明△AFO≌△FHG，可得FG＝AO＝，可得结论； ④若FH＝2，则AH＝FH＝4，AH＜AB，这与直角三角形斜边大于直角边矛盾，据此判断即可． 【解答】解：①连接FC，延长HF交AD于点L，如图1， ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝∠CDF＝45°． ∵AD＝CD，DF＝DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）． ∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF． ∵∠ALH+∠LAF＝90°， ∴∠LHC+∠DAF＝90°． ∵∠ECF＝∠DAF， ∴∠FHC＝∠FCH， ∴FH＝FC． ∴FH＝AF， ∵FH⊥AE， ∴FH＜EH， ∴AF＜EH，故①错误； ②∵FH⊥AE，FH＝AF， ∴∠HAE＝45°，故②正确； ③连接AC，交BD于点O， ∴BD⊥AC， 在△AFO和△FHG中， ， ∴△AFO≌△FHG（AAS）， ∴FG＝AO， ∵AO＝AC＝×AB＝， ∴FG＝，故③正确； ④若FH＝2，则AH＝FH＝4， ∴AH＜AB，这与直角三角形斜边大于直角边矛盾． 故④错误． 综上所述，②③正确． 故选：B． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练添加辅助线是解题的关键． 3． 数学活动：探究正方形中的“十字”． （1）猜想：如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AD边上，且BF⊥AE，猜想线段AE与BF之间的数量关系：AE＝BF ． （2）探究：如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD边上，且EG⊥HF，此时线段HF与EG相等吗？如果相等请给出证明；如果不相等请说明理由． （3）应用：如图3，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的中点E处，点C落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为　2　 ． 【分析】（1）设AE交BF于点P，由四边形ABCD是正方形得AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°，由BF⊥AE得∠APB＝90°，根据同角的余角相等可证明∠DAE＝∠ABF，即可证明△DAE≌△ABF，得AE＝BF； （2）作AQ∥FH交BC于点Q，作DR∥EG交AB于点R、交AQ于点P、交HF于点K，则四边形AQFH是平行四边形，四边形DREG是平行四边形，所以AQ＝HF，DR＝EG，再证明AQ⊥DR，则AQ＝DR，于是得HF＝EG； （3）作AT∥MN交CD于点T，连接BE交MN于点J、交AT于点K，先由折叠得点E与点B关于直线MN对称，则MN⊥BE，证明四边形AMNT是平行四边形，则MN＝AT，可证明AT⊥BE，则AT＝BE，根据勾股定理求出BE的长，得MN＝AT＝BE，即可求出MN的长． 【解答】解：（1）AE＝BF，理由如下： 如图1，设AE交BF于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠APB＝90°， ∴∠DAE+∠EAB＝90°，∠ABF+∠EAB＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF， ∴△DAE≌△ABF（ASA）， ∴AE＝BF， 故答案为：AE＝BF； （2）HF＝EG， 证明：如图2，作AQ∥FH交BC于点Q，作DR∥EG交AB于点R、交AQ于点P、交HF于点K， ∵AH∥FQ，AQ∥FH， ∴四边形AQFH是平行四边形， ∴AQ＝HF， ∵DG∥ER，DR∥EG， ∴四边形DREG是平行四边形， ∴DR＝EG， 设HF交EG于点L， ∵∠APR＝∠HKR＝∠HLE＝90°， ∴AQ⊥DR， 由（1）得AQ＝DR， ∴HF＝EG； （3）如图3，作AT∥MN交CD于点T，连接BE交MN于点J、交AT于点K， 由折叠得点E与点B关于直线MN对称， ∵MN⊥BE， ∴∠MJB＝∠AKB＝90°， ∴AT⊥BE， 由（1）得MN＝AT， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝AD＝4，点E是AD的中点， ∴∠BAE＝90°，AE＝DE＝AB＝2， ∴BE＝＝＝2， ∴AT＝2， ∵AM∥NT，AT∥MN， ∴四边形AMNT是平行四边形， ∵MN＝AT＝2， ∴线段MN的长为2， 故答案为：2． 【点评】此题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 4．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE与DA的延长线交于点M，OF与AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：AM＝BN； （2）若正方形ABCD的边长为2，E为OM的中点，求MN的长． 【分析】（1）根据正方形性质得OA＝OB，∠OAM＝∠OBN＝135°，再根据∠AOB＝∠EOF＝90°得∠AOM＝∠BON，进而可依据“ASA”判定△AOM和△BON全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点O作OH⊥AB于点H，OK⊥AD于点K，证明OH＝OK＝1，且四边形OHAK是正方形，再证明△OHE和△MAE全等得AM＝OH＝1，则MK＝2，由勾股定理得OM＝，由（1）可知△AOM和△BON全等，则OM＝ON＝，然后在Rt△OMN中由勾股定理即可求出MN的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD交于点O， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠MAB＝∠NBC＝90°， ∴∠OAM＝∠MAB+∠OAB＝135°，∠OBN＝∠NBC+∠OBC＝135°， ∴∠OAM＝∠OBN＝135°， ∵∠AOB＝∠EOF＝90°， ∴∠AOB﹣∠EOB＝∠EOF﹣∠EOB， ∴∠AOM＝∠BON， 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴AM＝BN； （2）解：过点O作OH⊥AB于点H，OK⊥AD于点K，如图所示： ∴∠OHA＝∠OKA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为2， ∴AB＝AD＝2，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠AOD＝90°， ∴△OAB和△OAD都是等腰直角三角形， ∴OA＝AH＝BH＝AB＝1，OK＝AK＝DK＝AD＝1， ∴OH＝AH＝AK＝OK＝1， 又∵∠OHA＝∠OKA＝90°， ∴四边形OHAK是正方形， ∴∠OHE＝∠MAE＝90°， ∵点E为OM的中点， ∴OE＝ME， 在△OHE和△MAE中， ， ∴△OHE≌△MAE（AAS） ∴AM＝OH＝1， ∴MK＝AM+AK＝2， 在Rt△OKM中，由勾股定理得：OM＝＝＝， 由（1）可知：△AOM≌△BON， ∴OM＝ON＝， ∵∠EOF＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形， 由勾股定理得：MN＝＝OM＝＝． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 5．探究问题： （1）方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE+BF＝EF． 感悟解题方法，并完成下列填空 证明：延长CB到G，使BG＝DE，连接AG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABG＝∠D＝90°， ∴△ADE≌△ABG． ∴AG＝AE，∠1＝∠2； ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠2+∠3＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°． ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝45°． 即∠GAF＝∠EAF ． 又AG＝AE，AF＝AF， ∴△GAF≌　△EAF ． ∴FG＝EF， ∵FG＝FB+BG， 又BG＝DE， ∴DE+BF＝EF． 变化：在图①中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系 　相等　 ； （2）方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF＝∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想DF，BE，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．猜想：∠B与∠D满足关系：　∠B+∠D＝180°　 ． 【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF＝∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）作出∠4＝∠1，利用已知得出∠GAF＝∠FAE，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案； （3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D＝180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案． 【解答】解：（1）①根据图形可知，GAF＝∠EAF， 根据三角形全等的条件可知，△GAF≌△EAF， 根据全等三角形的对应高相等可知AM＝AB； （2）证明：如图②延长CE，作∠4＝∠1， ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为BC，DC边上的点，且∠EAF＝∠DAB， ∴∠1+∠2＝∠3+∠5， ∠2+∠3＝∠1+∠5， ∵∠4＝∠1， ∴∠2+∠3＝∠4+∠5， ∴∠GAE＝∠FAE， 在△AGB和△AFD中， ， ∴△AGB≌△AFD（ASA）， ∴AG＝AF，BG＝DF， 在△AGE和△AEF中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∴DE+BF＝EF， ∵全等三角形的对应高相等， ∴AM＝AB； （3）如图③，当∠ABQ＝∠ADF时，△ABQ≌△ADF， ∴BQ＝DF，可得DF+BE＝EF， ∴当∠B+∠D＝180°时，可使得DF+BE＝EF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键． 6．四边形ABCD为正方形，AB＝3，E为对角线AC上一点（不与点A、C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）填空：AC的长为　　 ，∠ACB＝　45　 度； （2）如图，当点F在线段BC的延长线上时： ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若，求正方形DEFG的边长； （3）取CD的中点O，连接OG，当OG最小时，线段AE的值为　　 （请直接写出答案）． 【分析】（1）由正方形的性质可得AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，则由勾股定理可得； （2）①作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则四边形EMCN是矩形，EM＝EN，证明△DEN≌△FEM（ASA），可得EF＝DE，则可证明矩形DEFG是正方形； ②由正方形的性质可得DE＝DG，AD＝DC，证明△ADE≌△CDG（SAS），得到AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，则∠ACG＝90°，根据．则，连接EG，利用勾股定理得到，则，据此可得答案； （3）过点O作OT⊥CG于T，由（2）可得∠DCG＝45°，则点G在直线CG上，由垂线段最短可得当OG⊥CG时，OG有最小值，此时点G与点T重合，可证明△OCT是等腰直角三角形，则，求出，可得；由（2）可得． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴， 故答案为：，45； （2）①证明：如图1，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴四边形EMCN是矩形，EM＝EN， ∴∠MEN＝90°， ∵EF⊥DE，即∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴． ∵， ∴， 连接EG，如图2， ∴， ∴； ∴正方形DEFG的边长为； （3）解：线段AE的值为．理由如下： 如图3，过点O作OT⊥CG于T， 由（2）可得∠DCG＝45°， ∴点G在直线CG上， 由垂线段最短可得当OG⊥CG时，OG有最小值，此时点G与点T重合， ∵OT⊥CT，∠OCT＝45°， ∴△OCT是等腰直角三角形， ∴OT＝CT， ∴， ∵O为CD的中点， ∴， ∴； 由（2）可得， 故答案为：． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 7．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD边上的点，连接DE，GF，若DE⊥GF，判断DE与GF之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将GF沿AD方向平移到DH，连接CH．根据平移的性质，可判断四边形DGFH是平行四边形，再证明△ADE≌△CDH，得到DE＝DH，继而得到DE＝GF． 尝试初探： （1）老师提出该问题的变式问题：将正方形ABCD改为菱形ABCD，∠A＝60°，如图2，E，F，G分别是AB，AD，BC边上的点，连接FG与DE交于点M．若∠EMG＝60°，猜想DE与FG之间的数量关系，并说明理由； 通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题． 迁移应用： （2）如图3，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，且AD＝CE，AD与CE交于点O，∠AOE＝60°，判断AE+CD与AD的大小关系，并说明理由； 拓展探究： （3）如图4，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB边上，过点F作FG⊥AE于点H，交CD边于点G，连接EF，AG．若AB＝6，CE＝2BE，请直接写出AG+EF的最小值． 【分析】（1）沿AD平移线段FG，使点F与点D重合，点G与点G′重合，连接BD，根据平移的性质和菱形的性质，得到边角相等，证出△ABD≌△BDG′，即可得到结论； （2）如图，沿AB平移线段AD，使点A与点E重合，点D与点D′重合，连接DD′，CD′，利用平移的性质和平行线的性质得出△ECD′为等边三角形，进而得到ED′＝CE＝CD′，最后利用三角形的三边关系即可得出结论； （3）沿AG平移线段AE，使点A与点G重合，点E与点E′重合，连接FE′，EE′， 根据平移的性质和正方形的性质得出，然后利用三点共线线段的和最小，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）DE＝FG；理由如下： 四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，如图2，沿AD平移线段FG，使点F与点D重合，点G与点G′重合，连接BD， ∴∠C＝∠A＝60°， 根据平移的性质可得DG′＝FG，FG∥DG′， ∴∠EDG′＝∠EMG＝60°， ∴△ABD与△BCD都是等边三角形， ∴∠A＝∠DBG′＝60°，∠ADB＝60°，AD＝DB， ∴∠ADE+∠BDE＝∠BDG′+∠BDE＝60°， ∴∠ADE＝∠BDG′， 在△ADE与△BDG′中， ， ∴△ADE≌△BDG′（ASA）， ∴DE＝DG′， ∴DE＝FG； （2）AE+CD＞AD；理由如下： 如图3，沿AB平移线段AD，使点A与点E重合，点D与点D′重合，连接DD′，CD′， 根据平移的性质可得，ED′＝AD，ED′∥AD，AE＝DD′， ∴∠CED′＝∠AOE＝60°， 又∵AD＝CE，即ED′＝CE， ∴△ECD′为等边三角形， ∴ED′＝CE＝CD′， 在△CDD′中，DD′+CD＞CD′， ∴AE+CD＞AD； （3）AG+EF的最小值为．理由如下： 如图4，沿AG平移线段AE，使点A与点G重合，点E与点E′重合，连接FE′，EE′， 根据平移的性质可得，GE′＝AE，GE′∥AE，EE′＝AG， 又∵FG⊥AE， ∴∠AHG＝90°， ∴∠FGE′＝90°， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝6，CE＝2BE， ∴， 在Rt△ABE中，由勾股定理得， 由图1结论可得FG＝AE， ∴， ∵AG+EF＝EE′+EF， ∴当点F，E，E′共线时，EE′+EF最小，即AG+EF最小，最小值为E′F的长度， ∴在Rt△FGE′中，由勾股定理得， 即AG+EF的最小值为． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并善于运用给出的思路． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/1 8:36:54；用户：13961311856；邮箱：13961311856；学号：22772176 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $