精品解析：安徽安庆市第二中学等2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 2. 已知是函数的导函数，且 ，则为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 12种 D. 60种 6. 若数列的前n项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. C. D. 7. 中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 28种 B. 36种 C. 48种 D. 64种 8. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 10. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数及其导函数满足，且和均为偶函数，则（ ） A. 图象关于直线对称 B. 是周期为4 的周期函数 C. 的图象关于原点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，项的系数为_____. 13. 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 已知函数 （1）时，求在处切线方程； （2）讨论的极值． 18. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数 （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）求证：，恒成立； （3）若的两个零点为，且，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，则的值是（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质求得，再由即可得结果. 【详解】由题设，，则， 所以. 故选：A 2. 已知是函数的导函数，且 ，则为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】导数的定义：，由题意知， 令，则当时，，且. 极限可写为，即. 由导数定义，，所以. 3. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 4. 若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，函数的定义域为. ， ， 所以的解集为. 5. 用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 12种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算. 【详解】如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C与A同色1 2 C与A不同色1 1 总计 故选：A． 6. 若数列的前n项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和等比数列的前项和可得答案. 【详解】当时，，又， 即前9项分别为， 所以数列的前9项中，，所以. 7. 中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ） A. 28种 B. 36种 C. 48种 D. 64种 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①若前庭功能排在最后一项，超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法，所以有3·=6种情况； 若前庭功能排在最后一项，超重耐力不排在第三项，则超重耐力有3种排法，此时失重飞行有2种排法， 所以有(3×2)·=12种情况.故共有18种情况. ②若前庭功能排在第三项，失重飞行有排在最后一项与不排在最后一项两种，情况同①.故共有18种情况. ③若前庭功能排在第2或第4位（2种情况），先排前庭功能，有2种排法，再排超重耐力， 若超重耐力排在第三项，则失重飞行有3种排法； 若超重耐力不排在第三项，则超重耐力有2种排法， 此时失重飞行有2种排法.故共有2×(3+2×2)·=28种情况. 综上，共有18+18+28=64种安排方案. 8. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，， 所以当时，恒成立，即恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，已知式变为，可求得判断A； 令，二项式化为，可求得判断B； ,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C； 二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D． 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD 10. 数列中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，先根据已知条件判断数列的类型，再根据等差数列和等比数列的定义求解通项公式；对于CD，利用数列的递推式构造等比数列，写出其通项公式，代入计算即得. 【详解】对于A选项，由题意可得，即， 又，所以数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，A正确； 对于B选项，由题意可得，，所以数列为等比数列， 其首项为，公比为，所以，B错误； 对于C选项，由题意可得， 可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以， 所以，C错误； 对于D选项，由题意可得，可得，， 所以数列为等比数列，其首项为，公比为， 所以，所以，D正确. 11. 已知函数及其导函数满足，且和均为偶函数，则（ ） A. 图象关于直线对称 B. 是周期为4 的周期函数 C. 的图象关于原点对称 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由周期函数的定义即可求解B，根据函数周期性的性质即可求解D，通过举反例说明A、C错误. 【详解】对于A，构造反例，， 关于对称，关于对称，故和均为偶函数， 但是图象不关于直线对称，的图象不关于原点对称，A、C错误； 对于B，因为为偶函数，所以，所以， 又因为为偶函数，所以， 所以， 所以，， 所以，， 的周期为4，B正确； 对于D， ，关于对称，所以， 由，故， 又，所以， 由周期性，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 13. 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____． 【答案】-4 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由，，可得：，解得：．令，解得．进而得出． 【详解】解：设等差数列的公差为，，， ， 解得：． ． 令，解得． 时，前项和取得最小值，为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列基本量运算与前n项和最值的求解，属于基础题. 14. 关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求导分析函数的单调性，进而求出实数的最大值. 【详解】将不等式移项可得，进一步变形得， 即. 设，对函数求导得，所以在上单调递增， 所以，则有，即， 即在上恒成立. 设，对函数求导得. 令，即，解得. 当时，，所以，单调递减； 当时，，所以，单调递增； 因此，在处取得最小值，. 因为，所以，即实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的公比为整数，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的基本量运算求出首项与公比，即得其通项公式； （2）求出数列的通项，再根据错位相减法即可求得. 【小问1详解】 由题意，， 两式相除可得，即，解得， 故，所以； 【小问2详解】 因， 则① 所以② 则②①得： 所以. 16. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. （1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值； （2）求展开式中所有的有理项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2）. （3）第4项和第5项 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可； （2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可； （3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【小问1详解】 由题，可得，即，即，又，所以， 令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为， 故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为. 【小问2详解】 因展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. 【小问3详解】 因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得或， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 17. 已知函数 （1）时，求在处切线方程； （2）讨论的极值． 【答案】（1）； （2）当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解； （2）通过，，，讨论函数单调性，进而可求解. 【小问1详解】 当时， ，定义域， 由，即切点为， 求导得，代入得，即斜率， 由点斜式得，即. 【小问2详解】 由， 求导得：，， 当时， ， 当时，单调递减；时，单调递增， 故仅有极小值，无极大值， 当，即时， ， 和时，， 时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 当时， 恒成立， 在定义域内单调递增，无极值， 当时， ，​， 和时，，时，， 在和单调递增，在单调递减， 故极大值为，极小值为， 综上：当时，极小值，无极大值， 当时，极大值为，极小值为， 当时，无极值， 当时，极大值为，极小值为. 18. 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，当时，化简得到，结合等差数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）化简得到，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由数列的前项和为，且， 当时，可得，可得， 当时，， 即，可得，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 可得， 所以 . 19. 已知函数 （1）若有两个零点，求的取值范围； （2）求证：，恒成立； （3）若的两个零点为，且，求证. 【答案】（1） （2） 要证，即证， 又因为，由常用不等式，令， 则，​即， 所以， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到极小值也即最小值，最小值为， 故，所以，原不等式得证. （3） 由即，所以①， 对①式两边同时取对数可得， 即，所以， 由对数平均值不等式， 可知，即.所以， 由（1）（2）可知，零点，， 有，即， ​两边平方得， 即②，  因为，，对②式开方得， 所以，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）将有两个零点等价于函数与的图象有两个交点，再判断的单调性与极值，确定其值域和图象走势，进而得到的取值范围. （2）通过不等式放缩，可得，然后构造，通过求的导数，分析其单调性并求出最小值，证明最小值大于等于3即可. （3）先由建立的关系，再根据对数平均值不等式得到，从而得到，通过（2）的结论得出，再平方化简即可证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意得，则 ，因为恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时取到极大值，也即最大值，的最大值为， 又时，时； 又因为有两个零点，所以，故的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $