专题 5.7 分式全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.7 分式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.全章知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式 1 【题型 1】分式的意义与分式的值 2 【知识点二】分式的基本性质 2 【题型 2】利用分式基本性质变形 2 【知识点三】约分与通分 3 【题型 3】分式约分与通分 3 【知识点四】分式的运算 3 【题型 4】分式乘除运算 4 【题型 5】分式加减运算 4 【题型 6】分式混合运算 5 【题型 7】分式的化简求值 6 【题型 8】分式的化简整体代入求值 6 【知识点五】分式方程 6 【题型 9】解分式方程 7 【题型 10】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 7 【题型 11】分式方程增根、无解问题 8 【题型 12】分式方程的实际应用——工程与行程问题 8 【题型 13】分式方程的实际应用——销售问题 9 二.同步检测 10 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖北黄石·期末）使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26七年级上·上海·月考）化简：_______． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将分式和进行通分时，分母可因式分解为______，分母可因式分解为______，因此最简公分母是______． 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【题型 4】分式乘除运算 【例题4】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算 (1) (2) 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：当时，______． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型 5】分式加减运算 【例题5】（24-25九年级下·江西吉安·期中）小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【变式1】（2026·天津河北·一模）计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·安徽·期末）计算的结果是___________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型 6】分式混合运算 【例题6】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）化简：______． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）计算∶ (1) (2) 【题型 7】分式的化简求值 【例题7】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中x是的整数部分． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级·江苏无锡·竞赛）已知，，其中m、n均为实数，则______． 【变式3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，在、0、1、2中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【题型 8】分式的化简整体代入求值 【例题8】（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若，则的值为______． 【变式3】（2026九年级下·北京西城·专题练习）已知，求代数式的值． 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 【题型 9】解分式方程 【例题9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·北京顺义·期末）在解方程的过程中，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·北京·一模）方程的解为________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1)； (2)． 【题型 10】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题10】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【变式2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【变式3】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【题型 11】分式方程增根、无解问题 【例题11】（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程会产生增根，则_____． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 【题型 12】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题12】（2026·江苏连云港·一模）请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作_____件． 【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【题型 13】分式方程的实际应用——销售问题 【例题13】（2026·重庆·一模）列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． (1)求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ (2)马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期中）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据． (1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算时，需要先通分，则这两个分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 7．（25-26八年级上·山东济南·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 8．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·贵州黔东南·月考）若分式的值为0，则_____ ． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么_________． 14．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是______． 15．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算：______． 16．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图：a、b分别表示图中线段和射线的条数，则代数式__________． 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 18．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解分式方程： (1)； (2)． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中满足． 23．（本小题满分10分）（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河北邢台·月考）聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.7 分式全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.全章知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式 1 【题型 1】分式的意义与分式的值 2 【知识点二】分式的基本性质 4 【题型 2】利用分式基本性质变形 4 【知识点三】约分与通分 7 【题型 3】分式约分与通分 7 【知识点四】分式的运算 9 【题型 4】分式乘除运算 9 【题型 5】分式加减运算 11 【题型 6】分式混合运算 14 【题型 7】分式的化简求值 18 【题型 8】分式的化简整体代入求值 20 【知识点五】分式方程 22 【题型 9】解分式方程 23 【题型 10】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 25 【题型 11】分式方程增根、无解问题 28 【题型 12】分式方程的实际应用——工程与行程问题 31 【题型 13】分式方程的实际应用——销售问题 34 二.同步检测 37 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 37 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 45 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）下列等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此可判断A、B；当可证明，，据此可判断C、D． 【详解】解：A、从到，分子和分母同乘以，根据分式的基本性质可知，但原分式中的值可以为0，原式变形错误，不符合题意； B、由于，则变形正确，符合题意； C、当时，，原式变形错误，不符合题意； D、当时，，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·湖北黄石·期末）使代数式有意义的值是（    ） A．且 B．且 C．且且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解： ∵ 代数式有意义， ∴ ，， ∴ 且 且， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）要使式子有意义，求的取值范围，并求当时式子的值． 【答案】且， 【分析】根据零指数幂的底数不能为零，负整数指数幂的底数不能为零，可得的取值范围，再把代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得且， 当时， ． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）已知分式的值为0，求分式的值． 【答案】． 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 【详解】解：因为 所以且x+1≠0， 解得x=1． 代入得： ． 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）已知分式（，为常数），当时，分式无意义；当时，分式的值为零，则____________． 【答案】0 【分析】本题考查的是分式值为零的条件、分式有意义的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零、分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式无意义时分母为零，分式值为零时分子为零且分母不为零，由此可求出、，代入即可求出的值． 【详解】解：当 时，分式无意义，则分母 ，即 ，解得 ； 当 时，分式值为零，则分子 ，即 ，解得 ； 因此 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数列式计算是解题的关键．根据分式的值为整数，则分母 必须是分子的约数，即，，，分别求解，并筛选出整数解，最后求和即可． 【详解】解：分式的值为整数， 是的约数，即，，， 当时，； 当时，； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数； 当时，，不是整数， 符合条件的整数为和， 它们的和为； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 【答案】5 【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式． 【详解】解：①分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简； ：分子与分母无公因式，为最简分式． 此类分式中，最简分式有个． ②分母为的情况： ：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简． 此类分式中，最简分式有个． ③分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子与分母无公因式，为最简分式； ：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式． 此类分式中，最简分式有个． 故共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式． 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26七年级上·上海·月考）化简：_______． 【答案】 【分析】本题主要考查约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键；将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，再约去公因式即可得到结果. 【详解】解： 【变式2】（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·安徽安庆·月考）将分式和进行通分时，分母可因式分解为______，分母可因式分解为______，因此最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可． 【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是； 故答案为：，， 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【题型 4】分式乘除运算 【例题4】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； （）根据分式乘除混合运算的法则按运算顺序计算即可； 本题考查了分式的乘除混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：当时，______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行转化、因式分解和约分等操作，得到化简结果的结论，即可解决分式的乘除运算问题． 【详解】解：． 故答案为：1． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可； （2）首先计算乘方，然后将除法转化成乘法，进而计算乘法即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 【题型 5】分式加减运算 【例题5】（24-25九年级下·江西吉安·期中）小乐同学化简的过程如下： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 (1)小乐同学化简的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），化简过程中从第 步开始出现错误． (2)请你书写正确的化简过程和结果 【答案】(1)因式分解，三 (2)过程见解析， 【分析】本题考查异分母分式的加减运算： （1）根据因式分解的定义，判断即可；第三步，去括号时，出现错误； （2）通分后进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐同学化简的第一步是因式分解；第三步出现错误，原因是去括号时，第二项没有变号； 故答案为：因式分解，三； （2）解：原式 ． 【变式1】（2026·天津河北·一模）计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·安徽·期末）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】先通分再化简即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，最后结果能约分的要约分． 【变式3】（25-26八年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）本题是整式和分式相加的运算，把分母看成即可； （2）把分母化为进行同分母分式相加减进行运算即可； （3）先对分母进行因式分解，利用最简公分母进行通分化简即可； （4）把分母化为，再利用最简公分母进行通分化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确的运算是解题的关键． 【题型 6】分式混合运算 【例题6】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元复习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．依次对每个选项进行分式的运算，判断其计算是否正确即可． 【详解】解： ，故A项错误，不符合题意； ，故B项正确，符合题意； ，故C项错误，不符合题意； ，故D项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）化简：______． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，关键是掌握运算顺序和因式分解的应用，运算顺序遵循“先算括号内，再算乘除”，因式分解要熟练掌握因式分解公式． 先计算括号内的分式减法，通分后得到，然后将除法转化为乘法，并因式分解各多项式，最后约分得到最简结果． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东泰安·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异分母分式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型 7】分式的化简求值 【例题7】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，其中x是的整数部分． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的估算．先运用分式运算法则进行化简，注意混合运算的运算顺序，再根据二次根式的估算，得出x的值，最后将x的值代入化简后的式子中计算得出最后结果． 【详解】解： ， ． 原式． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）已知分式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简是解题的关键． 将转化为，通过提取公因式法化简所求分式即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2024九年级·江苏无锡·竞赛）已知，，其中m、n均为实数，则______． 【答案】1 【分析】根据已知条件将底数替换为对应的幂的形式，求出，再将分式通分后代入计算即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，在、0、1、2中选择一个你喜欢的数作为的值代入求值． 【答案】，1 【分析】先计算分式的混合运算，根据分式分母不为0且除数不为0，得，，，将代入计算即可． 【详解】解： ， 将代入得， 原式． 【题型 8】分式的化简整体代入求值 【例题8】（2026·北京朝阳·一模）已知，求代数式且的值． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，由，可得：，利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式1】（25-26八年级上·全国·周测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可． 【详解】解：， 结合已知条件， ． 故选： D． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据已知等式变形得到和，进一步推出，再将所求代数式整体代换化简，即可求出值． 【详解】解：， ，，且， ，即， 原式 ． 【变式3】（2026九年级下·北京西城·专题练习）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据平方差公式、提取公因式法化简所求式子，将代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，∴， 则原式． 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 【题型 9】解分式方程 【例题9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 【变式1】（25-26八年级上·北京顺义·期末）在解方程的过程中，去分母后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解分式方程，通过找到分母的最简公分母，乘以方程两边，消除分母，得到正确等式即可． 【详解】解：∵方程 的分母为和， ∴最简公分母为， 去分母得：， 故选：A    ． 【变式2】（2026·北京·一模）方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解． 【题型 10】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题10】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解的定义等知识． （1）将代入方程，可得方程为，解分式方程即可； （2）解分式方程得，根据方程解为正数，得到且，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， 检验：当时，， 所以，是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同时乘以得 ， 解得 ， ∵方程解为正数， ∴，且， 即，且， ∴，且． 【变式1】（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先按解分式方程的步骤求出x关于a的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列关于a的不等式组求解即可． 【详解】解：分式方程可化为：， ， ， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围为且，即选项B符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 【变式3】（24-25八年级下·重庆·期中）已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【题型 11】分式方程增根、无解问题 【例题11】（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 【变式1】（25-26八年级下·河南周口·月考）若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）解分式方程会产生增根，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了分式无解的情况．分式方程产生增根时，增根为使最简公分母为零的未知数的值，代入去分母后的整式方程可求参数的值． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 化简得． ∵解分式方程会产生增根， ∴或， 解得或． 将 代入整式方程，得； 将 代入整式方程，得． 故的值为或． 故答案为：或． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 【题型 12】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题12】（2026·江苏连云港·一模）请根据下面对话，解答问题： 小明：今天起晚了，没能跟你一起骑自行车上学，我用了平时骑车速度的1.2倍才刚好在校门口追上你． 小丽：还好我们家离学校就，再远点你可能就要迟到了． (1)设小明原来的速度为，则小明今天的速度为 ； (2)求小明今天的速度． 【答案】(1) (2)小明今天的速度为 【分析】（1）由小明今天的速度是原来速度的1.2倍，可得出小明今天的速度为； （2）利用时间路程速度，结合小丽比小明多用，可列出关于x的分式方程，解之，经检验后，可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵小明原来的速度为，今天小明速度是平时骑车速度的1.2倍， ∴小明今天的速度为． （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：小明今天的速度为． 【变式1】（2023·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多，结果提前10天完成任务，原来每天制作_____件． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件，根据结果提前10天完成任务建立方程，解方程可得的值，再进行检验即可． 【详解】解：设原来每天制作件，则该厂实际每天制作件数为， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以原来每天制作16件， 故答案为：16． 【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 【题型 13】分式方程的实际应用——销售问题 【例题13】（2026·重庆·一模）列方程解下列应用题： 马年春节前一周，某商场共卖出“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件共件，总销售额为元．已知“马上有福”挂件的销售价为每件元，“马踏飞燕”挂件的销售价为每件元． (1)求马年春节前一周售出的“马上有福”和“马踏飞燕”两种挂件各多少件？ (2)马年春节放假期间，人们购买马年挂件的热情高涨，该商场上调了两种挂件的销售单价，且每件“马上有福”挂件比每件“马踏飞燕”挂件多上调了元．春节放假结束，该商场统计发现：春节放假期间，“马上有福”挂件的销售额比春节前一周销售额的倍少元，“马踏飞燕”挂件的销售额比春节前一周的销售额多元，且“马上有福”挂件的销售量是“马踏飞燕”挂件销售量的．求“马踏飞燕”挂件每件涨了多少元？ 【答案】(1)马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件 (2)春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元 【分析】（1）设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件，根据题意列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元，根据题意列分式方程，求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：设马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，则“马踏飞燕”挂件件， ∵两种挂件共件，总销售额为元，销售价分别为每件元和每件元， ∴， 解得， ∴． 答：马年春节前一周售出“马上有福”挂件件，“马踏飞燕”挂件件． （2）解：设春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元，则“马上有福”挂件每件涨价元， ∵春节前一周“马上有福”挂件销售额为元，“马踏飞燕”挂件销售额为元， ∴， 解得：． 经检验，是原方程的解．且符合题意． 答：春节放假期间“马踏飞燕”挂件每件涨价元． 【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期中）某同学第一次到奶茶店花15元买奶茶，第二次再去买时，恰好该奶茶店搞优惠酬宾活动，同样奶茶每杯比原来便宜1元，结果该同学比上次少花了1元，却比上次多买了2杯奶茶．若设他第一次买了x杯奶茶，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用；根据题目中的等量关系列出对应的方程是解题关键． 根据题意，第一次购买x杯奶茶花费15元，单价为元/杯；第二次购买时，单价降低1元，即元/杯，购买数量增加2杯，即杯，总花费减少1元，即14元，据此列方程并变形，与选项对比． 【详解】∵ 第二次单价为元/杯，数量为杯，总花费为元， ∴ 方程为， 变形得， 即． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某果园种植一种有机生态水果．与去年相比，今年这种水果的销量增加了，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了．已知去年这种水果的批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价为____________元． 【答案】4 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据去年销售总额和今年销售额增长率，求出今年销售总额；设去年单价为元，表示去年销量、今年单价和销量，利用今年销售总额列方程求解去年单价，再求今年单价． 【详解】解：去年批发销售总额为元，今年增加，则今年销售总额为（元）． 设去年每千克平均批发价为元，则去年销量为． 今年每千克批发价比去年降低，故今年单价为元； 今年销量增加，故今年销量为． 今年销售总额为今年单价与销量之积，即． 简化得， 解得． 经检验：是原分式方程的解， 今年单价为（元）． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·重庆·期中）某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据． (1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 【答案】(1)每份文本数据的单价为元 (2)应安排台服务器处理文本数据 【分析】（1）设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元， 由题意可得：, 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴每份文本数据的单价为元； （2）解：设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据， 由题意可得：， 解得：， ∴应安排台服务器处理文本数据． 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，据此列出关于x的不等式求解即可. 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：D 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解： ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）计算时，需要先通分，则这两个分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是最简公分母的确定，将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴ 最简公分母是. 故选：B 5．（2026·河南周口·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，解题的关键是通分运算．先将 看作整体通分，再进行加减运算，最后约分化简即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简运算，正确计算是解题的关键．先利用平方差公式对分子因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分得到结果． 【详解】解：原式， ， 故选：C． 7．（25-26八年级上·山东济南·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的解，解题的关键是把字母m看作一个常数来解，本题是常见的题型要求掌握．按照一般步骤解方程，用含有m的代数式表示x，然后根据x的取值，求m的范围． 【详解】解：方程去分母得， ∴， ∵关于的方程的解为正数， ∴， 解得． 又， ∴， 则m的取值范围是且． 故选：D． 8．（25-26八年级下·河南周口·期中）下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 9．（25-26八年级下·河南南阳·月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵无解， ∴或， 当，， 当，即，将代入，解得：， ∴当无解，则的值为或． ∴根据选项，故选：A． 10．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·贵州黔东南·月考）若分式的值为0，则_____ ． 【答案】 【分析】根据分式的值为零，分子为零，而分母不为0，列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 12．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 直接利用分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）小芳周日从家到图书馆看书，去时速度为，回来时速度为，则她往返家里和图书馆的平均速度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的应用；本题需先根据题意设出未知数，再列出式子化简整理即可求出平均速度． 【详解】解：设从家到图书馆的路程为千米， 则从家到图书馆的时间为小时，返回的时间为小时， 则她往返家里和图书馆的平均速度为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江西赣州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内的分式进行通分相加，再与后面的分式相乘约分． 【详解】解： ， 故答案为：1． 16．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）如图：a、b分别表示图中线段和射线的条数，则代数式__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线段和射线的条数，分式的化简求值．先求出，再根据分式的加减运算化简，再把代入化简后的结果，即可． 【详解】解：根据题意得：图中线段有3条，射线有6条， ∴， ， 当时，原式． 故答案为： 17．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若关于的分式方程有增根，则________． 【答案】 【分析】先根据增根的定义确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求解，排除不成立的结果即可得到的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 分式方程有增根， ， 解得或， ， 方程两边同乘最简公分母，得， 将代入上式，得， 整理得，解得； 将代入上式，得， 整理得，等式不成立，故无解； 综上所述，． 18．（25-26八年级下·江西九江·期中）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东济南·月考）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的解； （2）解： ， 经检验，当时，， 故原方程无解． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·月考）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 23．（本小题满分10分）（2026·重庆·模拟预测）2026年3月28日和3月29日，中国摩托车品牌“张雪机车”在2026年世界超级摩托车锦标赛（）中实现两回合夺冠，这是中国摩托车品牌首次在顶级赛事中夺冠．张雪机车的崛起对整个摩托车行业产生了积极的影响．某经销商计划购进甲、乙两种型号的摩托车进行销售． (1)若购进甲型摩托车3台，乙型摩托车2台，共耗资21万元；若购进甲型摩托车2台，乙型摩托车5台，共耗资25万元．求甲、乙两种型号摩托车的进价各是多少万元？ (2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的摩托车各投入40万元分别进行采购，因技术升级，甲型摩托车的进价每台降低10a万元，乙型摩托车的进价每台降低8a万元．则所购甲型摩托车的数量是所购乙型摩托车的数量的，求a的值． 【答案】(1)甲型号摩托车进价为5万元，乙型号摩托车进价为3万元 (2) 【分析】（1）设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组，并求解即可； （2）根据题意列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号摩托车每台的进价分别为、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型摩托车每台的进价为万元，乙型摩托车每台的进价为万元． （2）解：根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解且符合题意． 答：的值为． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·河北邢台·月考）聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 【答案】，，，，，证明见解析 【分析】本题考查的是运算类规律探究，分式的混合运算； 探究：按照程序的含义列出运算式并计算即可； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为，程序的结果为，再利用规律结合分式的运算法则证明即可． 【详解】解：探究：若△处输入数字2，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字5，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字100，设程序的结果为， ∴， ∵， ∴； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为， 程序的结果为； ∴， 同理：， ∴ ； ∴成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $