专题 5.4 分式的加减（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.4 分式的加减（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】同分母的分式的加减法 1 【题型 1】同分母的分式相加减 1 【知识点二】通分与最简公分母 4 【题型 2】通分与最简公分母 4 【知识点三】异分母的分式的加减法 6 【题型 3】异分母的分式相加减 6 【题型 4】分式的加减混合运算 8 【题型 5】分式的加减乘除混合运算 11 【题型 6】分式的运算与化简求值 13 【题型 7】分式运算的实际应用 15 二.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】同分母的分式的加减法 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 即： 【要点提示】（1）分母恒定：运算全程分母保持不变，只对分子做加、减运算；（2）分子整体运算：分子是多项式时，加减必须整体加括号，防止符号出错；（3）符号易错：减去一个分式时，减数分子每一项都要变号；（3）结果化简：计算完毕后，务必约分，结果化为最简分式或整式。 【题型 1】同分母的分式相加减 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2026·天津南开·一模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北孝感·一模）计算的结果是______． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【知识点二】通分与最简公分母 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分；为了计算方便，异分母的分式通分时,通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 【题型 2】通分与最简公分母 【例题2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·月考）分式的最简公分母是_____． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1），各分母中系数，的最小公倍数是_______，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是______； （2），，中，因为各分母分解因式分别为_______，_______，_______，所以最简公分母是_______． 【知识点三】异分母的分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母的分式的加减法法则进行计算。 【要点提示】（1） 核心步骤：先通分→再加减→最后化简，三步缺一不可；（2）通分关键：找各分母的最简公分母，不要盲目直接相乘，简化计算；（3）分子运算：通分后分子为多项式时，必须添加括号，避免符号错误；（4）符号规则：减去一个分式时，减数分子各项全部变号；（4）结果要求：计算结束后，务必因式分解、约分，化为最简分式或整式；（5）隐含条件：所有分母、最简公分母均不能为 0。 【题型 3】异分母的分式相加减 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）计算的结果等于_____． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【题型 4】分式的加减混合运算 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【变式1】（2023·河北张家口·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·月考）计算：___________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型 5】分式的加减乘除混合运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）化简_____． 【变式3】（2025九年级下·广东广州·专题练习）先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 【题型 6】分式的运算与化简求值 【例题6】（2026·甘肃酒泉·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·月考）已知，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【题型 7】分式运算的实际应用 【例题7】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【变式3】（25-26八年级上·北京昌平·期末）甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·天津北辰·一模）计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 2．（2026·山西吕梁·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 5．（23-24八年级下·山东济南·期中）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若实数m、n、t满足且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026八年级下·全国·专题练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 10．（2026·广东汕头·一模）_______ 11．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）计算： ______． 12．（2026·安徽·二模）若，则__________． 13．（2026·河南周口·一模）已知实数满足，则的值为___________． 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 15．（2026·安徽阜阳·一模）已知，则的值为____． 16．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 18．（21-22九年级下·山东聊城·月考）先化简，再求值 (1)，其中． (2)先化简，然后中选一个合适的整数作为m的值代入求值． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知， 且．小刚和小军在对上述式子进行化简之后，小刚说对任意满足题设条件的x值，M的值都比N的值大；小军说对任意满足题设条件的x值，N的值都比M的值大．请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 20．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.4 分式的加减（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】同分母的分式的加减法 1 【题型 1】同分母的分式相加减 1 【知识点二】通分与最简公分母 4 【题型 2】通分与最简公分母 4 【知识点三】异分母的分式的加减法 6 【题型 3】异分母的分式相加减 6 【题型 4】分式的加减混合运算 8 【题型 5】分式的加减乘除混合运算 11 【题型 6】分式的运算与化简求值 13 【题型 7】分式运算的实际应用 15 二.同步检测 18 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】同分母的分式的加减法 同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减。 即： 【要点提示】（1）分母恒定：运算全程分母保持不变，只对分子做加、减运算；（2）分子整体运算：分子是多项式时，加减必须整体加括号，防止符号出错；（3）符号易错：减去一个分式时，减数分子每一项都要变号；（3）结果化简：计算完毕后，务必约分，结果化为最简分式或整式。 【题型 1】同分母的分式相加减 【例题1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】分母不变，将分子相减，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】（2026·天津南开·一模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母的分式加减法运算法则：分子直接相加减计算即可． 【详解】解： ． 【变式2】（2026·湖北孝感·一模）计算的结果是______． 【答案】/ 【分析】先化为同分母，利用同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】 ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)-1 (2)-1 (3) 【分析】本题考查了分式的加减法，熟记“同分母分式的加减法法则”是解答本题的关键． （1）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （2）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可； （3）将变形为，然后按照同分母分式的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【知识点二】通分与最简公分母 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫作通分；为了计算方便，异分母的分式通分时,通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母。 【题型 2】通分与最简公分母 【例题2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分． ，，． 【答案】，， 【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键． 根据确定最简公分母的方法即可判断． 【详解】解：，，的最简公分母是， 通分后为，，． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）分式与通分时，的分子、分母要同乘（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最小公倍式作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：， 则分式与的最简公分母为， 所以分式与通分时，的分子、分母要同乘， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·月考）分式的最简公分母是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法，即取各分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积． 分别分析三个分母、、的系数与字母部分，系数取最小公倍数，字母取最高次幂，组合得到最简公分母． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 系数的最小公倍数为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 字母的最高次幂为． 故最简公分母为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1），各分母中系数，的最小公倍数是_______，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是______； （2），，中，因为各分母分解因式分别为_______，_______，_______，所以最简公分母是_______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）直接根据最简公分母的定义确定即可； （2）先用提公因式、平方差公式和完全平方公式对分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义确定即可． 【详解】解：（1），各分母中系数，的最小公倍数是，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是； 故答案为：，； （2），，中，因为各分母分解因式分别为，，，所以最简公分母是． 故答案为：，，，． 【知识点三】异分母的分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母的分式的加减法法则进行计算。 【要点提示】（1） 核心步骤：先通分→再加减→最后化简，三步缺一不可；（2）通分关键：找各分母的最简公分母，不要盲目直接相乘，简化计算；（3）分子运算：通分后分子为多项式时，必须添加括号，避免符号错误；（4）符号规则：减去一个分式时，减数分子各项全部变号；（4）结果要求：计算结束后，务必因式分解、约分，化为最简分式或整式；（5）隐含条件：所有分母、最简公分母均不能为 0。 【题型 3】异分母的分式相加减 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）计算的结果等于_____． 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母进行因式分解，再通分，根据分式加法法则计算，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先对分式通分，再合并分子中的同类项，最后约分得到最简结果； （2）先对分式通分，再合并分子中的同类项，最后约分得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型 4】分式的加减混合运算 【例题4】（24-25八年级下·吉林长春·月考）小张同学计算时，是这样做的： 第一步 第二步 第三步 ． (1)小张的做法从第______步开始出现错误，本题最终的正确计算结果为____； (2)计算：． 【答案】(1)二，；(2)． 【分析】本题考查了分式的化简，平方差公式，根据分式的性质正确的化成同分母分式是解题关键． （1）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案； （2）根据分式的加减运算法则和平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：小张的做法从第二步开始出现错误， 正确解法如下： ， 故答案为：二，； （2）解： ． 【变式1】（2023·河北张家口·一模）若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·月考）计算：___________． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【题型 5】分式的加减乘除混合运算 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算乘法部分，再合并同分母分式，最后约分简化． 【详解】解： ． 故选：D． 【变式2】（2026·湖北襄阳·一模）化简_____． 【答案】 【分析】利用分式混合运算法则以及平方差公式进行化简． 【详解】解： ． 【变式3】（2025九年级下·广东广州·专题练习）先化简，再求值：，其中．对于这道题，小华的解法如下： 解：原式……第①步 -……第②步 ……第③步 ……第④步 当时，原式……第⑤步 小华的解法对吗？如果不对，请指出她是从第几步开始出错的，并写出正确的解答过程． 【答案】小华的解法不对，她是从第③步开始出错的，见解析 【分析】根据分式的加减法法则进行判断，再利用分式化简求值的正确步骤进行解答即可． 【详解】解：小华的解法不对，她是从第③步开始出错的． 原式 ， 当时，原式． 【题型 6】分式的运算与化简求值 【例题6】（2026·甘肃酒泉·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式1】（25-26九年级下·四川南充·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件，通过分式通分化简求解，用到分式的基本运算性质，将已知条件代入化简即可得到结果． 【详解】解：， ． 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·月考）已知，则的值为___________． 【答案】13 【分析】先对已知等式移项得到，再利用完全平方公式变形，整体代入计算所求代数式的值即可．本题主要考查完全平方公式和整体代入法求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， 代入得：， 整理得 ， 因此 ． 故答案为：13． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 【题型 7】分式运算的实际应用 【例题7】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践：李明同学计划寒假期间制作张祝福贺卡在春节前送给环卫工人，他计划从下面两种方式中选择一种方式制作，方式一：制作前一半贺卡时每小时作张，制作后一半贺卡时每小时作张；方式二：每小时作张．已知，他想知道哪种方式用时较少，请帮助他解决下列问题． (1)完成这张祝福贺卡，方式一需要 小时，方式二需要 小时； (2)通过计算说明，哪种方式更省时？ 【答案】(1)， (2)方式二更省时 【分析】（）根据题意列式计算即可求解； （）利用作差法解答即可求解； 本题考查了分式的应用，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，完成这张祝福贺卡，方式一需要小时，方式二需要小时， 故答案为：，； （2）解：， ∵，，，， ∴，， ∴， 即， ∴方式二更省时． 【变式1】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级下·福建厦门·月考）某镇为发展工业经济，对的货物运输通道进行扩建和重修，某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的提升到．计算该货车在该运输通道上行驶可节约的时间，结果为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】用原行驶时间减去提速后的行驶时间计算即可. 【详解】解：. 【变式3】（25-26八年级上·北京昌平·期末）甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s． (1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间和； (2)谁先到达终点？并说明理由． 【答案】(1)， (2)时，两人同时到；时，乙先到． 【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本题的关键． （1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速度，再计算时间即可； （2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断． 【详解】（1）解：由题意得： 甲所需的时间为： 乙所需的时间为： （2）解：∵ ∵ ∴当时，，两人同时到； 当时，，，即，则乙先到． 答：时，两人同时到；时，乙先到． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·天津北辰·一模）计算的结果是（    ） A．3 B．a C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的加减运算，解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果 【详解】解：∵ ∴ 2．（2026·山西吕梁·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级下·安徽合肥·月考）已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 4．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）张华和李明同时从甲地沿着同一路线步行去乙地．张华在前半段路程的平均行走速度是，在后半段路程的平均行走速度是；李明全程的平均行走速度是．如果，那么关于两人中谁先到达乙地的说法正确的是（    ） A．张华先到达 B．李明先到达 C．两人同时到达 D．谁先到达无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算的实际应用，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则．设甲乙两地路程为，分别计算张华和李明从甲地到乙地的步行时间，再比较时间长短判断谁先到达即可． 【详解】解：设甲乙两地之间的路程为， ∵张华前半段路程速度为，后半段为， ∴张华从甲地到乙地的总时间， ∵李明全程平均速度为， ∴李明从甲地到乙地的总时间， ， ∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明用的时间更短，先到达乙地． 故选：B． 5．（23-24八年级下·山东济南·期中）若，则A、B的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应的系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 6．（25-26八年级上·山东淄博·期中）如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 7．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的混合运算，简化给定方程中的分式表达式，通过通分和约分得到简化形式，然后解出并考虑分母不为零的条件． 【详解】解： ，（其中 且 ）， 代入原方程得：， ∴ ，且， 故选：D． 8．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若实数m、n、t满足且，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查比较两个分式的大小，掌握用作差法比大小是解题的关键． 通过作差法比较两个分式的大小，利用分式通分和不等式的性质判断差的正负，即可求解． 【详解】解：=， ，， ，， ，即， ． 故选：B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026八年级下·全国·专题练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 10．（2026·广东汕头·一模）_______ 【答案】0 【详解】解：原式. 11．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）计算： ______． 【答案】 【分析】根据分式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 12．（2026·安徽·二模）若，则__________． 【答案】3 【分析】先对分子分母进行因式分解，将除法改成乘法后，约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 13．（2026·河南周口·一模）已知实数满足，则的值为___________． 【答案】1 【分析】根据已知等式利用幂的运算法则变形，再结合同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则，利用同底数幂相等则指数相等的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴，， 由可得，，即， 由可得，，即， ∴， ∴， ∴． 14．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 15．（2026·安徽阜阳·一模）已知，则的值为____． 【答案】 【分析】根据，通过变形可以建立与的关系，从而可以取得的值． 【详解】解：， ． 16．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到化简结果，再进一步求出最小值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． ， ∵a为大于1的整数， ∴当时，取得最大值为， 此时取得最小值为， 即的最小值为． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（23-24八年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式 18．（21-22九年级下·山东聊城·月考）先化简，再求值 (1)，其中． (2)先化简，然后中选一个合适的整数作为m的值代入求值． 【答案】(1)化简结果为，值为． (2)化简结果为，当时，原式的值为或当时，原式的值为 【分析】先根据分式的运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件筛选出符合范围的未知数取值，第一题直接代入给定值计算，第二题选合适整数代入计算得到结果． 【详解】（1）解： 把代入得．原式． （2） ． ∵分式有意义时分母不能为0． ∴，．可得且． ∵且为整数， ∴当时，原式； 或当时，原式． 19．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知， 且．小刚和小军在对上述式子进行化简之后，小刚说对任意满足题设条件的x值，M的值都比N的值大；小军说对任意满足题设条件的x值，N的值都比M的值大．请你判断他们谁的结论正确，并说明理由． 【答案】小军的说法正确．理由见解析 【分析】分别计算M、N的值，进而计算的值，根据判断即可． 【详解】解：小军的说法正确．理由如下： ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能全部倒完，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律； （1）先通分再计算即可； （2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可． 【详解】（1）解： （2）解：不能全部倒完，理由如下： 第1次倒出的水量是：； 第2次倒出的水量是：； 第3次倒出的水量是：； 第4次倒出的水量是：， 第n次倒出的水量是：； 前n次总共倒出水量是： ∵， ∴容器中的这1升水最终不能全部倒完． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $