专题 5.6 分式方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年浙教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.6 分式方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1 【知识点二】列分式方程解应用题型 2 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 2 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 3 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 4 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 5 【题型 5】分式方程的应用——古代问题 5 【题型 6】分式方程的应用——其他问题 6 二.培优题型精析 7 【题型 7】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 7 三.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1、审：审题，找出题目已知量、未知量，梳理等量关系； 2、设：设未知数（一般直接设所求量，注意带单位）； 3、列：根据等量关系，列出分式方程； 4、解：去分母，化为整式方程，解方程； 5、验：（1）代入最简公分母，检验是否为增根；（2）检验结果是否符合实际题意（正数、合理数量等）； 6、答：规范写出答案，带上单位。 【知识点二】列分式方程解应用题型 1、 工程问题：（1）数量关系：工作总量工作时间工作效率；（2）常见考法：单独做工或合作做工；工作效率提升或减缓，时间变化；规定工期完工或延期完工等； 2、行程问题：（1）核心关系：路程速度时间；（2）常见类型：普通行驶：提速、减速导致时间差；航行问题：顺水、逆水（水流速度影响）；行走、骑行、开车速度对比； 3、销售与价格问题：总价数量单价；（2）常见考法：单价变化、优惠打折；多买、少买，数量差价；进价、售价、人均费用问题。 4、其他经典题型： （1）倍数与数量关系：两个量数量对比、增减变化； （2）浓度问题：溶液稀释、加浓（少量考查）； （3）平均数问题：人均产量、人均分数类。 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 【例题1】（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【变式1】（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车具有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现：电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元． (1)若电动汽车平均每公里的充电费为元，当充电费和加油费均为100元时，电动汽车比燃油车多行驶多少公里？ (2)若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【变式1】（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026年陕西省初中学业水平全真模拟演练数学）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【变式3】（23-24八年级上·云南红河·期末）高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 【例题3】（25-26九年级下·云南·期中）为厚植数学人文底蕴，传承中外算学精髓，某校特设数学典籍阅览室，专门珍藏《九章算术》，《几何原本》等经典名著．为此，学校计划添置甲、乙两种书柜．已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）小明和同学们计划购进两种水果送给社区养老院，其中种水果的售价比种水果的售价高4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求种水果的售价？若设种水果的售价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 【例题4】（2026·辽宁锦州·一模）某中学为丰富学生的阅读生活，采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，购买名著类图书的总费用为800元，购买科普类图书的总费用为600元，科普类图书的单价比名著类图书的单价低5元．求名著类、科普类两种图书的单价． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【题型 5】分式方程的应用——古代问题 【例题5】（2024·广东广州·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天． 【变式1】（2026·辽宁营口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记录：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟，译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·月考）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是______． 【变式3】（25-26九年级下·云南昆明·月考）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 【题型 6】分式方程的应用——其他问题 【例题6】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【变式1】（2023·山东临沂·模拟预测）火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，且摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【变式3】（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 二.培优题型精析 【题型 7】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 【例题7】（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·月考）猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【变式2】某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 【变式3】（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·湖南郴州·一模）为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 3．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）某农场红心柚质量是白心柚的倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少元．设白心柚价格为元斤，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 8．（2026·四川绵阳·一模）由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为_____． 11．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水___________． 13．（2026·江西九江·一模）小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 15．（25-26八年级上·全国·单元复习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是____天． 16．（2025·山西·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 18．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元． 20．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.6 分式方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1 【知识点二】列分式方程解应用题型 2 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 2 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 5 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 8 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 10 【题型 5】分式方程的应用——古代问题 12 【题型 6】分式方程的应用——其他问题 14 二.培优题型精析 17 【题型 7】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 17 三.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 30 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】列分式方程解应用题步骤 1、审：审题，找出题目已知量、未知量，梳理等量关系； 2、设：设未知数（一般直接设所求量，注意带单位）； 3、列：根据等量关系，列出分式方程； 4、解：去分母，化为整式方程，解方程； 5、验：（1）代入最简公分母，检验是否为增根；（2）检验结果是否符合实际题意（正数、合理数量等）； 6、答：规范写出答案，带上单位。 【知识点二】列分式方程解应用题型 1、 工程问题：（1）数量关系：工作总量工作时间工作效率；（2）常见考法：单独做工或合作做工；工作效率提升或减缓，时间变化；规定工期完工或延期完工等； 2、行程问题：（1）核心关系：路程速度时间；（2）常见类型：普通行驶：提速、减速导致时间差；航行问题：顺水、逆水（水流速度影响）；行走、骑行、开车速度对比； 3、销售与价格问题：总价数量单价；（2）常见考法：单价变化、优惠打折；多买、少买，数量差价；进价、售价、人均费用问题。 4、其他经典题型： （1）倍数与数量关系：两个量数量对比、增减变化； （2）浓度问题：溶液稀释、加浓（少量考查）； （3）平均数问题：人均产量、人均分数类。 【题型 1】分式方程的应用——行程问题 【例题1】（2026·云南大理·一模）云南大理，苍山洱海，风光如画．从大理港出发，乘船北行，可抵达湖中著名的小普陀——一座玲珑的石灰岩小岛，宛如碧玉盘中一颗青螺．这条经典航线全程约18千米，沿途可远眺苍山十九峰，近观白族渔村与海鸟翔集．某日，一艘常规游船与一艘观光快艇同时从大理港出发，驶向小普陀，已知快艇的平均速度是游船平均速度的2倍，结果快艇比游船早到0.5小时．求游船和快艇的平均速度分别是多少千米/小时？ 【答案】游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时 【分析】设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时，根据快艇比游船早到0.5小时列出方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设游船的平均速度为千米小时，则快艇的平均速度为千米小时， 根据题意，得： 解得： 经检验是所列分式方程的解，且符合题目要求， 此时 答：游船的平均速度为18千米/小时，则快艇的平均速度为36千米/小时． 【变式1】（2026·福建三明·一模）在古代驿站送信问题中，一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．根据题意，小刚和小强分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是（    ） 小刚： 小强： A．x表示规定时间 B．y表示慢马的速度 C．*表示 D．△表示 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合题意判断各选项中未知数和空缺部分的正误即可． 【详解】解：设规定时间为，则快马时间为，快马速度为， 慢马时间为，慢马速度为， 又∵快马速度是慢马的2倍，可得，因此表示规定时间，A正确； △应为，故D错误； 设慢马速度为，则快马速度为，慢马时间为，规定时间， 快马时间为，规定时间，因此方程为，可得表示慢马速度，B正确； *表示，C正确． 综上，不正确的是D． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界，某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动，甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，若设乙同学的速度是x米／分，则可列出正确的方程为______． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南周口·期末）电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车具有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现：电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元． (1)若电动汽车平均每公里的充电费为元，当充电费和加油费均为100元时，电动汽车比燃油车多行驶多少公里？ (2)若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】(1)电动汽车比燃油车多行驶公里 (2)这款电动汽车平均每公里的充电费为元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得电动汽车行驶里程：公里，燃油汽车行驶里程：公里，求差即可解答； （2）设电动汽车平均每公里的充电费为元，根据题意，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：燃油车平均每公里的加油费为元． 当充电费和加油费均为100元时， 电动汽车行驶里程：公里，燃油汽车行驶里程：公里． ， 电动汽车比燃油车多行驶公里． （2）解：设电动汽车平均每公里的充电费为元． 根据题意，得：， 方程两边乘，得： 解得：， 检验：当时， 所以，原分式方程的解为，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元． 【题型 2】分式方程的应用——工程问题 【例题2】（25-26八年级下·全国·课后作业）某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干给出的已知条件和所设未知数，表示出表格中对应量； （2）根据总工程量为1，结合题干给出的工作过程找到等量关系，即可列出方程． 【详解】（1）解：工程问题中，通常将总工程量设为单位1， 已知甲队单独完成这项工程需要天，因此： 甲队工程总量为，所用时间为， 根据工作效率等于工程总量除以工作时间，可得甲队工程效率为， 由条件Ⅱ可知，乙队单独完成这项工程比规定日期多6天，规定日期等于甲队单独完成的时间，因此乙队所用时间为天，乙队工程总量为，工程效率为， 将表格补充完整如下： 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 1 乙队 1 （2）解：根据题意得： ． 【变式1】（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 【变式2】（2026年陕西省初中学业水平全真模拟演练数学）随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【答案】400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 【变式3】（23-24八年级上·云南红河·期末）高速公路在我国建设得越来越多，百姓出行越来越便捷，对地区的经济发展起到了很大的促进作用．已知两个工程队共同参与某项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的，这时增加乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成．问： (1)哪个工程队的施工速度快？ (2)若甲、乙两队同时施工，需多少时间完成整项工程？ 【答案】(1)乙工程队的施工速度快 (2)若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程 【分析】（1）设乙队单独施工需x个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立分式方程求解； （2）设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程，根据工作总量等于1建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设乙队单独施工需x个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，且， ∴乙工程队的施工速度快； （2）解：设若甲、乙两队同时施工需要y个月完成整项工程， 根据题意得：， 解得：． 答：若甲、乙两队同时施工需要2.4个月完成整项工程． 【题型 3】分式方程的应用——销售与利润问题 【例题3】（25-26九年级下·云南·期中）为厚植数学人文底蕴，传承中外算学精髓，某校特设数学典籍阅览室，专门珍藏《九章算术》，《几何原本》等经典名著．为此，学校计划添置甲、乙两种书柜．已知每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，分别求每个甲、乙书柜的价格． 【答案】每个甲种书柜价格为192元，每个乙种书柜价格为160元 【分析】解：设每个乙书柜的价格为元，根据每个甲种书柜的价格是每个乙种书柜价格的1.2倍，用9600元购买的甲种书柜数量比用7200元购买的乙种书柜数量多5个，列出分式方程进行求解即可. 【详解】解：设每个乙种书柜的价格为元，则每个甲种书柜的价格为元， 根据题意，得 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：每个甲种书柜价格为192元，每个乙种书柜价格为160元. 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）小明和同学们计划购进两种水果送给社区养老院，其中种水果的售价比种水果的售价高4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求种水果的售价？若设种水果的售价为元，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，核心是根据两种水果购买数量的倍数关系列方程． 【详解】解：∵设A种水果的售价为元，且B种水果的售价比A种水果高4元， ∴B种水果的售价为元． ∵数量=总价÷单价， ∴用240元购进A种水果的数量为，用160元购进B种水果的数量为． 又∵用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍， ∴可列方程为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期中）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元． 【答案】150 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可． 【详解】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元， ∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒． ∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第二批鲜花每盒的进价是150元． 故答案为：150． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高，若用360元等额资金分别购进A、B两类配件，则A类配件的数量比B类配件的数量少3个． (1)求A、B两类机器人配件每个的进价； (2)3月，该科技店用5400元购进A类配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【答案】(1)A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元 (2)购进A类配件50个，B类配件40个 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设B类配件每个进价为元，则A类配件每个进价为（元）， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）解：设购进A类配件个，购进B类配件个， 根据题意可得 解得， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 【题型 4】分式方程的应用——和、差、倍、分问题 【例题4】（2026·辽宁锦州·一模）某中学为丰富学生的阅读生活，采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，购买名著类图书的总费用为800元，购买科普类图书的总费用为600元，科普类图书的单价比名著类图书的单价低5元．求名著类、科普类两种图书的单价． 【答案】名著类图书的单价为20元，科普类图书的单价为15元 【分析】设名著类图书的单价为元，则科普类图书的单价为元，根据采购了相同数量的名著类和科普类两种图书，列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设名著类图书的单价为元，则科普类图书的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的根， （元）， 答：名著类图书的单价为20元，科普类图书的单价为15元． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 【变式2】（2026·山东青岛·一模）某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 【题型 5】分式方程的应用——古代问题 【例题5】（2024·广东广州·一模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天． 【答案】7天 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可． 【详解】解：设规定的时间为x天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：规定时间是7天． 【变式1】（2026·辽宁营口·一模）我国古代数学名著《九章算术》中记录：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟，译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．设慢马的速度为x里/天，列出方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定时间相等可得方程． 【详解】解：根据题意，得． 【变式2】（24-25九年级下·山东青岛·月考）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设文钱购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程．设文钱购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为文，再根据“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可解题． 【详解】解：设文钱购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为文， 根据题意可列方程为：； 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·云南昆明·月考）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分． 【题型 6】分式方程的应用——其他问题 【例题6】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）中考体育项目中，若要取得男生1000米项目的满分成绩，需在3分50秒内跑完全程．男生甲同学第一次模拟测试未拿满分，经过训练，第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍，结果比第一次提前了15秒到达终点，那么甲同学第二次模拟测试取得满分成绩了吗？请说明理由． 【答案】取得满分，见解析 【分析】设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒，根据“第二次模拟测试时平均速度为第一次的倍”建立分式方程求解，再求出甲同学第二次模拟测试的时间即可． 【详解】解：能取得满分，理由如下： 设甲同学第一次模拟测试用时秒，则第二次模拟测试用时秒 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 那么第二次模拟测试用时秒，而3分50秒秒， 由于， 故甲同学第二次模拟测试取得满分成绩， 答：甲同学第二次模拟测试取得满分成绩． 【变式1】（2023·山东临沂·模拟预测）火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，且摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊的营业额分别为，，，设7月份总增加的营业额为，7月份外卖还需增加的营业额为，根据摆摊营业额达到7月份总营业额的列出方程得到m与k的关系，根据7月份堂食、外卖营业额之比为建立方程得到x与k的关系，据此可得答案． 【详解】解：设6月份堂食、外卖、摆摊的营业额分别为，，，设7月份总增加的营业额为，7月份外卖还需增加的营业额为． 由题意可知，摆摊增加的营业额为，堂食和外卖共增加，其中堂食增加，因此7月份堂食营业额为，外卖营业额为，7月份总营业额为． ∵摆摊营业额达到7月份总营业额的， ∴， 解得， ∴7月份总营业额为， ∵7月份堂食、外卖营业额之比为 ∴ ∴ 解得． 因此所求比值为． 【变式2】（2026·河北廊坊·一模）爱好摄影的小冀正在学习调节老式胶片相机的光圈，在镜头焦距一定的条件下，光圈孔径直径D（单位：）与光圈系数F的关系式为，小冀分别使用了甲、乙两种不同的光圈设置进行拍摄，已知乙设置下的光圈系数是甲设置下的2倍，且甲设置下的光圈孔径直径比乙设置下的大，则甲设置下的光圈系数为_______． 【答案】 【分析】设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为，根据关系式变形得到，再根据等量关系，列分式方程求解检验即可． 【详解】解：设甲设置下的光圈系数为，则乙设置下的光圈系数为， 根据题意列方程得，， 解得，， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则甲设置下的光圈系数为． 【变式3】（2026·山西太原·二模）王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2)燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 二.培优题型精析 【题型 7】列一（二）元一次方程组与分式方程综合 【例题7】（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解下列问题： 在“双十一”活动中，某电商平台商家上架甲、乙两种商品进行销售．已知购买5件甲种商品和2件乙种商品共需230元，购买6件甲种商品和3件乙种商品共需300元． (1)求甲、乙两种商品每件的售价； (2)“双十一”活动后，甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格相同，某顾客用2450元购买甲种商品，用2250元购买乙种商品，购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多，求购买乙种商品的数量． 【答案】(1)甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元 (2)购买乙种商品的数量为50件 【分析】此题考查了二元一次方程组以及分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系列出方程是解本题的关键． （1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）设售价上涨的价格为元，再列式得，再解方程即可． 【详解】（1）设甲种商品每件售价x元，乙种商品每件售价y元， ， 解得：， 答：甲种商品每件售价30元，乙种商品每件售价40元； （2）甲、乙两种商品每件的售价上涨的价格为元， 则购买甲种商品数为，购买乙种商品数为， 又购买甲种商品的数量比乙种商品的数量多， 所以， 解得，经检验，符合题意， 则， 答：购买乙种商品的数量为50件． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·月考）猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元． (1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？ (2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？ 【答案】(1)第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克 (2)第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握二元一次方程组和分式方程的应用是解题的关键， （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程即可得到答案； （2）根据题意列出分式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克，根据题意得： ， 解得：， 答：第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克． （2）解：设第二周黄心猕猴桃的进价为元，则红心猕猴桃的进价为元，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验是所列方程的解， 答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元． 【变式2】某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶)．如果二人都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍．又已知男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级)． (1)扶梯在外面的部分有多少级． (2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯，台阶级数与扶梯级数相等，这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯，到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．则男孩第一次追上女孩时，他走了多少台阶？ 【答案】(1)楼梯有54级 (2)198级 【分析】本题考查应用类问题，分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题． （1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，可得方程组即可求解； （2）由（1）先求出男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分，设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次．由此列方程求出，进而根据中必有一个为正整数，且，求出解． 【详解】（1）设女孩速度为级/分，电梯速度为级/分，楼梯(扶梯)为级，则男孩速度为级/分， 根据时间相等列方程，有： ① 两式相除，得 ， 解方程得即可． 因此楼梯有54级． （2）设男孩第一次追上女孩时，走过扶梯次，走过楼梯次，则这时女孩走过扶梯次，走过楼梯次． 将代入方程组①， 得，即男孩乘扶梯上楼的速度为级/分，女孩乘扶梯上楼的速度为级/分． 于是有 从而， 即． 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时， 中必有一个为正整数，且， 经试验知只有符合要求． 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是： (级)． 【变式3】（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）列方程解下列问题： 某农场去年春季种植苹果和桃子共收获．今年春季苹果产量比去年增加，桃子产量比去年增加，苹果和桃子的总产量比去年增加． (1)去年春季苹果和桃子的产量各多少千克？ (2)今年春季收获果实时，该农场安排两组工人分别采摘苹果和桃子，每小时采摘苹果的质量是采摘桃子质量的倍，两组工人同时开始劳动，结果采摘桃子的工人比采摘苹果的工人提前15分钟完成采摘任务．问采摘苹果组的工人每小时采摘苹果多少千克？ 【答案】(1)去年春季苹果产量为，桃子产量为. (2)采摘苹果组的工人每小时采摘苹果 【分析】（1）设去年春季苹果产量为，桃子产量为.根据题意，得，解答即可； （2）设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是，根据题意，，解答即可． 【详解】（1）解：设去年春季苹果产量为，桃子产量为. 根据题意，得， 解得， 答：去年春季苹果产量为，桃子产量为. （2）解：设每小时采摘桃子的质量为，则每小时采摘苹果的质量是， 根据题意，， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：采摘苹果组的工人每小时采摘苹果． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·湖南郴州·一模）为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总棵数和每天种植棵数分别求出原计划完成天数与实际完成天数，再利用“实际比原计划提前10天完成”的等量关系列方程即可． 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布每尺文，根据题意可列方程是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式，熟练掌握总价与单价和数量的关系，是解题的关键． 根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设绫布每尺文，则罗布每尺文， 根据题意得：， 故选：B． 3．（23-24九年级下·湖南长沙·期中）植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰．某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植3棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是列分式方程．甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树，甲班植70棵树所用的时间与乙班植50棵树所用的时间相等，可列方程，即可判断出错误的选项． 【详解】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植棵树， 根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，可列方程， 故选：A． 4．（25-26八年级上·全国·期末）某农场红心柚质量是白心柚的倍，其中红心柚销售收入元，白心柚销售收入元，白心柚比红心柚价格每斤少元．设白心柚价格为元斤，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，根据“质量=销售收入÷单价”的数量关系，结合“红心柚质量是白心柚质量的2倍”这一条件建立方程． 【详解】解：设白心柚价格为元/斤， ∵白心柚比红心柚价格每斤少3元， ∴红心柚价格为元/斤； 根据“质量=销售收入÷单价”， 可得白心柚的质量为斤，红心柚的质量为斤； 又∵红心柚质量是白心柚质量的2倍， ∴可列方程：； 故选：A． 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．设走路线一的平均车速为千米/小时，那么根据题意得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程，注意单位变换． 【详解】解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，走路线二时的平均速度为千米/小时， 故选D． 6．（25-26八年级上·山东临沂·期末）中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因，为传承优秀传统文化，某校为各班购进《西游记》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元，用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格，设每套《水浒传》连环画的价格为元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是准确找出题目中的等量关系：用元购买《水浒传》连环画的套数等于用元购买《西游记》连环画套数的2倍．首先根据每套《西游记》比《水浒传》贵元，得出《西游记》的单价，再分别表示出两种连环画的购买套数，最后根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：∵每套《西游记》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵元， ∴每套《西游记》连环画的价格为元． 用元购买《水浒传》连环画的套数为，用元购买《西游记》连环画的套数为． 根据“用元购买《水浒传》连环画的套数是用元购买《西游记》连环画套数的2倍”，可列方程：． 故选：A． 7．（25-26九年级下·河南新乡·期中）已知一个不完整的题目：某工厂计划生产2400个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产8个，结果延期6天完成 B．每天比原计划多生产8个，结果提前6天完成 C．每天比原计划少生产8个，结果延期6天完成 D．每天比原计划少生产8个，结果提前6天完成 【答案】B 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得题目缺失的条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 8．（2026·四川绵阳·一模）由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱．某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．则该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是（   ） A．800 B．1000 C．1200 D．1300 【答案】C 【分析】设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是，根据总生产天数生产喜洋洋天数生产乐融融天数列方程求解即可． 【详解】解：设该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是，则每天生产“乐融融”的个数是 由题意得， 解得 经检验是原方程的解，符合题意 ∴该工厂每天生产“喜洋洋”的个数是． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【分析】先设一根跳绳单价为x元，根据题意表示出一个排球的单价， 再利用“总价÷单价=数量”，结合两种购买的数量相同，列出方程即可． 【详解】设一根跳绳的单价为x元， 由题意得，一个排球的价格为元，花160元购买跳绳的数量为，花400元购买排球的数量为， ∵购买数量相同， ∴可列方程． 10．（25-26八年级上·山东德州·期末）某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）医用酒精有和两种浓度，通常人们选用的酒精对皮肤和一般物体表面消毒．现要将浓度为的酒精，稀释为的酒精，则需要加水___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解答本题的关键． 设需要加水，根据稀释前后酒精质量不变，列出方程求解． 【详解】初始酒精质量为 ． 加水后总质量为 ，酒精质量不变，浓度为 ，即 解方程得， 经检验是分式方程的解且符合题意， 故需要加水． 故答案为：． 13．（2026·江西九江·一模）小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 15．（25-26八年级上·全国·单元复习）某地为优化教育资源，现改造寄宿制学校，改造工程中，先由甲工程队承建，工作一段时间后，为了按期完成任务，乙工程队加入工作，共同工作80天后，正好按期完成，已知，甲工程队单独做这项工程，要比工期多100天，乙工程队单独做这项工程，要比工期多40天，则这项工程的工期是____天． 【答案】200 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，正确熟知两队每天完成的工作量及实际工作的天数是解题的关键． 设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的．完成这项工程，甲用了x天，乙实际用了80天，据此列方程求解即可． 【详解】解：设该项工程的工期是x天，则甲单独做这项工程，需要天，乙需要天，则甲工程队每天完成总工作量的，乙工程队每天完成总工作量的． 根据题意可得：，解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 所以该项工程的工期是200天． 故答案为：200． 16．（2025·山西·一模）“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的，按此规律，若每块木板的长度都为，则___________（填编号）号木板最多可伸出． 【答案】25 【分析】本题考查了分式方程的应用，设n号木板最多可伸出，根据规律列方程求解即可． 【详解】解：设n号木板最多可伸出， ∵①号木板最多伸出自身长度的，②号木板最多伸出自身长度的，③号木板最多伸出自身长度的， ∴n号木板最多伸出自身长度的， 由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意且是原方程的解， 所以第25号木板最多可伸出． 故答案为：25． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（2025八年级上·全国·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 【答案】顺水航行的速度是． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是分析题意，找到等量关系列出方程. 设轮船在静水中的速度为，根据“轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间”，列出方程，即可求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：顺水航行的速度是． 18．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【答案】(1) (2)每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元 【分析】（1）根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元”，即可求解； （2）根据“万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解． 【详解】（1）解：每台乙型机器人的进价为万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元， 每台甲型机器人的进价为万元； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元． 20．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【答案】小红爬山的速度为3千米/小时 【分析】小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时，由题意他们选择的路线，小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫），列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时． 根据题意得 解得： 经检验是分式方程的解． 答：小红爬山的速度为3千米/小时． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $